上宝中学

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上宝中学2013学年第一学期期中考试

初三数学试卷

一、选择题(本大题共6题，每题4分，满分24分)

1.已知在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC和BC上，且DE∥BC，DF∥AC，那么下

列比例式中，正确的是（）

A.

BC

DE

EC

AE



；B.

FB

CF

EC

AE



；C.

BC

DE

AC

DF



；D.

BC

FC

AC

EC



2.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，则下列关系式错

误的是（）

A．a=btanA；B．b=ccosA；C．a=csinA；D．c=

sin

b

A

3.如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F．过

点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（）

A．7对；B．6对；C．5对；D．4对

第3题第4题

4.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分

如图所示．对于下列说法：

①abc>0；②a－b+c＜0；③3a+c＜0；④当－1＜x＜3时，y＞0．

其中正确的结论是（）．

A．①②；B．①④；C．②③；D．②③④

5.下列说法正确的个数有（）

①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；

②在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等；

③等弧所对的圆心角、弦、弦心距都分别相等；

④过三点可以画一个圆.

A．1个；B．2个；C．3个；D．4个

6.下列命题中，错误命题的个数有（）

①如图，若

ABDE

BCEF



，则

////ADBECF

；

②已知一个单位向量

e

，设

a

是非零向量，则

1

ae

a



；

③在△ABC中，D在AB边上，E在AC边上，且△ADE

第6题

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和△ABC相似，若AD=3，DB=6，AC=5，则它们的相似比为

1

3

或

3

5

；

④对于抛物线f(x)=x2－4x+c，有f(1)>f(－1)；

⑤在△ABC中，AB=23，AC=2，BC边上的高AD=3，则BC=4，∠B=30°．

A．5个；B．4个；C．3个；D．2个

二、填空题(本大题共12题，每题4分，满分48分)

7.在比例尺为1：50000的地图上，某地区的图上面积为20平方厘米，则实际面积为

平方千米.

8.在△ABC中，|cosA–

3

2

|+(1–cotB)2=0，则△ABC的形状是.

9.将二次函数5422xxy图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图

象的解析式是.

10.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD上的点，且EF∥BC，

5

3

AEBC

BEAD



，

若ABa，DCb，则向量EF可用

a

、

b

表示为_____________________.

第10题第11题第12题第13题

11.如图，在△ABC中，点D是AB的黄金分割点（AD＞BD），BC=AD，如果∠ACD=90°，

那么tanA=.

12．如图AD是△ABC的中线，E是AD上一点，且AE=

1

3

AD，CE的延长线交AB于点F，

若AF=1.2，则AB=.

13.如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2．若△ABC

的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S=

14.在△ABC中，AB=3，AC=4，△ABC绕着点A旋转后能与△AB′C′重合，那么

△ABB′与△ACC′的周长之比为.

15.如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，AE＝EC，AD＝18，BE＝15，

tan∠EBC=．

16.如图，AC是高为30米的某一建筑，在水塘的对面有一段以BD为坡面的

斜坡，小明在A点观察点D的俯角为30°，在A点观察点B的俯角为45°，

若坡面BD的坡度为1：3，则BD的长为.

17.⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD的距

离为cm.

A

C

B

D

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D

B

C

A

E

18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，点D、E分别

在BC、AC上，且BD=CE，设点C关于DE的对称点为F，若

DF∥AB，则BD的长为．

三、解答题(本大题共7题，满分78分)

19.（本题第（1）题3分，第（2）题7分，满分10分）

在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与x轴交于另一点A（A在O右侧），顶点为

B．艾思轲同学用一把宽3cm的矩形直尺对抛物线进行如下测量：

（1）量得OA=3cm；（2）当把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物

线的顶点重合时（如图），测得抛物线与直尺右边的交点C的刻度读数为4.5cm．

艾思轲同学将A的坐标记作（3，0），然后利用上述结论尝试完成下列各题：

（1）写出抛物线的对称轴；（2）求出该抛物线的解析式．

20.（本题每小题5分，满分10分）

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sin∠CAB＝

4

5

，D是斜边AB上一点，过点A作

AE⊥CD，垂足为E，AE的延长线交BC于点F．

（1）当tan∠BCD＝

1

2

时，求线段BF的长；

（2）当BF＝

5

4

时，求线段AD的长．

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21.（本题每小题5分，满分10分）

如图，已知⊙O的半径为5，弦AB的长等于8，OD⊥AB，垂足为点D，DO的延长线与

⊙O相交于点C，点E在弦AB的延长线上，CE与⊙O相交于点F，cosC=

3

5

.

求：（1）CD的长；（2）EF的长.

22.（本题每小题5分，满分10分）

如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）．有

一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．

（1）求点P到海岸线l的距离；

（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在

北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）

23.（本题第（1）题5分，第（2）题7分，满分12分）

如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DF⊥AC，E是DF的中点，联结AE、

BF.求证：(1)2DFCFAF；(2)AE⊥BF.

D

A

E

B

C

O

F

H

E

F

C

D

A

B

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24.（本题第（1）题3分，第（2）题4分，第（3）题5分，满分12分）

已知抛物线y=x2－2x+c与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，

点A的坐标为（－1，0）．

（1）求D点的坐标；

（2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求∠E的度数；

（3）如图2，已知点P（－4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于

点M，当∠PMA=∠E时，求点Q的坐标．

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25.（本题第（1）题3分，第（2）题5分，第（3）题6分，满分14分）

如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时

动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PE∥DC，交AC于点E，动点P、

Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同

时停止运动．设PE=y.

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）探究：当x为何值时，四边形PQBE为梯形？

（3）是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请

求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

备用图备用图

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25、解：（1）∴∠D=90°∴AC=225ADCD

∵PE∥CD∴⊿APE∽⊿ADC-----------2分

∴

APAEPE

ADACDC

即：

4

453

xAEy



∴

35

3,5

44

yxAEx-----------4分

（2）①显然，当QB∥PE时，四边形PQBE是矩形，非梯形，不合题意，舍去；

②当QP∥BE时，∠PQE=∠BEQ∴∠AQP=∠CEB

∵AD∥BC∴∠PAQ=∠BCE∴⊿PAQ∽⊿BCE-----------6分

∴

PAAQAQ

BCCEACAE





即：

44

5

45

5(5)

4

xxx

x

x







∴

4

5

x-----------8分

∴当

4

5

x时，QP∥BE而QB与PE不平行，四边形PQBE是梯形。

（3）存在。分四种情况：

当Q在线段AE上时：QE=AE-AQ=

59

55

44

xxx

①当QE=PE时，

93

53

44

xx∴

4

3

x

②当QP=QE时，∠QPE=∠QEP

∵∠APQ+∠QPE=90°∠PAQ+∠QEP=90°

∴∠APQ=∠PAQ∴AQ=QP=QE

∴

9

5

4

xx∴

20

13

x

③当QP=PE时，过P作PF⊥QE于F，

则FE=

1

2

QE=

19209

(5)

248

x

x





∵PE∥DC∴∠AEP=∠ACD

∴cos∠AEP=cos∠ACD=

3

5

CD

AC



∵cos∠AEP=

209

3

8

3

5

3

4

x

FE

PE

x







∴

28

27

x

④当点Q在线段EC上时，⊿PQE只能是钝角三角形，

∴PE=EQ即：PE=AQ-AE

∴

35

3(5)

44

xxx∴

8

3

x

综上，当

4

3

x或

20

13

x或

28

27

x或

8

3

x时，⊿PQE为等腰三角形。

[评分标准：第（3）小题共6分，答对2个给3分，答对3个给5分，全对

给6分。]