2014年高考数学试卷

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2014年北京市高考数学试卷（文科）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选

出符合题目要求的一项

1．（5分）若集合A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，则A∩B=（）

A．{0，1，2，3，4}B．{0，4}C．{1，2}D．{3}

2．（5分）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）

A．y=e﹣xB．y=xC．y=lnxD．y=|x|

3．（5分）已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（）

A．（5，7）B．（5，9）C．（3，7）D．（3，9）

4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）

A．1B．3C．7D．15

5．（5分）设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

6．（5分）已知函数f（x）=﹣log

2

x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是

（）

A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）

7．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m

＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）

A．7B．6C．5D．4

8．（5分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食

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用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系

p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型

和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）

A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．（5分）若（x+i）i=﹣1+2i（x∈R），则x=．

10．（5分）设双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，

0），则C的方程为．

11．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为．

12．（5分）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=；sinA=．

13．（5分）若x，y满足，则z=x+y的最小值为．

14．（5分）顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师

带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工

完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：

第3页（共19页）

工作日）如下：

工

序

时

间

原

料

粗加工精加工

原

料A

915

原

料B

621

则最短交货期为个工作日．

三、解答题，共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过

程．

15．（13分）已知{a

n

}是等差数列，满足a

1

=3，a

4

=12，等比数列{b

n

}满足b

1

=4，

b

4

=20．

（1）求数列{a

n

}和{b

n

}的通项公式；

（2）求数列{b

n

}的前n项和．

16．（13分）函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．

（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x

0

，y

0

的值；

（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．

17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A

1

B

1

C

1

中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA

1

=AC=2，

第4页（共19页）

BC=1，E，F分别是A

1

C

1

，BC的中点．

（Ⅰ）求证：平面ABE⊥B

1

BCC

1

；

（Ⅱ）求证：C

1

F∥平面ABE；

（Ⅲ）求三棱锥E﹣ABC的体积．

18．（13分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：

小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：

排

号

分组频

数

1

[0，2）

6

2

[2，4）

8

3

[4，6）

17

4

[6，8）

22

5

[8，

10）

25

6

[10，

12）

12

7

[12，

14）

6

8

[14，

16）

2

9

[16，

18）

2

合计

10

第5页（共19页）

0

（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小

时的概率；

（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；

（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的

100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）

19．（14分）已知椭圆C：x2+2y2=4．

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线

段AB长度的最小值．

20．（13分）已知函数f（x）=2x3﹣3x．

（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；

（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；

（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f

（x）相切？（只需写出结论）

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2014年北京市高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选

出符合题目要求的一项

1．（5分）（2014•北京）若集合A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，则A∩B=（）

A．{0，1，2，3，4}B．{0，4}C．{1，2}D．{3}

【解答】解：∵A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，

∴A∩B={0，1，2，4}∩{1，2，3}={1，2}．

故选：C．

2．（5分）（2014•北京）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）

A．y=e﹣xB．y=xC．y=lnxD．y=|x|

【解答】解：A．函数的定义域为R，但函数为减函数，不满足条件．

B．函数的定义域为R，函数增函数，满足条件．

C．函数的定义域为（0，+∞），函数为增函数，不满足条件．

D．函数的定义域为R，在（0，+∞）上函数是增函数，在（﹣∞，0）上是减函

数，不满足条件．

故选：B．

3．（5分）（2014•北京）已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（）

A．（5，7）B．（5，9）C．（3，7）D．（3，9）

【解答】解：由=（2，4），=（﹣1，1），得：

2﹣=2（2，4）﹣（﹣1，1）=（4，8）﹣（﹣1，1）=（5，7）．

故选：A．

4．（5分）（2014•北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）

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A．1B．3C．7D．15

【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值，

∵跳出循环的k值为3，

∴输出S=1+2+4=7．

故选：C．

5．（5分）（2014•北京）设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【解答】解：因为a，b都是实数，由a＞b，不一定有a2＞b2，如﹣2＞﹣3，但

（﹣2）2＜（﹣3）2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分条件；

反之，由a2＞b2也不一定得a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，所以“a

＞b”是“a2＞b2”的不必要条件．

故选D

6．（5分）（2014•北京）已知函数f（x）=﹣log

2

x，在下列区间中，包含f（x）

零点的区间是（）

A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）

【解答】解：∵f（x）=﹣log

2

x，

∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，

满足f（2）f（4）＜0，

∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，

第8页（共19页）

故选：C

7．（5分）（2014•北京）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），

B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）

A．7B．6C．5D．4

【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，

∵圆心C到O（0，0）的距离为5，

∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．

再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，

可得PO=AB=m，故有m≤6，

故选：B．

8．（5分）（2014•北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分

比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满

足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上

述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）

第9页（共19页）

A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟

【解答】解：将（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5）分别代入p=at2+bt+c，可得

，

解得a=﹣0.2，b=1.5，c=﹣2，

∴p=﹣0.2t2+1.5t﹣2，对称轴为t=﹣=3.75．

故选：B．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．（5分）（2014•北京）若（x+i）i=﹣1+2i（x∈R），则x=2．

【解答】解：∵（x+i）i=﹣1+2i，

∴﹣1+xi=﹣1+2i，

由复数相等可得x=2

故答案为：2

10．（5分）（2014•北京）设双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一

个顶点是（1，0），则C的方程为x2﹣y2=1．

【解答】解：∵双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，

0），

∴c=，a=1，

∴b=1，

∴C的方程为x2﹣y2=1．

故答案为：x2﹣y2=1．

11．（5分）（2014•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱

长为2．

第10页（共19页）

【解答】解：由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE=CE=1；

由主视图知CD=2，由左视图知BE=1，

在Rt△BCE中，BC=，

在Rt△BCD中，BD=，

在Rt△ACD中，AD=2．

则三棱锥中最长棱的长为2．

故答案为：2．

12．（5分）（2014•北京）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=2；sinA=

．

【解答】解：∵在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，

∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣1=4，即c=2；

∵cosC=，C为三角形内角，

∴sinC==，

第11页（共19页）

∴由正弦定理=得：sinA===．

故答案为：2；．

13．（5分）（2014•北京）若x，y满足，则z=x+y的最小值为1．

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

化目标函数z=x+y为，

由图可知，当直线过C（0，1）时直线在y轴上的截距最小．

此时．

故答案为：1．

14．（5分）（2014•北京）顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工

艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师

傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需

时间（单位：工作日）如下：

工

序

时

间

粗加工精加工

第12页（共19页）

原

料

原

料A

915

原

料B

621

则最短交货期为42个工作日．

【解答】解：由题意，徒弟利用6天完成原料B的加工，由师傅利用21天完成

精加工，与此同时，徒弟利用9天完成原料A的加工，最后由师傅利用15天完

成精加工，故最短交货期为6+21+15=42个工作日．

故答案为：42．

三、解答题，共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过

程．

15．（13分）（2014•北京）已知{a

n

}是等差数列，满足a

1

=3，a

4

=12，等比数列{b

n

}

满足b

1

=4，b

4

=20．

（1）求数列{a

n

}和{b

n

}的通项公式；

（2）求数列{b

n

}的前n项和．

【解答】解：（1）∵{a

n

}是等差数列，满足a

1

=3，a

4

=12，

∴3+3d=12，解得d=3，

∴a

n

=3+（n﹣1）×3=3n．

∵等比数列{b

n

}满足b

1

=4，b

4

=20，

∴4q3=20，解得q=，

∴b

n

=4×（）n﹣1．

（2）∵等比数列{b

n

}中，，

∴数列{b

n

}的前n项和S

n

==．

第13页（共19页）

16．（13分）（2014•北京）函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．

（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x

0

，y

0

的值；

（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．

【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=3sin（2x+），

∴f（x）的最小正周期T==π，

可知y

0

为函数的最大值3，x

0

=；

（Ⅱ）∵x∈[﹣，﹣]，

∴2x+∈[﹣，0]，

∴当2x+=0，即x=时，f（x）取最大值0，

当2x+=，即x=﹣时，f（x）取最小值﹣3

17．（14分）（2014•北京）如图，在三棱柱ABC﹣A

1

B

1

C

1

中，侧棱垂直于底面，

AB⊥BC，AA

1

=AC=2，BC=1，E，F分别是A

1

C

1

，BC的中点．

（Ⅰ）求证：平面ABE⊥B

1

BCC

1

；

（Ⅱ）求证：C

1

F∥平面ABE；

（Ⅲ）求三棱锥E﹣ABC的体积．

第14页（共19页）

【解答】（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC﹣A

1

B

1

C

1

中，侧棱垂直于底面，

∴BB

1

⊥AB，

∵AB⊥BC，BB

1

∩BC=B，

∴AB⊥平面B

1

BCC

1

，

∵AB⊂平面ABE，

∴平面ABE⊥B

1

BCC

1

；

（Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则，

∵F是BC的中点，

∴FG∥AC，FG=AC，

∵E是A

1

C

1

的中点，

∴FG∥EC

1

，FG=EC

1

，

∴四边形FGEC

1

为平行四边形，

∴C

1

F∥EG，

∵C

1

F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，

∴C

1

F∥平面ABE；

（Ⅲ）解：∵AA

1

=AC=2，BC=1，AB⊥BC，

∴AB=，

∴V

E﹣ABC===．

第15页（共19页）

18．（13分）（2014•北京）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅

读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方

图：

排

号

分组频

数

1

[0，2）

6

2

[2，4）

8

3

[4，6）

17

4

[6，8）

22

5

[8，

10）

25

6

[10，

12）

12

7

[12，

14）

6

8

[14，

16）

2

9

[16，

18）

2

合计

10

0

（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小

第16页（共19页）

时的概率；

（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；

（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的

100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）

【解答】解：（Ⅰ）由频率分布表知：1周课外阅读时间少于12小时的频数为

6+8+17+22+25+12=90，

∴1周课外阅读时间少于12小时的频率为=0.9；

（Ⅱ）由频率分布表知：数据在[4，6）的频数为17，∴频率为0.17，∴a=0.085；

数据在[8，10）的频数为25，∴频率为0.25，∴b=0.125；

（Ⅲ）数据的平均数为1×0.06+3×0.08+5×0.17+7×0.22+9×0.25+11×0.12+13

×0.06+15×0.02+17×0.02=7.68（小时），

∴样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组．

19．（14分）（2014•北京）已知椭圆C：x2+2y2=4．

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线

段AB长度的最小值．

【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2=4化为标准方程为，

∴a=2，b=，c=，

∴椭圆C的离心率e==；

（Ⅱ）设A（t，2），B（x

0

，y

0

），x

0

≠0，则

第17页（共19页）

∵OA⊥OB，

∴=0，

∴tx

0

+2y

0

=0，∴t=﹣，

∵，

∴|AB|2=（x

0

﹣t）2+（y

0

﹣2）2=（x

0

+）2+（y

0

﹣2）

2=x

0

2+y

0

2++4=x

0

2+++4=+4（0＜x

0

2≤4），

因为≥4（0＜x

0

2≤4），当且仅当，即x

0

2=4时等号成立，所

以|AB|2≥8．

∴线段AB长度的最小值为2．

20．（13分）（2014•北京）已知函数f（x）=2x3﹣3x．

（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；

（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；

（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f

（x）相切？（只需写出结论）

【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2x3﹣3x得f′（x）=6x2﹣3，

令f′（x）=0得，x=﹣或x=，

∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣）=，f（）=﹣，f（1）=﹣1，

∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为．

（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x

0

，y

0

），

则y

0

=2﹣3x

0

，且切线斜率为k=6﹣3，

∴切线方程为y﹣y

0

=（6﹣3）（x﹣x

0

），

第18页（共19页）

∴t﹣y

0

=（6﹣3）（1﹣x

0

），

即4﹣6+t+3=0，

设g（x）=4x3﹣6x2+t+3，

则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不

同的零点”．

∵g′（x）=12x2﹣12x=12x（x﹣1），

∴g（x）与g′（x）变化情况如下：

x

（﹣∞，0）

0

（0，1）

1

（1，+∞）

g′（x）+

0

﹣

0

+

g（x）

↗

t+3

↘

t+1

↗

∴g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值．

当g（0）=t+3≤0，即t≤﹣3时，g（x）在区间（﹣∞，1]和（1，+∞）上分别

至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．

当g（1）=t+1≥0，即t≥﹣1时，g（x）在区间（﹣∞，0]和（0，+∞）上分别

至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．

当g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1时，∵g（﹣1）=t﹣7＜0，g（2）

=t+11＞0，

∴g（x）分别在区间[﹣1，0），[0，1）和[1，2）上恰有1个零点，由于g（x）

在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上单调，

故g（x）分别在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上恰有1个零点．

综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取

值范围是（﹣3，﹣1）．

（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切；

过点B（2，10）存在2条直线与曲线y=f（x）相切；

过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切．

第19页（共19页）

参与本试卷答题和审题的老师有：sxs123；maths；清风慕竹；lincy；caoqz；刘

长柏；sllwyn；zlzhan；liu老师（排名不分先后）

菁优网

2017年5月26日