integral

第十章二重积分(DoubleIntegral)

第二节二重积分的计算(ComputationofDoubleIntegral)

教学目的：熟练掌握二重积分在直角坐标系下以及极坐标系下的计算方法

教学内容：1.直角坐标系下的二重积分的计算方法

2.极坐标系下的二重积分在的计算方法

教学重点：1.二重积分在直角坐标系下的计算

2.二重积分在极坐标系下的计算

教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题

教具：多媒体课件

教学方法：讲授法

精讲：重点讲清二重积分的积分次序选择以及定限问题

教学过程：

一、直角坐标系下二重积分的计算方法

设二重积分(,)

D

fxyd的被积函数(,)fxy在积分区域D上连续，且(,)0fxy，

积分区域（如图9-4所示）。由不等式：

12

()(),yxyyxaxb

来表示。

y

D

2

()yyx

1

()yyx

o

a

b

x

2

()yyx

o

b

x

y

()a

()b

2

()yyx

D

图9-4

用平行截面法求曲顶柱体的体积。

先求平行截面的面积。（如图9-5）所示

在区间[,]ab上任意取定一个点

1

x,作平行于

yoz面的平面

1

xx,去截曲顶柱，得到一个

曲边梯形,曲边方程为：

1

(,)zfxy

xx











，把这一曲边梯形投影到yoz坐标平面上，得一以区间

1121

[(),()]yxyx为底，

1

(,)zfxy为曲边的曲边梯形，它的面积为：

21

11

()

11

()

()(,)yx

yx

Sxfxydy

一般地,过区间[,]ab上任一点

x

，且平行于面yoz的平面，截曲顶柱体所得截面的面

积为

2

1

()

()

()(,)yx

yx

Sxfxydy

利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为：

2

1

()

()

()[(,)]bbyx

aayx

VSxdxfxydydx

根据二重积分的几何意义(,)

D

Vfxyd

从而有22

11

()()

()()

(,)[(,)](,)byxbyx

ayxayx

D

fxydfxydydxdxfxydy

这就把二重积分化为先对y，后对

x

的二次积分，也叫累次积分。显然在2

1

()

()

(,)yx

yx

fxydy中

把

x

看作常数。类似地，如果积分区域D（如图9-6所示）由不等式

12

()(),xyxxycyd

来表示，则二重积分有下列计算公式

a

1

x

1

()yyx

2

()yyx

图9-5

★22

11

()()

()()

(,)[(,)](,)dxydxy

cxycxy

D

fxydfxydxdydyfxydx

这是先对

x

，后对y的二次积分。

★注意：如果D满足用平行于

x

轴（y轴）的直线与D的边界相交多于两点，我们可

以把D分成几个满足上面两种类型的区域。

例1求二重积分

1

34

D

xy

Id









，其中D：11x，22y，（如图9-7所

示）。

解：先对

x

，后对y积分

21

21

2

2

1

1

2

2

2

(1)

34

()

64

(2)

2

8

xy

Idydx

xxy

xdy

y

dy























例2计算

D

xyd，式中D是由抛物线2yx及直线：2yx所围成的区域（如图9-8

所示）。

解：先画出积分区域D2:12,2Dyyxy

2

2

2222

2225

111

1145

[](2)

228

y

y

y

y

D

xyddyxydxxydyyyydy











ox

y

()a

d

c

D2

()xxy

1

()xxy

x

y

o

D2

()xxy

1

()xxy

c

d

()b

o

x

y

11

2

2

图9-7

ox

y

2

2xy

2xy

1

图9-8

y

B

K

1

2

图9-6

例3确定积分区域，并更换积分的次序

2

1

1

(,)x

x

Idxfxydy。

解：找边界曲线，画出积分区域D，更换积分次序：先对

x

，后对y积分，做辅助线BK区

域D分成两个区域：

1

11

:1,2

2

Dyx

y



2

:12,2Dyyx。

因此

1222

11

1

2

(,)(,)

y

y

Idyfxydxdyfxydx

二、极坐标下二重积分的计算方法

有些二重积分，其积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，或被积函数用极

坐标变量,r来表示比较简单，这时，我们就考虑用极坐标来计算它。

假定从极点

o

出发且穿过区域D内部的射线与D的

边界相交不多于两个。（如图9-10所示）在极坐标变换

cos,sinxryr下，用以极点为中心的一族同心

圆：r常数，及从极点出发的一族射线：常数，把

D分成

n

个小区域。此时，小区域的面积为：

k

rr，所以面积元素drdrd，

而被积函数(,)(cos,sin)fxyfrr，于是将直角坐标系下的二重积分计算问题转换为

极坐标系下的二重积分计算公式：

(,)(cos,sin)

DD

fxydxdyfrrrdrd

极坐标下二重积分化为二次积分的方法：

★极点在区域D之外

12

:,()()Drrr

2

1

()

()

(cos,sin)(cos,sin)r

r

D

frrrdrddfrrrdr







ox

12

图9-9

图9-10

★极点在区域D之内:02,0()Drr

2()

00

(cos,sin)(cos,sin)r

D

frrrdrddfrrrdr



★极点在区域D的边界上:,0()Drr

()

0

(cos,sin)(cos,sin)r

D

frrrdrddfrrrdr







一般情况下，当二重积分的被积函数中自变量以2222,,,

x

xyxyxy

y

等形式出现时，

以及积分区域为以原点为中心的圆域，扇形域，或过原点中心坐标轴上的圆域，利用极坐标

来计算往往会更加简便。

例4求222

D

Iaxyd，其中D是圆域22(0)xyaxa

解化为极坐标，以cos,sinxryr，drdrd，

代入得D的边界方程cosra。因此表示为：,

22





0cosra。

cos

2222

2

0

2

a

D

Iarrdrddarrdr













cos

3

22333

22

2

0

2

0

3

12

()(sin)

33

1

(34)

9

a

ardaad

a

























例5求22

D

Ixyd，其中D是2222axyb

解在极坐标下区域可表示为：

02

:D

arb













a

r

o

y

D

2

33

0

4

2

44

0

()

42

b

a

D

b

a

Irdrddrdr

r

dba



















练习：(1)交换积分顺序

2

1

0

(,)x

x

dxfxydy；

(2)计算22()

D

xyd，其中:1,1Dxy；

(3)计算22()

D

xyd，其中22:1Dxy。

小结：★二重积分在直角坐标下的计算公式2

1

()

()

(,)(,)bx

ax

D

fxyddxfxydy





［X－型］

（注意积分顺序的选择）2

1

()

()

(,)(,)dy

cy

D

fxyddyfxydx





［Y－型］

★二重积分在极坐标下的计算公式(cos,sin)

D

frrrdrd

（注意对称性的使用）2

1

()

()

(cos,sin)dfrrrdr







作业：P

223

B组1(1)，(4)；2；3

xa

b