北约自主招生

22013“北约”自主招生试题

2013-03-16

(时间90分钟,满分120分)

一、选择题(每题8分,共48分)

1.以

2

和312

为两根的有理系数多项式的最高次数最小为()

A.2B.3C.5D.6

【解】由

1

2x,可知22x

,同理由312x

可知3(1)2x

;

所以方程23(2)[(1)2]0xx

的次数最小,其次数为5,故选C.

2.在66的表中停放3辆完全相同的红色和3辆完全相同的黑色车,每一行每一列只有一辆

车,每辆车只占一格,共有种停放方法.

A.720B.20C.518400D.14400

【解】红色车选3列有3

6

20C种方法,再从这三列中选三行有3

6

20C种方法,另外将红色

车放在已选好的三列三行中有326种方法,同理黑色车只能从剩下的三行三列九个格

中选,也有326种方法,因此方法数有

(20206)614400

种.故选D.

3.已知225xy,225yx(xy),则32232xxyy值为()

A.10B.12C.14D.16

【解】由225xy与225yx两式作差得

2()xyxy

,代入两式中分别化出

2210xx、2210yy,所以,xy是方程2210tt的两个不等实根,于是

2,1xyxy

,也所以

3223222()[()3]2()(2)7216xxyyxyxyxyxy.故选D.

4.在数列{}

n

a中,

1

1a,

1

42

nn

Sa



(1n),则

2013

a值为()

A.201230192B.201330192C.201230182D.无法确定

【解】由

1

1a,

1

42

nn

Sa



(1n)……①可知,

当1n时,

21

42Sa,所以

2

5a;

当2n时,有

1

42(2)

nn

San



……②,由①-②式得,

11

44(2)

nnn

aaan





,即

11

22()(2)

nnnn

aaaan





,且

21

23aa

所以1

1

232n

nn

aa





(*nN

),同除以2n得,1

1

3

222

nn

nn

aa







,且1

0

1

2

a



;

所以1

3

1

22

n

n

a

n

,故令2012n时,得2012

2013

23019a

,故选A.

5.在ABC中,

D

为BC中点,

DM

平分

ADB

交

AB

于点

M

,DN平分ADC交AC于N,

则BMCN与MN的关系为()







D.无法确定

【解】如图,在

DA

取

DEDB

,连接,,MENEMN

则显然可证,MEMBENNC,

且有MENEMN,即BMCNMN,

上述不等式当且仅当

180MEDDEN,

也即

180BC,

这显然与三角形内角和定理矛盾,故等号取不到,

也即选A.

6.模长都为1的复数,,ABC满足0ABC,则

BCACAB

ABC





的模长为()

A.

1

2

B.1C.2D.无法确定

【解】由题知1AABBCC,所以

2BCACABBCACABBCACAB

ABCABC

ABC









,

也即

2BCACABBCACABBCACAB

ABCABC

ABC









3

1

3

BACAABCBACBC

ABACBABCCACB







,故选B.

二、解答题(每题18分,共72分)

7.最多能找多少个两两不相等的正整数使其任意三个数之和为质数,并证明你的结论.

【解】:至多有4个.首先可以取1,3,7,9这四个数,它们任意三个数之和分别为11,13,17,19符

合质数定义.下面再证明5个正整数是不符合题意的.

若有5个正整数,则考虑质数被3除的余数,如果有一个数的余数为0,那么考虑余下的4

个数被3除的余数,如果余数既有1也有2,那么这两个数与前面余数为0的数的和刚好为3

M

N

A

C

D

B

M

N

A

C

D

B

E

的倍数,故不符合题意,如果余下四个数的余数均相等,显然取余下四个数中的三个数,则这

三个数的和为3的倍数不是质数,也不符合题意,如果这5个数被3除的余数都不等于3,则

由抽屉原理,至少有3个数被3除的余数相同,这三个数的和是3的倍数不是质数,也不符合

题意.综上可知,不存在5个正整数符合题意,即至多有4个正整数符合题意.

8.已知

1232013

0aaaa

,且

122320131

|2||2||2|aaaaaa

证明:

1232013

0aaaa

.

【证明】:观察可知

1232013

0aaaa

,

即

21322

(2)(2)(2)(2)0aaaaaaaa

……①

又

122320131

|2||2||2|aaaaaa

,不妨设

12

|2|aat

,

则①可写为

(2013)0(02013,)ktktkkN

,即

(22013)0kt

,

又显然220130k,则有0t,于是有

12232

2,2,,2,2aaaaaaaa

,所以2013

11

2aa,即

1

0a

.

也所以

1232013

0aaaa

,即证.

9.对于任意,求632coscos66cos415cos2的值.

【解】632coscos66cos415cos2

3

1cos2

32()cos66cos415cos2

2









3234(1cos23cos23cos2)(3cos24cos2)6cos415co2

2412cos26cos446(1cos4)6cos410即求.

10.有一个mn的数表,已知每一行的数均是由小到大排列.现在将每一列的数由小到大重

新排列,则新的数表中每一行的数满足什么样的关系？请证明你的结论.

〖原题叙述〗:已知有mn个实数,排列成mn阶数阵,记作{}

ijmn

a



,使得数阵中的每一行从

左到右都是递增的,即对意的1,2,3,,im,当

12

jj时,都有

12

ijij

aa.现将{}

ijmn

a



的每一

列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列,形成一个新的mn阶数阵,记作{}

ijmn

a



,即对

任意的1,2,3,,in,当

12

ii时,都有

12

ijij

aa



.试判断{}

ijmn

a



中每一行的n个数的大小关

系,并说明理由.

【解】:数阵

{}

ijmn

a



中每一行的

n

个数从左到右都是递增的,理由如下:

显然,我们要证明数阵

{}

ijmn

a



中每一行的

n

个数从左到右都是递增的,我们只需证明,

对于任意1,2,3,,im,都有

(1)ijij

aa





,其中

1,2,3,,(1)jn

.

若存在一组

(1)pqpq

aa





,令

(1)(1)

k

kqiq

aa





,其中

12

1,2,3,,,{,,,}{1,2,,}

k

kmiiim

,

则当tp时,都有

(1)(1)(1)

tt

iqiqtqpqpq

aaaaa





.也即在(1,2,,)

iq

aim中,至少有

p

个数小于

pq

a

,也即

pq

a

在数阵{}

ijmn

a



中的第

q

列中,至少排在第

1p

行,与

pq

a

排在第

p

行矛盾.

所以对于任意的1,2,,im,都有

(1)ijij

aa





,即数阵{}

ijmn

a



中每一行的

n

个数从左到

右都是递增的.