2015上海高考数学

2015年普通高等学校招生全国统一考试

上海数学试卷（理工农医类）

一、填空题（本大题共有14题，满分56分．）考生应在答题纸相应编号的空格

内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．

1．设全集

UR

．若集合1,2,3,4，23xx，则

U

ð．

2．若复数z满足

31zzi

，其中

i

为虚数单位，则z．

3．若线性方程组的增广矩阵为1

2

23

01

c

c







、解为

3

5

x

y











，则

12

cc．

4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为163，则a．

5．抛物线22ypx（0p）上的动点Q到焦点的距离的最小值为

1

，则

p

．

6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为

2

，则其母线与轴的夹角的大小为．

7.方程11

22

log95log322xx的解为．

8.在报名的

3

名男教师和

6

名女教师中，选取

5

人参加义务献血，要求男、女教师都有，则

不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．

9.已知点和Q的横坐标相同，的纵坐标是Q的纵坐标的

2

倍，和Q的轨迹分别为双

曲线

1

C和

2

C．若

1

C的渐近线方程为3yx，则

2

C的渐近线方程为．

10.设1fx为22

2

x

x

fx，0,2x的反函数，则1yfxfx的最大值

为．

11.在

10

2015

1

1x

x









的展开式中，2x项的系数为（结果用数值表示）．

12.赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有

1

，

2

，

3

，

4

，

5

的卡片中随机

摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，

将这两张卡片上数字之差的绝对值的

1.4

倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量

1

和

2

分

别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则

12

（元）．

13.已知函数sinfxx．若存在

1

x，

2

x，，

m

x满足

12

06

m

xxx，且



12231

12

nn

fxfxfxfxfxfx



（2m，m），则m

的最小值为．

14.在锐角三角形

C

中，

1

tan

2

，

D

为边C上的点，

D

与CD的面积分别

为

2

和

4

．过

D

作

D

于，

DFC

于

F

，则DDF



．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考

生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一

律得零分．

15．设

1

z，

2

Cz，则“

1

z、

2

z中至少有一个数是虚数”是“

12

zz是虚数”的（）

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充要条件D．既非充分又非必要条件

16．已知点



的坐标为43,1，将



绕坐标原点



逆时针旋转

3



至



，则点的纵

坐标为（）

A．

33

2

B．

53

2

C．

11

2

D．

13

2

17．记方程①：2

1

10xax，方程②：2

2

20xax，方程③：2

3

40xax，

其中

1

a，

2

a，

3

a是正实数．当

1

a，

2

a，

3

a成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无

实根的是（）

A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根

C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根

18．设,

nnn

xy是直线2

1

n

xy

n





（n）与圆222xy在第一象限的交点，

则极限

1

lim

1

n

n

n

y

x







（）

A．

1

B．

1

2

C．

1

D．

2

三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）解答下列各题必须在答题纸相应

编号的规定区域内写出必要的步骤．

19.（本题满分12分）如图，在长方体

1111

CDCD中，

1

1，

D2

，

、

F

分别是



、

C

的中点．证明

1

、

1

C、

F

、四点共面，并求直线

1

CD与平面

11

CF

所成的角的大小.

20.（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分

如图，



，，

C

三地有直道相通，

5

千米，

C3

千米，

C4

千米.现甲、乙

两警员同时从



地出发匀速前往地，经过t小时，他们之间的距离为ft（单位：千米）.

甲的路线是



，速度为

5

千米/小时，乙的路线是

C

，速度为

8

千米/小时.乙到达地

后原地等待.设

1

tt时乙到达

C

地.

（1）求

1

t与

1

ft的值；

（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是

3

千米.当

1

1tt时，求ft的表达式，并判

断ft在

1

,1t上得最大值是否超过

3

？说明理由.

21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.

已知椭圆2221xy，过原点的两条直线

1

l和

2

l分别于椭圆交于



、和

C

、

D

，记得

到的平行四边形

CD

的面积为

S

.

（1）设

11

,xy，

22

C,xy，用



、

C

的坐标表示点

C

到直线

1

l的距离，并证明

1121

2Sxyxy；

（2）设

1

l与

2

l的斜率之积为

1

2

，求面积

S

的值.

22.（本题满分16分）本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小

题满分6分.

已知数列

n

a与

n

b满足

11

2

nnnn

aabb



，n.

（1）若35

n

bn，且

1

1a，求数列

n

a的通项公式；

（2）设

n

a的第

0

n项是最大项，即nnaa0（n），求证：数列

n

b的第

0

n项是最大

项；

（3）设

1

0a，n

n

b（n），求的取值范围，使得

n

a有最大值与最小

值m，且2,2

m



.

23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3

小题满分8分.

对于定义域为

R

的函数gx，若存在正常数，使得cosgx是以为周期的函数，则

称gx为余弦周期函数，且称为其余弦周期.已知fx是以为余弦周期的余弦周期函

数，其值域为

R

.设fx单调递增，00f，4f.

（1）验证sin

3

x

hxx是以6

为余弦周期的余弦周期函数；

（2）设

ba

．证明对任意,cfafb





，存在

0

,xab，使得

0

fxc；

（3）证明：“

0

u为方程cos1fx在0,上得解”的充要条件是“

0

u为方程

cos1fx在,2上有解”，并证明对任意0,x都有fxfxf.