2011湖南高考数学

2011年普通高等学校招全国统一考试（湖南卷）

数学（文史类）

本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。时间120分钟，满

分150分。

参考公式：

（1）柱体体积公式

vsh

，其中

s

为底面面积，h为高

（2）球的体积公式V=

3

1

πR3,其中R为球的半径

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集U=M∪N=﹛1,2,3,4,5﹜,M∩C

u

N=﹛2,4﹜,则N=

A．{1,2,3}B.{1,3,5}

C.{1,4,5}D.{2,3,4}

2．若

,abR

，为虚数单位，且

()aiibi

则

A．

1a

，

1b

B.

1,1ab

C.

1,1ab

D.

1,1ab

3.“

1x

”是“1x”的

A．充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

4.设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为

A．

942

B．

3618

C．

9

12

2



D．

9

18

2



5.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联

表：

男女总计

爱好402060

不爱好203050

总计6050110

由

2

2

()

()()()()

nadbc

k

adcdacbd







算得，

2

2

110(40302020)

7.8

60506050

k







附表：

2()pkk0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

参照附表，得到的正确结论是

A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

6.设双曲线

22

2

1(0)

9

xy

a

a

的渐近线方程为320xy，则a的值为

A.4B.3C.2D.1

7.曲线

sin1

sincos2

x

y

xx





在点M（

4



，0）处的切线的斜率为

A.

1

2

B.

1

2

C.

2

2

D.

2

2

8.已知函数2()1,()43xfxegxxx，若有()()fagb，则b的取值范围

为

A.22,22







B.(22,22)

C.1,3D.1,3

二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答

案填在答题卡

．．．

中对应号后的横线上。

（一）选做题（请考生在9、10两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分）

9.在直角坐标系xOy中，曲线C

1

的参数方程为

2cos,

3sin

x

y



















（为参数），

在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴

正半轴为极轴）中，曲线C

2

的方程为cossin10p，则C

1

与C

2

的交点个

数为。

10.已知某试验范围为【10，90】，若用分数法进行4次优选试验，则第二次

试点可以是。

（二）必做题（11～16题）

11.若执行如图2所示的框图，

输入

1

1x，x2

=2,x

3

=4,x

4

=8,

则输出的数等于。

12.已知f(x)为奇函数，g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则f(2)=_________.

13.设向量a,b满足|a|=2

5

,b=(2,1),且a与b的方向相反，则a的坐标为________.

14.设m>1,在约束条件下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值

为_________.

15.已知圆C：x2+y2=12,直线l:4x+3y=25.

（1）圆C的圆心到直线l的距离为________;

（2）圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为_______.

16.给定

kN

,设函数

:fNN

满足：对于任意大于k的正整数n，

()fnnk

。

(1)设k=1，则其中一个函数f在n=1处的函数值为_________'

(2)设k=4,且当n≤4时，2≤f(n)≤3,则不同的函数f的个数为________.

三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤。

17.（本小题满分12分）

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC.

(1)求角C的大小；

(2)求3sinA-cos(B+

4



)的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。

18.（本小题满分12分）

某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河

上游在六月份是我降雨量X（单位：毫米）有关，据统计，当X=70时，Y=460；

X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为：140,110,160,70,200,160,140,160,

220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160。

（Ⅰ）完成如下的频率分布表

近20年六月份降雨量频率分布表

降雨量

70220

频率1

20

4

20

2

20

（Ⅱ）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并

将频率是为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或

超过530（万千瓦时）的概率.

19.（本小题满分12分）

如图3，在圆锥PO中，已知PO=2，的直径2AB,点C在上，且

030CAB，

D

为AC的中点.

(Ⅰ)证明：AC平面POD;

(Ⅱ)求直线OC和平面PAC所成角的正弦值。

20.（本小题满分13分）

某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备

M

，

M

的价值在使用过程中

逐年减少.从第2年到第6年，每年初

M

的价值比上年初减少10万元；从第7

年开始，每年初

M

的价值为上年初的75%.

（Ⅰ）求第

n

年初

M

的价值na

的表达式；

（Ⅱ）设12...n

n

aaa

A

n





，若nA

大于80万元，则

M

继续使用，否则须在

第

n

年初对

M

更新.证明：须在第9年初对

M

更新.

21.（本小题满分13分）

已知平面内一动点

P

到点

(1,0)F

的距离与点

P

到

y

轴的距离的差等于1.

（Ⅰ）求动点

P

的轨迹

C

的方程；

（Ⅱ），过点

F

左两条斜率存在且互相垂直的直线

12

,ll，设

1

l与轨迹C相交于

点

,AB

，

2

l与轨迹C相交于点,DE，求,ADEB



的最小值。

22.（本小题满分13分）

设函数

1

()()fxxaInxaR

x

。

（Ⅰ）讨论函数

()fx

的单调性。

（Ⅱ）若

()fx

有两个极值点

12

,xx；记过点

11

(,()),Axfx

22

(,())Bxfx的直线

斜率为k。问：是否存在

a

，使得2ka？若存在，求出

a

的值；若不存在，

请说明理由。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文史类

本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页．时量120分钟，满分150分．

参考公式（1）柱体体积公式VSh，其中S为底面面积，h为高．

（2）球的体积公式3

4

3

VR，其中R为球的半径．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

1．设全集{1,2,3,4,5},{2,4},

U

UMNMCN则N（）

A．{1,2,3}B．{1,3,5}Ｃ．{1,4,5}Ｄ．{2,3,4}

答案：B

解析：画出韦恩图，可知N{1,3,5}。

２．若,,abRi为虚数单位，且()aiibi，则

Ａ．1,1abＢ．1,1abＣ．1,1abＤ．1,1ab

答案：C

解析：因()1aiiaibi，根据复数相等的条件可知1,1ab。

３．"1""||1"xx是的

A．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件

答案：A

解析：因"1""||1"xx，反之

"||1""11"xxx或，不一定有"1"x。

４．设图１是某几何体的三视图，则该几何体的体积为

A．942Ｂ．3618

Ｃ．

9

12

2

Ｄ．

9

18

2



答案：D

解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组

合体，其体积3

439

+332=18

322

V（）。

5．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，

得到如下的列联表：

男女总计

爱好

402060

不爱好

203050

总计

6050110

由22

22()110(40302030)

7.8

()()()()60506050

nadbc

KK

abcdacbd







算得,

附表：

2()PKk0．0500．0100．001

k3．8416．63510．828

参照附表，得到的正确结论是（）

A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

3

3

2

正视图侧视图

俯视图

图1

D．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

答案：A

解析：由27.86.635K，而2(6.635)0.010PK，故由独立性检验的意义可知选A.

6．设双曲线

22

2

1(0)

9

xy

a

a

的渐近线方程为320,xy则a的值为（）

A．4B．3C．2D．1

答案：C

解析：由双曲线方程可知渐近线方程为

3

yx

a

，故可知2a。

7．曲线

sin1

sincos2

x

y

xx





在点(,0)

4

M



处的切线的斜率为（）

A．

1

2

B．

1

2

C．

2

2

D．

2

2

答案：B

解析：

22

cos(sincos)sin(cossin)1

'

(sincos)(sincos)

xxxxxx

y

xxxx







，所以

2

4

11

'|

2

(sincos)

44

x

y







。

8．已知函数2()1,()43,xfxegxxx若有()(),fagb则b的取值范围为

A．[22,22]B．(22,22)C．[1,3]D．(1,3)

答案：B

解析：由题可知()11xfxe，22()43(2)11gxxxx，若有

()(),fagb则()(1,1]gb，即2431bb，解得2222b。

二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题解分，共青团员5分，把答案填在

答题卡中对应题号后的横线上．

（一）选做题（请考生在第9，10两题中任选一题作

答，如果全做，则按前一题记分）

9．在直角坐标系xOy中，曲线

1

C的参数方程为

2cos

(

3sin

x

y





















为参数)

．在极坐标系（与直角坐

标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以

x轴正半轴为极轴）中，曲线

2

C的方程为

(cossin)10,则

1

C与

2

C的交点个数

为．

答案：2

解析：曲线

22

1

:1

43

xy

C，曲线

2

:10Cxy，

联立方程消y得27880xy，易得0，故有

2个交点。

10．已知某试验范围为[10，90]，若用分数法进行4

次优选试验，则第二次试点可以是．

答案：40或60（只填一个也正确）

解析：有区间长度为80，可以将其等分8段，利用分

开始

输入

1234

,,,xxxx

1,0ix

i

xxx

开始

4?i

开始

否

是

结束

输出x

4

x

x

1ii

开始

图2

数法选取试点：

1

5

10(9010)60

8

x，

2

10906040x，由对称性可知，第

二次试点可以是40或60。

(二)必做题（11-16题）

11．若执行如图2所示的框图，输入

1234

1,2,4,8,xxxx则输出的数等于．

答案：

15

4

解析：由框图功能可知，输出的数等于1234

15

44

xxxx

x



。

12．已知()fx为奇函数，()()9,(2)3,(2)gxfxgf则．

答案：6

解析：(2)(2)93,(2)6gff则，

又()fx为奇函数，所以(2)(2)6ff。

13．设向量,ab



满足||25,(2,1),ab



且

ab



与

的方向相反，则a



的坐标为．

答案：(4,2)

解析：由题2||215b



，所以2(4,2).ab



14．设1,m在约束条件

1

yx

ymx

xy

















下，目标函数5zxy的最大值为4，则m的值

为．

答案：3

解析：画出可行域，可知5zxy在点

1

(,)

11

m

mm

取最大值为4，解得3m。

15．已知圆22:12,Cxy直线:

（1）圆C的圆心到直线l的距离为．

(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为．

答案：5，

1

6

解析：（1）由点到直线的距离公式可得

22

25

5

43

d



；

（2）由（1）可知圆心到直线的距离为5，要使圆上点到直线的距离小于2，即

1

:4315lxy

与圆相交所得劣弧上，由半径为

23

，圆心到直线的距离为3可知劣弧所对圆心角为

3



，

故所求概率为

1

3

26

P





.

16、给定*kN，设函数**:fNN满足：对于任意大于k的正整数n，()fnnk

（1）设1k，则其中一个函数f在1n处的函数值为；

（2）设4k，且当4n时，2()3fn，则不同的函数f的个数为。

答案：（1）()aa为正整数，（2）16

解析：（1）由题可知*()fnN，而1k时，1n则*()1fnnN，故只须*(1)fN，

故(1)()faa为正整数。

（2）由题可知4k，4n则*()4fnnN，而4n时，2()3fn即

(){2,3}fn，即{1,2,3,4}n，(){2,3}fn，由乘法原理可知，不同的函数f的个数为

4216。

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc且满足

（I）求角C的大小；

（II）求3sincos()

4

AB



的最大值，并求取得最大值时角,AB的大小．

解析：（I）由正弦定理得

因为0,A所以0,tan1,

4

ACCCCC



从而又所以则

（II）由（I）知

3

.

4

BA



于是

3sincos()3sincos()

4

3sincos2sin().

6

311

0,,,,

46612623

ABAA

AAA

AAAA













从而当即时

2sin()

6

A



取最大值2．

综上所述，3sincos()

4

AB



的最大值为2，此时

5

,.

312

AB





18．（本题满分12分）

某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六

月份的降雨量X（单位：毫米）有关．据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5；

已知近20年X的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，

160，200，140，110，160，220，140，160．

（I）完成如下的频率分布表：

近20年六月份降雨量频率分布表

降雨量

70220

频率

1

20

4

20

2

20

（II）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份的降雨量的分布规律相同，并将频率视为

概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）

的概率．

解：（I）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米

的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为

降雨量

70220

频率

1

20

3

20

4

20

7

20

3

20

2

20

（II）

("

1323

20202010

P



发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时")

=P(Y<490或Y>530)=P(X<130或X>210)

=

故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率

为

3

10

．

19．（本题满分12分）

如图3，在圆锥PO中，已知2,POO的直

径



2,,ABCABDAC点在上,且CAB=30为的

中点．

（I）证明：;ACPOD平面

（II）求直线和平面PAC所成角的正弦值．

解析：（I）因为

,OAOCDAC是的中点,所以ACOD.

又

,,.POOACOACOD底面底面所以

PO是平面POD内的两条相交直线，所以

;ACPOD平面

（II）由（I）知，,ACPOD平面又

,ACPAC平面所以平面,PODPAC平面在

平面POD中，过O作OHPD于H,则

,OHPAC平面连结CH，则CH是

OCPAC在平面上的射影，所以OCH是直线

OC和平面PAC所成的角．

在

22

1

2

2

2

,

3

1

2

4

POOD

RtPODOH

POOD











中

在

2

,sin

3

OH

RtOHCOCH

OC

中

20．（本题满分13分）

某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，

从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的

价值为上年初的75%．

（I）求第n年初M的价值

n

a的表达式；

（II）设12,n

n

aaa

A

n







若

n

A大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对

M更新，证明：须在第9年初对M更新．

解析：（I）当6n时，数列

{}

n

a是首项为120，公差为10的等差数列．

12010(1)13010;

n

ann

当6n时，数列

{}

n

a是以

6

a为首项，公比为

3

4

为等比数列，又

6

70a，所以

6

3

70();

4

n

n

a

因此，第n年初，M的价值

n

a的表达式为

6

12010(1)13010,6

3

70(),7

4

n

n

n

nnn

a

an

















(II)设

n

S表示数列{}

n

a的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得

当16n时，1205(1),1205(1)1255;

nn

SnnnAnn

当7n时，

66

678

6

333

()570704[1()]780210()

444

3

780210()

4

.

nn

nn

n

n

SSaaa

A

n













因为{}

n

a是递减数列，所以{}

n

A是递减数列，又

8696

89

33

780210()780210()

4779

44

8280,7680,

864996

AA





所以须在第9年初对M更新．

21．已知平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的等等于1．

（I）求动点P的轨迹C的方程；

（II）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线

12

,ll，设

1

l与轨迹C相交于点,AB，

2

l与

轨迹C相交于点,DE，求ADEB



的最小值．

解析：（I）设动点P的坐标为(,)xy，由题意为22(1)||

化简得222||,yxx

当20,4;0xyxx时当时,y=0.、

所以动点P的轨迹C的方程为2,4(0)0)yxxx和y=0(.

（II）由题意知，直线

1

l的斜率存在且不为0，设为k，则

1

l的方程为(1)ykx．

由

2

(1)

4

ykx

yx











，得2222(24)

设

1122

(,),(,),AxyBxy则

12

,xx是上述方程的两个实根，于是

1212

2

4

2,1xxxx

k

．

因为

12

ll，所以

2

l的斜率为

1

k

．

设

3344

(,),(,),DxyBxy则同理可得2

3434

24,1xxkxx

故1234

2

2

2

2

()()

||||||||

(1)(1)(1)(1)

4

1(2)11(24)1

1

84()

ADEBAFFDEFFB

AFEFAFFBFDEFFDFB

AFFBFDEF

xxxx

k

k

k

k

























2

2

1

84216k

k



当且仅当2

2

1

k

k

即1k时，ADEB



取最小值16．

22．（本小题13分）

设函数

1

()ln().fxxaxaR

x



(I)讨论()fx的单调性；

（II）若()fx有两个极值点

12

xx和，记过点

1122

(,()),(,())AxfxBxfx的直线的斜率为k，

问：是否存在a，使得2?ka若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

解析：（I）()fx的定义域为(0,).

2

22

11

'()1

axax

fx

xxx





令2()1,gxxax其判别式24.a

(1)当||2,0,'()0,afx时故()(0,)fx在上单调递增．

(2)当2a时,>0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,)上，'()0fx，故

()(0,)fx在上单调递增．

(3)当2a时,>0,g(x)=0的两根为

22

12

44

,

22

aaaa

xx



，

当

1

0xx时，'()0fx；当

12

xxx时，'()0fx；当

2

xx时，'()0fx，

故()fx分别在

12

(0,),(,)xx上单调递增，在

12

(,)xx上单调递减．

（II）由（I）知，2a．

因为12

121212

12

()()()(lnln)

xx

fxfxxxaxx

xx



，所以

1212

121212

()()lnln

1

1

fxfxxx

ka

xxxxxx









又由(I)知，

12

1xx．于是12

12

lnln

2

xx

ka

xx









若存在a，使得则12

12

lnln

1

xx

xx







．即

1212

lnlnxxxx

．亦即

222

2

1

2ln0(1)(*)xxx

x



再由（I）知，函数

1

()2lnhttt

t

在(0,)上单调递增，而

2

1x，所以

22

2

11

2ln12ln10.

1

xx

x

这与(*)式矛盾．故不存在a，使得