全国新高考

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2021年全国统一新高考数学试卷（新高考Ⅰ卷）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1．设集合

{|24}Axx

，

{2B

，3，4，

5}

，则

(AB)

A．

{2}

B．

{2

，

3}

C．

{3

，

4}

D．

{2

，3，

4}

2．已知

2zi

，则

()(zzi)

A．

62i

B．

42i

C．

62i

D．

42i

3．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为

()

A．2B．22C．4D．42

4．下列区间中，函数

()7sin()

6

fxx





单调递增的区间是

()

A．

(0,)

2



B．

(

2



，

)C．

3

(,)

2



D．

3

(

2



，

2)

5．已知

1

F

，

2

F

是椭圆

22

:1

94

xy

C的两个焦点，点M在

C

上，则

12

||||MFMF

的最大值

为

()

A．13B．12C．9D．6

6．若

tan2

，则

sin(1sin2)

(

sincos











)

A．

6

5



B．

2

5



C．

2

5

D．

6

5

7．若过点

(,)ab

可以作曲线xye的两条切线，则

()

A．beaB．aebC．0baeD．0abe

8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次

取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数

字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字

之和是7”，则

()

A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立

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C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．有一组样本数据

1

x，

2

x，，

n

x，由这组数据得到新样本数据

1

y，

2

y，，

n

y，其中

(1

ii

yxci

，2，，

)n

，c为非零常数，则

()

A．两组样本数据的样本平均数相同

B．两组样本数据的样本中位数相同

C．两组样本数据的样本标准差相同

D．两组样本数据的样本极差相同

10．已知

O

为坐标原点，点

1

(cos,sin)P，

2

(cos,sin)P

，

3

(cos()P

，

sin())

，

(1,0)A

，则

()

A．

12

||||OPOP



B．

12

||||APAP



C．

312

OAOPOPOP



D．

123

OAOPOPOP



11．已知点

P

在圆22(5)(5)16xy上，点

(4,0)A

，

(0,2)B

，则

()

A．点

P

到直线

AB

的距离小于10B．点

P

到直线

AB

的距离大于2

C．当

PBA

最小时，

||32PB

D．当

PBA

最大时，

||32PB

12．在正三棱柱

111

ABCABC

中，

1

1ABAA

，点

P

满足

1

BPBCBB



，其中

[0

，

1]

，

[0

，

1]

，则

()

A．当

1

时，△

1

ABP的周长为定值

B．当

1

时，三棱锥

1

PABC的体积为定值

C．当

1

2

时，有且仅有一个点

P

，使得

1

APBP

D．当

1

2

时，有且仅有一个点

P

，使得

1

AB平面

1

ABP

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数3()(22)xxfxxa是偶函数，则a．

14．已知

O

为坐标原点，抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，P为

C

上一点，PF与x轴

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垂直，

Q

为x轴上一点，且

PQOP

．若

||6FQ

，则

C

的准线方程为．

15．函数

()|21|2fxxlnx

的最小值为．

16．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规

格为

2012dmdm

的长方形纸，对折1次共可以得到

1012dmdm

，

206dmdm

两种规格的

图形，它们的面积之和2

1

240Sdm，对折2次共可以得到

512dmdm

，

106dmdm

，

203dmdm

三种规格的图形，它们的面积之和2

2

180Sdm，以此类推．则对折4次共可以

得到不同规格图形的种数为；如果对折n次，那么

1

n

k

k

S



2dm．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知数列

{}

n

a

满足

1

1a

，

1

1,,

2,

n

n

n

an

a

an













为奇数

为偶数

（1）记

2nn

ba

，写出

1

b

，

2

b

，并求数列

{}

n

b

的通项公式；

（2）求

{}

n

a

的前20项和．

18．（12分）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有

A

，

B

两类问题．每位参加比赛的同

学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；

若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结

束．

A

类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；

B

类问题中的每个问题回答正

确得80分，否则得0分．

已知小明能正确回答

A

类问题的概率为0.8，能正确回答

B

类问题的概率为0.6，且能正确

回答问题的概率与回答次序无关．

（1）若小明先回答

A

类问题，记

X

为小明的累计得分，求

X

的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．

19．（12分）记

ABC

的内角

A

，

B

，

C

的对边分别为a，

b

，c．已知2bac，点

D

在

边

AC

上，

sinsinBDABCaC

．

（1）证明：

BDb

；

（2）若

2ADDC

，求

cosABC

．

20．（12分）如图，在三棱锥

ABCD

中，平面

ABD

平面

BCD

，

ABAD

，

O

为

BD

的

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中点．

（1）证明：

OACD

；

（2）若

OCD

是边长为1的等边三角形，点

E

在棱

AD

上，

2DEEA

，且二面角

EBCD

的大小为

45

，求三棱锥

ABCD

的体积．

21．（12分）在平面直角坐标系

xOy

中，已知点

1

(17F

，

0)

，

2

(17F

，

0)

，点

M

满足

12

||||2MFMF．记

M

的轨迹为

C

．

（1）求

C

的方程；

（2）设点

T

在直线

1

2

x

上，过

T

的两条直线分别交

C

于

A

，

B

两点和

P

，

Q

两点，且

||||||||TATBTPTQ

，求直线

AB

的斜率与直线

PQ

的斜率之和．

22．（12分）已知函数

()(1)fxxlnx

．

（1）讨论

()fx

的单调性；

（2）设a，

b

为两个不相等的正数，且

blnaalnbab

，证明：

11

2e

ab

．

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2021年全国统一新高考数学试卷（新高考Ⅰ卷）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1．设集合

{|24}Axx

，

{2B

，3，4，

5}

，则

(AB)

A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4}

【思路分析】直接利用交集运算得答案．

【解析】：

{|24}Axx

，

{2B

，3，4，

5}

，

{|24}{2ABxx

，3，4，

5}{2

，

3}

．

故选：

B

．

【归纳总结】本题考查交集及其运算，是基础题．

2．已知

2zi

，则

()(zzi)

A．

62i

B．

42i

C．

62i

D．

42i

【思路分析】把

2zi

代入

()zzi

，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解析】：

2zi

，

2()(2)(2)(2)(22)442262zziiiiiiiiii．

故选：

C

．

【归纳总结】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

3．已知圆锥的底面半径为

2

，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为

()

A．2B．

22

C．4D．

42

【思路分析】设母线长为

l

，利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长

即为侧面展开图半圆的半径，列出方程，求解即可．

【解析】：由题意，设母线长为

l

，

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因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，

则有

22l

，解得

22l

，

所以该圆锥的母线长为

22

．

故选：

B

．

【归纳总结】本题考查了旋转体的理解和应用，解题的关键是掌握圆锥底面周长即为侧面展

开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，考查了逻辑推理能力与运算能

力，属于基础题．

4．下列区间中，函数

()7sin()

6

fxx





单调递增的区间是

()

A．

(0,)

2



B．

(

2



，

)C．

3

(,)

2



D．

3

(

2



，

2)

【思路分析】本题需要借助正弦函数单调增区间的相关知识点求解．

【解析】：令22

262

kxk



