高考数学试卷全国卷

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2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）

两部分，共6页．考试时间120分钟．满分150分．

答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己

的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ卷答题卡和第Ⅱ卷答题

纸规定的位置．

参考公式：

样本数据

n

xxx,,

21

的标准差

n

xxxxxx

sn

22

2

2

1

)()()(



其中x为样本平均数

球的面积公式24RS

第Ⅰ卷（选择题共60分）

注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目

的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，

再选涂其它答案，不能答在试题卷上．

2．第Ⅰ卷只有选择题一道大题．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

1.复数

i

i





1

21

（i是虚数单位）的虚部是

A．

2

3

B．

2

1

C．3D．1

2.已知R是实数集，11,1

2















xyyN

x

xM，则MCN

R



A．)2,1(B．2,0C.D．2,1

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3.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这个数组的标准差是

A．1B．2C．3D．4

4.设

n

S为等比数列{}

n

a的前

n

项和，08

52

aa

，

则

2

4

S

S

A．5B．8C．8D．15

5.已知函数)

6

2sin()(



xxf，若存在),0(a，使得)()(axfaxf恒成立，则

a

的值是

A．

6



B．

3



C．

4



D．

2



6.已知

m

、

n

表示直线，,,表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为

（1）则,,,mnnm

（2）mnnm则,,,

（3）,,mm则



∥

（4）则,,,nmnm

A．（1）、（2）B．（3）、（4）C．（2）、（3）D．（2）、（4）

7.已知平面上不共线的四点CBAO,,,，若

||

||

,23

BC

AB

OCOBOA则等于

A．1B．2C．3D．4

8.已知三角形ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为

2

3

，则这个三

角形的周长是

A．18B．21C．24D．15

9.函数

x

xxf

1

lg)(的零点所在的区间是

A．1,0B．10,1C．100,10D．),100(

10.过直线yx上一点P引圆22670xyx的切线，则切线长的最小值为

A．

2

2

B．

2

23

C．

2

10

D．2

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否

开始

输出

结束

是

10i

1,2ia

a

a





1

1

题图第13

1ii

a

11.已知函数baxxxf2)(2.若ba,都是区间4,0内的数，则使0)1(f成立的概率是

A．

4

3

B．

4

1

C．

8

3

D．

8

5

12.已知双曲线的标准方程为1

169

22



yx

，F为其右焦点，

21

,AA是实轴的两端点，设P为

双曲线上不同于

21

,AA的任意一点，直线PAPA

21

,与直线ax分别交于两点NM,,若

0FNFM,则

a

的值为

A．

9

16

B．

5

9

C．

9

25

D．

5

16

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

注意事项：

1．请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．书写的答

案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．

2．不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效．

3．第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13.如图所示的程序框图输出的结果为__________.

14.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其顶点都在

一个球面上，则该球的表面积为__________.

15.地震的震级R与地震释放的能量E的关系为)4.11(lg

3

2

ER．2011年3月11日，日

本东海岸发生了9.0级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震

第14题图

1

1

1

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的能量是2008年地震能量的倍．

16.给出下列命题：

①已知,,abm都是正数，且

b

a

b

a







1

1

，则ab；

②已知()fx



是()fx的导函数，若,()0xRfx



，则(1)(2)ff一定成立；

③命题“xR，使得2210xx”的否定是真命题；

④“1,1yx且”是“2yx”的充要条件.

其中正确命题的序号是.(把你认为正确命题的序号都填上)

三、解答题：本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知向量),

2

cos

2

sin3()

2

cos,1(y

xx

b

x

a



与共线，且有函数)(xfy．

（Ⅰ）若1)(xf，求)2

3

2

cos(x



的值；

（Ⅱ）在ABC中，角CBA,,,的对边分别是cba,,，且满足bcCa2cos2，求函数

)(Bf的取值范围.

18．（本小题满分12分）

已知等差数列

n

a

的前

n

项和为

n

S，公差

,50,0

53

SSd且

1341

,,aaa成等比数列．

（Ⅰ）求数列

n

a的通项公式；

（Ⅱ）设













n

n

a

b

是首项为1，公比为3的等比数列，求数列

n

b的前

n

项和

n

T

.

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19.（本小题满分12分）

已知四棱锥BCDEA，其中1BEACBCAB，2CD，ABCCD面，BE

∥CD，F为AD的中点.

（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；

（Ⅱ）求证：面ACDADE面；

（III）求四棱锥BCDEA的体积.

20.（本小题满分12分）

在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间

x

之间对应的一组数据：

时间

x

（秒）

51015203040

深度y（微米）

61010131617

现确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，

再对被选取的2组数据进行检验．

（Ⅰ）求选取的2组数据恰好不相邻的概率；

A

B

C

D

E

F

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（Ⅱ）若选取的是第2组和第5组数据，根据其它4组数据，求得y关于

x

的线性回归方

程

26

139

13

4

ˆ

xy，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误

差均不超过2微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是

否可靠．

21.（本小题满分12分）

已知函数

1

)(

2





x

bax

xf在点))1(,1(f的切线方程为03yx.

（Ⅰ）求函数()fx的解析式；

（Ⅱ）设xxgln)(，求证：)()(xfxg在),1[x上恒成立.

22.（本小题满分14分）

实轴长为

34

的椭圆的中心在原点，其焦点

1,2

,FF

在

x

轴上.抛物线的顶点在原点O，对

称轴为y轴，两曲线在第一象限内相交于点A,且

12

AFAF，△

12

AFF的面积为3.

（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；

（Ⅱ）过点A作直线l分别与抛物线和椭圆交于CB,,若

ABAC2

,求直线l的斜率k.

Bx

y

A

F

1

F

2

C

o

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参考答案及评分标准

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）

BDBADBBDBCCB

二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）

13．214.

3

19

15.2

3

1016.①③

三．解答题

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵



a与



b共线

∴

y

x

xx

2

cos

2

cos

2

sin3

1





2

1

)

6

sin()cos1(

2

1

sin

2

3

2

cos

2

cos

2

sin32



xxx

xxx

y…………3分

∴1

2

1

)

6

sin()(



xxf，即

2

1

)

6

sin(



x…………………………………………4分

2

1

1)

6

(sin21)

3

(cos2)

3

(2cos)2

3

2

cos(22



xxxx

…………………………………………6分

（Ⅱ）已知bcCa2cos2

由正弦定理得：

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CACACCA

CABCCA

sincos2cossin2sincossin2

)sin(2sin2sincossin2





∴

2

1

cosA，∴在ABC中∠

3



A…………………………………………8分

2

1

)

6

sin()(



BBf

∵∠

3



A∴

3

2

0



B,

6

5

66



B…………………………………………10分

∴1)

6

sin(

2

1





B,

2

3

)(1Bf

∴函数)(Bf的取值范围为]

2

3

,1(…………………………………………12分

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）依题意得























)12()3(

50

2

54

5

2

23

3

11

2

1

11

daada

dada

…………………………………………2分

解得











2

3

1

d

a

，…………………………………………4分

1212)1(23)1(

1

nanndnaa

nn

即，．……………………………6分

(Ⅱ)13n

n

n

a

b

，113)12(3nn

nn

nab…………………………………………7分

123)12(37353n

n

nT

nn

n

nnT3)12(3)12(3735333132……………………9分

nn

n

nT3)12(3232323212

n

n

n

n

n

32

3)12(

31

)31(3

23

1













∴n

n

nT3…………………………………………12分

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）取AC中点G,连结FG、BG，

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∵F,G分别是AD,AC的中点

∴FG∥CD,且FG=

2

1

DC=1．

∵BE∥CD∴FG与BE平行且相等

∴EF∥BG．……………………………2分

ABCBGABCEF面面,

∴EF∥面ABC……………………………4分

（Ⅱ）∵△ABC为等边三角形∴BG⊥AC

又∵DC⊥面ABC,BG面ABC∴DC⊥BG

∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC,DC，

∴BG⊥面ADC．…………………………………………6分

∵EF∥BG

∴EF⊥面ADC

∵EF面ADE，∴面ADE⊥面ADC．…………………………………………8分

（Ⅲ）连结EC,该四棱锥分为两个三棱锥E－ABC和E－ADC．

4

3

6

3

12

3

2

3

1

3

1

1

4

3

3

1



ACDEABCEBCDEA

VVV．………………………12分

另法：取BC的中点为O，连结AO，则BCAO，又CD平面ABC,

∴CCDBCAOCD,,∴AO平面BCDE，∴AO为

BCDEA

V



的高，

4

3

2

3

2

3

3

1

,

2

3

2

1)21(

,

2

3







BCDEABCDE

VSAO．

20．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设6组数据的编号分别为1,2,3,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件A，从6

组数据中选取2组数据共有15种情况：（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）

（2,6）（3,4）（3,5）（3,6）（4,5）（4,6）（5,6），其中事件A包含的基本事件有10

种．…………………………………………3分

所以

3

2

15

10

)(AP．所以选取的2组数据恰好不相邻的概率是

3

2

．………………………6分

(Ⅱ)当10x时，;2|10

26

219

|,

26

219

26

139

10

13

4

ˆ

y……………………………………9分

A

B

C

D

E

F

G

__________________________________________________

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当30x时，;2|16

26

379

|,

26

379

26

139

30

13

4

ˆ

y

所以，该研究所得到的回归方程是可靠的．…………………………………………12分

21．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）将1x代入切线方程得2y

∴2

11

)1(







ab

f，化简得4ab．…………………………………………2分

22

2

)1(

2)()1(

)(

x

xbaxxa

xf









1

24

2

4

)(22

)1(







bbaba

f．…………………………………………4分

解得：2,2ba

∴

1

22

)(

2





x

x

xf．…………………………………………6分

（Ⅱ）由已知得

1

22

ln

2





x

x

x在),1[上恒成立

化简得22ln)1(2xxx

即022lnln2xxxx在),1[上恒成立．…………………………………………8分

设22lnln)(2xxxxxh，

2

1

ln2)(



x

xxxxh

∵1x∴2

1

,0ln2

x

xxx，即0)(



xh．…………………………………………10分

∴)(xh在),1[上单调递增，0)1()(hxh

∴)()(xfxg在),1[x上恒成立．…………………………………………12分

22．（本小题满分14分）

解（1）设椭圆方程为

22

22

1(0)

xy

ab

ab

，

12

,AFmAFn

__________________________________________________

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由题意知





















6

34

4222

mn

nm

cnm

…………………………………………2分

解得92c，∴39122b．

∴椭圆的方程为1

312

22



yx

…………………………………………4分

∵3cy

A

，∴1

A

y,代入椭圆的方程得22

A

x，

将点A坐标代入得抛物线方程为yx82．…………………………………………6分

（2）设直线l的方程为

)22(1xky

，),(),,(

2211

yxCyxB

由

ABAC2

得

)22(222

12

xx，

化简得

222

21

xx…………………………………………8分

联立直线与抛物线的方程















yx

xky

8

)22(1

2

，

得0821682kkxx

∴

kx822

1

①…………………………………………10分

联立直线与椭圆的方程















124

)22(1

22yx

xky

得

0821632)2168()41(2222kkxkkxk

∴

2

2

241

8216

22

k

kk

x





②…………………………………………12分

∴

2222

41

8216

)228(22

2

2

21









k

kk

kxx

整理得：

0)

41

2

1)(2416(

2







k

k

k

∴

4

2

k，所以直线l的斜率为

4

2

．…………………………………………14分

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