2015高考数学

2015年北京高考数学(理科)试

题及答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理）（北京卷）

本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考

生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无

效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在

每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的

一项．

1．复数i2i

A．12iB．12iC．12i

D．12i

2．若x，y满足0

1

0

xy

xy

x















≤，

≤，

≥，

则2zxy的最大值为

A．0B．1C．3

2

D．2

3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为

A．22，B．40，C．44，

D．08，

开始

x=1，y=1，k=0

s=x-y，t=x+y

x=s，y=t

k=k+1

k≥3

输出(x，y)

结束

是

否

4．设，是两个不同的平面，m是直线且

m⊂．“m∥”是“∥”的

A．充分而不必要条件B．必要

而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充

分也不必要条件

5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的

表面积是

正(主)视图

11

俯视图

侧(左)视图

2

1

A．25B．45

C．225D．5

6．设

n

a是等差数列.下列结论中正确的是

A．若12

0aa，则23

0aaB．若

13

0aa，则12

0aa

C．若12

0aa，则213

aaaD．若

1

0a，则

2123

0aaaa

7．如图，函数fx的图像为折线ACB，则不等式



2

log1fxx≥的解集是

A

B

Ox

y

-12

2

C

A．|10xx≤

B．|11xx≤≤

C．|11xx≤

D．|12xx≤

8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油

行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽

车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙

述中正确的是

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，

甲车消耗汽油最多

C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，

消耗10升汽油

D．某城市机动车最高限速80千米/小时.相

同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．在52x的展开式中，3x的系数为．（用数

字作答）

10．已知双曲线2

2

2

10

x

ya

a

的一条渐近线为30xy，

则a．

11．在极坐标系中，点π

2

3







‚到直线

cos3sin6的

距离为．

12．在ABC△中，4a，5b，6c，则sin2

sin

A

C

．

13．在ABC△中，点M，N满足2AMMC

uuuuruuuur，BNNC

uuuruuur．若

MNxAByAC

uuuuruuuruuur，则x；y．

14．设函数



21

421.

xax

fx

xaxax

















‚‚

‚≥

①若1a，则fx的最小值为；

②若fx恰有2个零点，则实数a的取值范围是

．

三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出

文字说明，演算步骤或证明过程）

15．（本小题13分）

已知函数2()2sincos2sin

222

xxx

fx．

(Ⅰ)求()fx的最小正周期；

(Ⅱ)求()fx在区间[π0]，上的最小值．

16．（本小题13分）

A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后

的康复时间（单位：天）记录如下：

A组：10，11，12，13，14，15，16

B组：12，13，15，16，17，14，a

假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B

两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B

组选出的人记为乙．

(Ⅰ)求甲的康复时间不少于14天的概率；

(Ⅱ)如果25a，求甲的康复时间比乙的康复

时间长的概率；

(Ⅲ)当a为何值时，A，B两组病人康复时间

的方差相等？（结论不要求证明）

17．（本小题14分）

如图，在四棱锥AEFCB中，AEF△为等边三角形，

平面AEF平面EFCB，EFBC∥，4BC，2EFa，

60EBCFCB，O为EF的中点．

(Ⅰ)求证：AOBE；

(Ⅱ)求二面角FAEB的余弦值；

(Ⅲ)若BE平面AOC，求a的值．

O

F

E

C

B

A

18．（本小题13分）

已知函数

1

ln

1

x

fx

x







．

（Ⅰ）求曲线yfx在点00f，处的切线方程；

（Ⅱ）求证：当01x，时，3

2

3

x

fxx









；

（Ⅲ）设实数k使得3

3

x

fxkx









对01x，恒成立，

求k的最大值．

19．（本小题14分）

已知椭圆C：

22

22

10

xy

ab

ab

的离心率为2

2

，点

01P，和点Amn，0m≠都在椭圆C上，直线PA交x

轴于点M．

（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，

n表示）；

（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，

直线PB交x轴于点N．问：y轴上是否存在点Q，

使得OQMONQ？若存在，求点Q的坐标；若不

存在，说明理由．

20．（本小题13分）

已知数列

n

a满足：*

1

aN，1

36a≤，且

1

218

23618

nn

n

nn

aa

a

aa











，≤，

，

12n，，…．

记集合

*|

n

ManN．

（Ⅰ）若

1

6a，写出集合M的所有元素；

（Ⅱ）若集合M存在一个元素是3的倍数，证

明：M的所有元素都是3的倍数；

（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答

无效）

答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）A(2)D（3）B（4）B（5）C（6）C（7）

C（8）D

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

（9）40（10）3

3

（11）1（12）1（13）

1

2

1

6

（14）1，1

2

≤a<1或a≥2

三、解答题（共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：（I）因为22

()sin(1cos)

22

fxxx

2

sin()

42

x





所以()fx的最小正周期为2

（Ⅱ）因为0x，所以3

444

x





当

42

x



，即3

4

x时，()fx取得最小值。

所以()fx在区间

,0上的最小值为

32

()1

42

f

（16）（本小题13分）

解：设时间

1

A为“甲是A组的第i个人”，

时间

1

B为“乙是B组的第i个人”，i=1,2，…，

7.

由题意可知

11

1

()()

7

PAPB,i=1,2，…，7.

（Ⅰ）由题意知，时间“甲的康复时间不少

于14天”等价于“甲是A组的第5

人，或者第6人，或者第7人”，所

以甲的康复时间不少于14天的概率

是

567567

3

()()()()

7

PAAAPAPAPAUU

（Ⅱ）设时间C为“甲的康复时间比乙的

康复时间长”.由题意知，

C=

472736676

ABABABABABABABABABABUUUUUUUUU.

因此

4151617152

()()()()()()PCPABPABPABPABPAB

6272736676

()()()()()PABPABPABPABPAB

=1041

()PAB

=1041

()()PAPB

=10

49

（Ⅲ）a=11或a=18

（17）（本小题14分）

解：（I）因为△AEF是等边

三角形，O为EF的中点，

所以AO⊥EF.

又因为平面AEF⊥

平面EFCB，AO平面AEF，

所以AO⊥平面

EFCB.

所以AO⊥BE.

（Ⅱ）取BC中点G，连接

OG.

由题设知EFCB是等腰梯形，

所以OG⊥EF.

由（I）知AO⊥平面EFCB

又OG平面EFCB，

所以OA⊥OG.

如图建立空间直角坐标系O-xyz，

则E（a,0,0），A（0，0，3a），

B（2，3（2-a），0），EA

uuur=（-a，0，3a），

BE

uuur=（a-2，3（a-2）,0）.

设平面ABE的法向量为n=（x,y,z）

则：n0?

n0?

EA

BE















uuur

uuur即

30?

(2)3(2)0

axaz

axay















令z=1，则x=3，y=-1.于是n=（3，

-1,1）

平面AEF是法向量为p=（0,1,0）

所以cos（n，p）=np

np

=5

5

.

由题知二维角F-AE-B为钝角，所以它

的余弦值为5

5



（Ⅲ）因为BE⊥平面AOC，所以BE⊥OC，

即0BEOC

uuuruuur.

因为BE

uuur=（a-2，3（a-2），0），OC

uuur=

（-2，3（2-a），0），

所以BEOC

uuuruuur=-2（a-2）-32(2)a.

由0BEOC

uuuruuur及0

3

，

（18）（本小题13分）

解：（I）因为()fx=ln（1+x）-ln（1-x），所以

()fx

=11

11xx





，(0)f

=2.

又因为(0)f=0，所以曲线y=()fx在点

（0，(0)f）处的切线方程为y=2x.

（Ⅱ）令()gx=()fx-2(x+3

3

x)，则

()gx

=()fx

-2（1+2x）=4

2

2

1

x

x

.

因为()gx

>0（0

间（0,1）上单调递增。

所以()gx>(0)g=0，x∈（0，1），

即当x∈（0，1）时，()fx>2(x+3

3

x).

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当k《2时，()fx>k(x+3

3

x)

对x∈（0，1）恒成立.

当k>2时，令()hx=()fx-k(x+3

3

x)，则

()hx

=()fx

-k（1+2x）=4

2

2

1

kxk

x





.

所以当4

2

0

k

x

k



时，()hx

<0，因此()hx在

区间（0，4

2k

k

）上单调递减.

当4

2

0

k

x

k



时，()hx<(0)h=0，即()fx<

k(x+3

3

x).

所以当K>2时，()fx>k(x+3

3

x)并非对x∈

（0，1）恒成立.

综上可知，k的最大值为2。

（19）（本小题14分）

解：（Ⅰ）由题意得

222

1,

2

,

2

.

b

c

a

abc





















解得2a=2.

故椭圆C的方程为2

21

2

x

y

设M（

m

x，0）.

因为m≠0，所以-1

直线PA的方程为y-1=1n

x

m

，

所以

m

x=

1

m

n

，即M（

1

m

n

，0）.

（Ⅱ）因为点B与点A关于x轴对称，所以B

（m，-n），

设N(

N

x,0)，则

N

x=

1

m

n

.

“存在点Q（0，

Q

y）使得ZOQM=ZONQ等

价”，“存在点Q（0，

Q

y）使得

OM

OQ

=OQ

ON

”即

Q

y满足2

QMN

yxx.

因为

1M

m

x

n





，

1N

m

x

n





，2

21

2

m

n，

所以2

2

2

2

1QMN

m

yxx

n





.

所以

Q

y=2或

Q

y=-2.

故在y轴上存在点Q，使得OQM=ONQ.

点Q的坐标为（0，2）或（0，-2）.

(20)（本小题13分）

（Ⅰ）6，12，24

（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所

以不妨设

k

a是3的倍数.

由

1

2,18,

236,18

nn

n

nn

aa

a

aa













可归纳证明对任意nk，

n

a

是3的倍数.

如果k=1，则M的所有元素都是3的倍

数.

如果k>1，因为k

a=21k

a



或

k

a=21k

a

-36，所以

21k

a



是3的倍数，于是

1k

a



是3的倍数，；类

似可得，

2k

a



，…，

1

a都是3的倍数，从而

对任意1n，

n

a是3的倍数，因此M的所有

元素都是3的倍数.

综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，

则M的所有元素都是3的倍数.

（Ⅲ）由36a，11

11

2,18,

236,18

nn

n

nn

aa

a

aa

















可归纳证明

36(2,3...)

n

an.

由于

1

a是正整数，11

2

11

2,18,

236,18,

aa

a

aa













所以

2

a是2

的倍数.

从而当3n时，

n

a是4的倍数.

如果

1

a是3的倍数，由（Ⅱ）知对所有正

整数n，

n

a是3的倍数.

因此当3n时，

12,24,36

n

a.这时M的元素个

数不超过5.

如果

1

a不是3的倍数，由（Ⅱ）知所有正

整数n，

n

a不是3的倍数.

因此当3n时

4,8,16,20,28,32

n

a.这时M的元素

个数不超过8.

当

1

a=1时，

1,2,4,8,16,20,28,32M有8个元素.

综上可知，集合M的元素个数最大值为

8.