考研数学一答案

.

2017年全国硕士研究生入学统一考试

数学〔一〕试题

一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分．以下每题给出的四个选项中，只有一个选项

是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸

．．．

指定位置上．

〔1〕假设函数

1cos

,0

()

,0

x

x

fx

ax

bx



















在

x

连续，那么

(A)

1

2

ab．(B)

1

2

ab．(C)0ab．(D)2ab．

【答案】A

【详解】由

0

1cos1

lim

2x

x

b

axa



,得

1

2

ab.

〔2〕设函数fx可导，且()'()0fxfx那么

(A)11ff．(B)11ff．

(C)11ff．(D)11ff.

【答案】C

【详解】

2()

()()[]0

2

fx

fxfx



,从而2()fx单调递增,22(1)(1)ff.

〔3〕函数22(,,)fxyzxyz在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n的方向导数为

(A)12．(B)6．(C)4．(D)2．

【答案】D

【详解】方向余弦

12

cos,coscos

33

,偏导数22,,2

xyz

fxyfxfz



,代入

coscoscos

xyz

fff



即可.

〔4〕甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲

线

1

()vvt(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线

2

()vvt(单位：m/s)，三块阴影局部面积

的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，那么

.

(A)

0

10t．(B)

0

1520t．(C)

0

25t．(D)

0

25t．

【答案】C

【详解】在

0

25t时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m处.

〔5〕设

α

为

n

维单位列向量，E为

n

阶单位矩阵，那么

(A)TEαα不可逆．(B)TEαα不可逆．

(C)T2Eαα不可逆．(D)T2Eαα不可逆．

【答案】A

【详解】可设T,那么T的特征值为1,0,,0,从而TE的特征值

为011,,,,因此TE不可逆.

〔6〕设有矩阵

200

021

001

A













，

210

020

001

B













，

1

2

2

C













(A)A与C相似，B与C相似．(B)A与C相似，B与C不相似．

(C)A与C不相似，B与C相似．(D)A与C不相似，B与C不相似．

【答案】B

【详解】,AB的特征值为221,,,但A有三个线性无关的特征向量,而B只有两个,所以

A可对角化,B那么不行.

〔7〕设,AB为随机事件，假设0()1PA，0()1PB，那么

(|)(|)PABPBA

的

充分必要条件

(A)(|)(|)PBAPBA．(B)(|)(|)PBAPBA．

(C)

(|)(|)PBAPBA

．(D)

(|)(|)PBAPBA

．

【答案】A

【详解】由

(|)(|)PABPAB

得

()()()()

()()1()

PABPABPAPAB

PBPBPB







,即

()>()()PABPAPB;

.

由(|)(|)PBAPBA也可得()>()()PABPAPB.

〔8〕设

12

,,,(2)

n

XXXn为来自总体(,1)N的简单随机样本，记

1

1n

i

i

XX

n



，那么

以下结论不正确的选项是

(A)2

1

()

n

i

i

X



服从2分布．(B)2

1

2()

n

XX服从2分布．

(C)2

1

()

n

i

i

XX



服从2分布．(D)2()nX服从2分布．

【答案】B

【详解】2222

11

~(0,1)()~(),()~(1)

1

nn

i

ii

ii

X

NXnXXn









;

22

1

~(,),()~(1);XNnX

n



2

2

1

1

()

~(0,2),~(1)

2

n

n

XX

XXN



.

二、填空题：9～14小题，每题4分，共24分．请将答案写在答题纸

．．．

指定位置上．

〔9〕函数

2

1

(),

1

fx

x





(3)(0)f．

【答案】0

【详解】24

2

1

()1(11)

1

fxxxx

x





,没有三次项.

〔10〕微分方程032







yyy的通解为．

【答案】

12

e(cos2sin2)xyCxCx

【详解】特征方程2230rr得12ri,因此

12

e(cos2sin2)xyCxCx

.

〔11〕假设曲线积分





Lyx

aydyxdx

122

在区域1),(22yxyxD内与路径无关，那么

a

．

【答案】1

【详解】有题意可得

QP

xx







,解得1a.

〔12〕幂级数1

1

1)1(





n

n

nnx在(-1,1)内的和函数()Sx．

.

【答案】

2

1

(1)x

【详解】11

2

11

1

(1)[()]

(1)

nnn

nn

nxx

x













.

〔13〕























110

211

101

A，

321

，，是3维线性无关的列向量，那么

321

,,AAA的

秩为．

【答案】2

【详解】

123

(,,)()2rrAAAA

〔14〕设随即变量X的分布函数

4

()0.5()0.5()

2

x

Fxx



，其中)(x为标准正态分

布函数，那么EX．

【答案】2

【详解】

0

0.54

()d[0,5()()]d2

22

x

EXxfxxxxx





.

三、解答题：15～23小题，共94分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答

案写在答题纸

．．．

指定位置上．

〔15〕〔此题总分值10分〕．

设函数(,)fuv具有2阶连续偏导数，

(e,cos),xyfx求

2

2

0

0

,

x

x

dydy

dxdx





.

【答案】

(e,cos)xyfx



''

12

'

1

2

''''''''''

1112121222

2

2

''''

1112

2

sin,

0(1,1)

sin(sin)sincos

0(1,1)(1,1)(1,1)

x

xxxx

dy

fefx

dx

dy

xf

dx

dy

fefxefefefxxfx

dx

dy

xfff

dx









〔16〕〔此题总分值10分〕．

求

2

limln(1)

n

kk

nn

.

【答案】

.

2

1

222

11

2

00

1

22

0

2

limln(1)

1122

limln(1)ln(1)...ln(1)

11122

limln(1)ln(1)...ln(1)

1

ln(1)ln(1)

2

1

111

ln(1)

0

221

1111

ln2

221

n

k

n

n

kk

nn

nn

nnnnnn

nn

nnnnnnn

xxdxxdx

xxxdx

x

x













































1

0

11

00

2

111

ln2[(1)]

221

11

111

ln2[()ln(1)]

00

222

1111

ln2(1ln2)

2224

dx

x

xdxdx

x

xxx















〔17〕〔此题总分值10分〕．

函数)(xy由方程333320xyxy确定，求)(xy的极值.

【答案】333320xyxy①，

方程①两边对

x

求导得：22''33330xyyy②，

令'0y，得233,1xx.

当1x时1y，当1x时0y.

方程②两边再对

x

求导：'22''''66()330xyyyyy，

令'0y，2''6(31)0xyy，

当1x，1y时''

3

2

y，当1x，0y时''6y.

所以当1x时函数有极大值，极大值为1，当1x时函数有极小值，极小值为0.

〔18〕〔此题总分值10分〕．

设函数()fx在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f，

0

()

lim0

x

fx

x

.证明：

〔I〕方程()0fx在区间(0,1)内至少存在一个实根;

.

〔II〕方程2()''()['()]0fxfxfx在区间(0,1)内至少存在两个不同实根.

【答案】

(1)

0

()

lim0

x

fx

x

，由极限的局部保号性，(0,),()0cfc使得，又(1)0,f由零

点存在定理知，(c,1)，使得，()0f.

(2)构造()()'()Fxfxfx，(0)(0)'(0)0Fff，()()'()0Fff，

0

()

lim0,'(0)0,

x

fx

f

x

由拉格朗日中值定理知

(1)(0)

(0,1),'()0

10

ff

f







，

'(0)'()0,ff所以由零点定理知

1

(0,)(0,1)，使得

1

'()0f，

111

()()'()0,Fff所以原方程至少有两个不同实根。

〔19〕〔此题总分值10分〕．

设薄片型物体S是圆锥面22yxz被xz22割下的有限局部，其上任意一点处的

密度为2229),,(zyxzyx，记圆锥面与柱面的交线为C；

〔I〕求C在xOy平面上的投影曲线的方程；

〔II〕求S的质量M。

【答案】(1)C的方程为

22

22

zxy

zx















，投影到xoy平面的方程为：

22(1)1

0

xy

z











2222222(2)(,,)9+92++MuxyzdSxyzdSxyxydS





2cos

223

22

0

22

8

18+18cos

3

dxydxdyd













3

2

0

2

96cos96(1)64

3

d





〔20〕(此题总分值11分)．

设3矩阵

123

(,,)A有3个不同的特征值，

312

2

〔I〕证明：(A)2r;

〔II〕假设

123

，求方程组Ax的解.

.

【答案】

.00

1

2

1

,,

,02

1321

321

213

的特征值是，故

，

A



































又A有三个不同的特征值，故0

1

为单根，且A一定能相似对角化.

.2)()(

,~





rAr

A

（2）由〔1〕，0Ax的通解为Tk1,2,1，

321

，故有





















TA1,1,1

1

1

1

,,

321

，即.

).()1,1,1(1,2,1为任意常数的通解为kkAxT

T

〔21〕〔此题总分值11分〕．

设二次型222

3

(,,)2282fxxxxxaxxxxxxx在正交变换Qyx下

的标准形为22

1122

yy，求

a

的值及一个正交矩阵Q。

（21）【答案】二次型的矩阵





























a

A

14

111

412

，

因为二次型在正交变换下的标准形为22

1122

yy，故A有特征值0，

0A，故2a.

由

0)6)(3(

214

111

412

















AE得特征值为

0,6,3

321

.

解齐次线性方程组0xAE

i

，求特征向量.

.

对3

1

，





















































000

110

101

514

121

415

3AE,得























1

1

1

1

；

对6

2

，



















































000

010

101

414

171

414

6AE,得

























1

0

1

2

；

对0

3

，























































000

210

101

214

111

412

0AE,得























1

2

1

3

；

因为

123

,,属于不同特征值，已经正交，只需标准化：

令TTT1,2,1

6

1

,1,0,1

2

1

,1,1,1

3

1

3

2

2

2

1

1

1













，

所求正交矩阵为











































6

1

2

1

3

1

6

2

0

3

1

6

1

2

1

3

1

Q,对应标准形为2

2

2

1

63yyf.

〔22〕〔此题总分值11分〕．

设随机变量X与Y相互独立，且X的概率分布为

1

{X0}{X2}

2

PP，Y的概

率密度为

2,01

()

0,

yy

fy











其他.

〔I〕求{YEY}P

〔II〕求ZXY的概率密度。

22、【答案】〔1〕

3

2

d2d)(1

0





yyyyyyfEY

Y

，



9

4

d2d)(3

2

0

3

2



yyyyfEYYP

Y

.

（2）Z的分布函数为

.





)2()(

2

1

2

2

1

220

2,0,)(







zFzF

zYPzYPzYXPzYXP

XzYXPXzYXPzZPzF

YY

Z

，，

故Z的概率密度函数为





















































其它,0

32,2

10,

3,0

32,2

21,0

10,

0,0

)2()(

2

1

)()(zz

zz

z

zz

z

zz

z

zfzfzFzf

ZZ.

〔23〕〔此题总分值11分〕．

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量



n

XXX,,

21

相互独立且均服从正态分布

),(2N.该工程师记录的是n次测量的

绝对误差),,2,1(niXZ

ii

.利用

n

ZZZ,,

21

估计



.

〔I〕求

i

Z的概率密度；

〔II〕利用一阶矩求



的矩估计量；

〔III〕求



的最大似然估计量.

【答案】

1

Z的分布函数为

























zX

PzXPzZPzF

Z

1

11

)(

1

，

.12)(,0

;0)(,0

1

1





















z

zFz

zFz

Z

Z

时

时

所以

i

Z的概率密度均为

2

22

2

e,0

()()

2

0,

z

ZZ

z

fzFz



















其他



.

（2）



















2

2

2

2

d

2

2

d

2

2

0

2

0

2

2

0

1

22

2

2



































tt

zt

z

ettezezEZ

令

，

令

ZEZ

1

，即Z





2

2

，得



的矩估计量为：

.

Z

2

2

ˆ



，其中





n

i

i

Z

n

Z

1

1

.

〔3〕记

n

ZZZ,,,

21

的观测值为

n

zzz,,,

21

，当),,2,1(0niz

i

时，

似然函数为















n

i

i

iz

n

n

n

z

n

i

n

i

i

eezfL1

2

2

2

2

2

1

2

2

11

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2

2

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



，





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n

i

i

zn

n

nL

1

2

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1

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2

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

，

令

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n

i

i

n

i

i

z

n

z

n

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Ld

1

2

1

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





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

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n

i

i

Z

n

1

2

1

ˆ的最大似然估计量为.