stocks

Gauss公式：









sdAdvA

物理意义：向量场



A对某闭合曲面的通量等于该场的散度对该闭合曲面所围成体积

的积分。

Ⅰ解释左边：

设



kRjQiPRQPA),,(

dv

z

R

y

Q

x

P

dvA

Adiv

z

R

y

Q

x

P

kRjQiPk

z

j

y

i

x

A



































































))((

Ⅱ解释右边

















dsnAsdA

dsnsd













dsRQPdsnA

RQPnA





coscoscos

coscoscos

同样













RdxdyQdzdxPdydzdsnA

dxdydzdxdydzsd),,(

这么两种化开方法，都可以把向量积分转化为标量积分

Stocks公式：









ldsdAA

物理意义：向量场



A对某闭合曲线的环流量等于该场的旋度对闭合曲线围成的曲面

的积分。

Ⅰ解释左边

设



kRjQiPRQPA),,(





















Arot

RQP

zyx

kji

A

(cos,cos,cos)(,,)dsndsdsdydzdzdxdxdy



（n→为曲面单位法向量，它的方向依闭合曲线的走向右旋决定）

ds

RQP

zyx

sd























coscoscos

A或























RQP

zyx

dxdydzdxdydz

sdA

Ⅱ解释右边

dll)cos,cos,(cos





(





是

l

的单位切向量，其方向由曲线

l

的走向决定)











dlRQPdlld)coscoscos(AA



又知：kdzjdyidxld













RdzQdyPdxldA

Δ在二维的退化

可设),(QPA



则公式退化为：

















QdyPdxdxdy

y

P

x

Q

)(

Δ积分与路径无关

若

y

P

x

Q











（二维）

y

R

z

Q

z

P

x

R

x

Q

y

P































,,（三维）

即：

0

coscoscos















RQP

zyx



则场



A对某闭合曲线的积分为0,

*假如曲线不闭合，则意味着



A从起

点到终点的积分与路径无关，（物理解释是



A是无旋场）