上海高考题

上海市高考数学试卷

一、填空题本大题共12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分

1.已知集合(,3)A,(2,)B,则AB;

2.已知zC,且满足

1

i

5z





,求z;

3.已知向量

(1,0,2)a

,

(2,1,0)b

,则a与b的夹角为;

4.已知二项式5(21)x,则展开式中含2x项的系数为;

5.已知

x

、y满足

0

0

2

x

y

xy

















,求23zxy的最小值为;

6.已知函数()fx周期为1,且当01x,

2

()logfxx,则

3

()

2

f;

7.若,xyR,且

1

23y

x

,则

y

x

的最大值为;

8.已知数列{}

n

a前n项和为

n

S,且满足2

nn

Sa,则

5

S;

9.过曲线24yx的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线24yx交于A、B,A在B上

方,M为抛物线上一点,

(2)OMOAOB

,则;

10.某三位数密码,每位数字可在09这10个数字中任选一个,则该三位数密码中,恰有

两位数字相同的概率是;

11.已知数列{}

n

a满足

1nn

aa



*nN,若(,)

nn

Pna

(3)n均在双曲线

22

1

62

xy

上,

则

1

lim||

nn

n

PP





;

12.已知

2

()||

1

fxa

x





1x,0a,()fx与x轴交点为A,若对于()fx图像

上任意一点P,在其图像上总存在另一点QP、Q异于A,满足APAQ,且

||||APAQ,则

a

;

二、选择题本大题共4题,每题5分,共20分

13.已知直线方程20xyc的一个方向向量d可以是

A.(2,1)B.(2,1)C.(1,2)D.(1,2)

14.一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2,将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆

锥的体积之比为

A.1B.2C.4D.8

15.已知R,函数2()(6)sin()fxxx,存在常数aR,使得()fxa为偶函数,

则的值可能为

A.

2



B.

3



C.

4



D.

5



16.已知tantantan(),有下列两个结论：①存在在第一象限,在第三象限；②存在

在第二象限,在第四象限；则

A.①②均正确B.①②均错误C.①对②错D.①错②对

三.解答题本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分

17.如图,在长方体

1111

ABCDABCD中,M为

1

BB上一点,已知

2BM,3CD,4AD,

1

5AA.

1求直线

1

AC与平面ABCD的夹角；

2求点A到平面

1

AMC的距离.

18.已知

1

()

1

fxax

x





,aR.

1当1a时,求不等式()1(1)fxfx的解集；

2若()fx在[1,2]x时有零点,求

a

的取值范围.

19.如图,ABC为海岸线,AB为线段,BC为四分之一圆

弧,39.2BDkm,22BDC,68CBD,58BDA.

1求BC的长度；

2若40ABkm,求D到海岸线ABC的最短距离.

精确到

20.已知椭圆

22

1

84

xy

,

1

F、

2

F为左、右焦点,直线l过

2

F交椭

圆于

A、B两点.

1若直线l垂直于x轴,求||AB；

2当

1

90FAB时,A在x轴上方时,求A、B的坐标；

3若直线

1

AF交y轴于M,直线

1

BF交y轴于N,是否存在直线l,使得

11

FABFMN

SS,

若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.

21.数列{}

n

a

()n*N有100项,

1

aa,对任意[2,100]n,存在

ni

aad,

[1,1]in,若

k

a与前n项中某一项相等,则称

k

a具有性质P.

1若

1

1a,2d,求

4

a所有可能的值；

2若{}

n

a不是等差数列,求证：数列{}

n

a中存在某些项具有性质P；

3若{}

n

a中恰有三项具有性质P,这三项和为c,请用a、d、c表示

12100

aaa.

参考答案

一、填空题

1、(2,3)2、5i3、

2

arccos

5

4、405、6

6、17、

9

8

提示：

11

3222yy

xx

,∴2

39

()

8

22

y

x



8、

31

16

9、3

10、

27

100

分析：

211

1032

3

27

10100

CCC

P



,选用到的两个数字×选用一次的数字的位置×选用一次的数字

11、

23

3

解析：法一,由条件有

2

2

1

82

n

a

n

,得

26

3n

n

a



,则





2

2

2

2

2

2

2

1

21

166

16

6

||11

333nn

n

nn

n

n

PP





























,所以

2

1

123

lim||1+=

33nn

n

PP







；

解析：法二极限法,当

n

时,

1nn

PP



与渐近线平行,

1nn

PP



在

x

轴投影为1,渐近线斜角满足：

3

tan

3

,∴

1

123

lim||

3

cos

6

nn

n

PP







12、2a分析：

2

()||=0

1

fxa

x





,解得

2

1x

a

,则

2

1,0A

a









,取

1

1,Pa

a









,则：

1

,APa

a









,因为APQ、、满足APAQ,且||||APAQ,则

1

,AQa

a







,

所以

21

1,Qa

aa









,Q点在

2

()||

1

fxa

x





图像上,则

21

2

11

a

a

a

a





,得

2

21

||

2

a

a

aa





,

2

21

2

a

a

aa





,22120aa,所以22a,2a

二.选择题

13、D14.、B

15、C分析：2()(6)sin[()]fxaxaxa,因为()fxa为偶函数,所以6a,且

sin[(6)]x也为偶函数,所以6

2

k



,当1k时,

4





16、D分析：特殊值验证,取tan1,则

tan12

,所以②正确,再取几组验证,①错

三、解答题

17、1

4



；2

10

3

.

解析1连接AC,

1

AAABCD面,则

1

ACA即为直线

1

AC与平面ABCD的夹角;

在

1

RtACA中,

1

5AAAC,则

14

ACA



；

2法一,等体积法：

11

CAAMAAMC

VV



,

11

11

33AAMAMC

BCSdS





有条件易得：

1

11

115

4,35,32,52,25

22AAM

BCSAMACMC





∴

222

1

325225

4

cos

5

23252

CAM







,

1

3

sin

5

CAM

∴

1

111

113

=sin32529

225AMC

SAMACCAM





∴

1510

49

23

d;

法二,建立空间直角坐标系Axyz,

设

1

,,nxyzAMC面,则

1

1

0

0

AMn

ACn















,得

330

3450

xz

xyz











令1x,则

1

1

2

1

x

y

z





















,

1

1,,1

2

n









所以

15

10

3

1

11

4

nAA

d

n







;

18、1(2,1)x；2

11

[,]

26

a.

解析1当1a时,

1

()

1

fxx

x





,则()1(1)fxfx得：

11

11

12

xx

xx





,化简：

1

0

12xx





,解得(2,1)x；

2由条件知,对[1,2]x,

1

()0

1

fxax

x





有零点,则

1

(1)

a

xx







在[1,2]x时有解；

1

(1)xx





在

[1,2]x单调递增,则

111

,

(1)26xx













;

19、116.310BCkm；2.

解析1∠BCD=180°-22°-68°=90°,则：

22

sin2216.310

2224

BCRBCBD



km；

2作DH⊥AB于点H,在△ABD中,

sinsin

BDAB

BADBDA





,即

39.240

sinsin58BAD





∴56.21058BAD,则1805856.2105865.78942ABD

∴sin39.2sin65.7894235.752DHBDABDkm

由1知：sin6836.346DCBDkm

所以D到海岸线ABC的最短距离为km;

20.122；2(0,2)A,

82

(,)

33

B；3320xy.

解析1

2224

22

22

b

AB

a





2由条件有：

12

(2,0),(2,0)FF,设直线方程：(2)ykx;

1122

(,),(,)AxyBxy,

1

0y

当

1

90FAB时,

12

0FAFA,得：

1111

2,2,0xyxy,化简：

22

11

4xy……①,因为A在椭圆上,所以

22

111

84

xy

……②

联立①、②式,解得：1

1

0

2

x

y











,即(0,2)A,

所以,直线方程为：2yx

联立22

2

1

84

yx

xy















得：2380xx,则

2

8

3

x,

2

2

3

y,即

82

,

33

B









;

3直线

1

FA方程：1

1

(2)

2

y

yx

x





,则与y轴交点为：1

1

2

0,

2

y

M

x









同理,2

2

2

0,

2

y

N

x









,则

由

11

FABFMN

SS得：12

12

1212

()

82

2()4

kxx

kxx

xxxx







所以得：

1212

2()44xxxx

所以

1212

2()0xxxx或8

联立22

(2)

1

84

ykx

xy















得：2222218880kxkxk,则：

2

12

2

8

21

k

xx

k





,

2

12

2

88

21

k

xx

k







∴

222

1212

222

8816248

2()

212121

kkk

xxxx

kkk







若

2

2

248

0

21

k

k







,解得

3

3

k

若

2

2

248

8

21

k

k







,解得0k舍

综上,存在满足条件的直线：

3

(2)

3

yx,即320xy;

21、13、5、7；2见解析；3

2

984753

3

adc.

解析1

121

12123adaad，，,

31

123aad或

32

325aad

41

123aad或

42

325aad或

43

325aad或

43

527aad

∴

4

a3、5或7;

2证明：假设数列{}

n

a中不存在某些项具有性质P,即{}

n

a中的项互不相等;

∵

1

aa,

ni

aad,1,1in

∴

1

aad,

2

2aad,

3

3aad,……,

100

99aad

所以,{}

n

a为等差数列,与条件矛盾;假设不成立

综上,数列{}

n

a中存在某些项具有性质P;

3由题意,可设具有性质P的三项为：

12

(1)

3mmm

c

aaaamd



,

12mmm

aaac



;

例如：,,,,2,,97aadadadadad满足条件;

所以

m

a与其他97项组成等差数列,首相为a,公差为d;则：