2012四川高考数学

1

2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数学（供理科考生使用）

参考公式：

如果事件互斥，那么球的表面积公式

()()()PABPAPB+=+24SRp=

如果事件相互独立，那么其中

R

表示球的半径

()()()PABPAPB?

球的体积公式

如果事件

A

在一次试验中发生的概率是

p

，那么3

4

3

VRp=

在

n

次独立重复试验中事件

A

恰好发生k次的概率其中

R

表示球的半径

()(1)(0,1,2,,)kknk

nn

PkCppkn-=-=…

第一部分（选择题共60分）

注意事项：

1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。

2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。

一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、7(1)x

的展开式中2x

的系数是（）

A、42B、35C、28D、21

[答案]D

[解析]二项式7)1(x展开式的通项公式为

1k

T=kkxC

7

，令k=2，则22

73

xCT、

21Cx2

7

2的系数为

[点评]：高考二项展开式问题题型难度不大，要得到这部分分值，首先需要熟练掌握二项展

开式的通项公式，其次需要强化考生的计算能力.

2、复数

2(1)

2

i

i



（）

A、1B、1C、iD、i

[答案]B.

[解析]

2(1)

2

i

i





1

2

212





i

ii

[点评]突出考查知识点12i，不需采用分母实数化等常规方法，分子直接展开就可以.

3、函数

29

,3

()

3

ln(2),3

x

x

fx

x

xx





















在3x处的极限是（）

2

DC

AE

B

A、不存在B、等于6C、等于3D、等于0

[答案]A

[解析]分段函数在x=3处不是无限靠近同一个值，故不存在极限.

[点评]对于分段函数，掌握好定义域的范围是关键。

4、如图，正方形ABCD的边长为

1

，延长

BA

至

E

，使

1AE

，连接EC、

ED

则

sinCED（）

A、

310

10

B、

10

10

C、

5

10

D、

5

15

[答案]B

10

10

cos1sin

10

103

ECED2

CD-ECED

CEDcos

1CD5CBABEAEC

2ADAEED11AE][

2

222

2

2

22















CEDCED

，）（

，正方形的边长也为解析

[点评]注意恒等式sin2α+cos2α=1的使用，需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况.

5、函数

1

(0,1)xyaaa

a

的图象可能是（）

[答案]C

[解析]采用排除法.函数(0,1)xyaaaa恒过（1,0），选项只有C符合，故选C.

[点评]函数大致图像问题，解决方法多样，其中特殊值验证、排除法比较常用，且简单易用.

6、下列命题正确的是（）

A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

[答案]C

[解析]若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可

能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个

平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；

故选项C正确.

3

[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基

础知识的定义、定理及公式.

7、设

a



、

b



都是非零向量，下列四个条件中，使

||||

ab

ab





成立的充分条件是（）

A、

ab



B、

//ab



C、

2ab



D、

//ab



且

||||ab



[答案]D

[解析]若使

||||

ab

ab





成立，则方向相同，与ba选项中只有D能保证，故选D.

[点评]本题考查的是向量相等条件模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零

向量，其模为0且方向任意.

8、已知抛物线关于

x

轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点

0

(2,)My。若点

M

到

该抛物线焦点的距离为3，则

||OM

（）

A、22B、23C、4D、25

[答案]B

[解析]设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点坐标为（0,

2

p

），准线方程为x=

2

p

,

32)22(2||

22,2

22,1

3

2

p

2,3

2

p

-2

.

22

0

22

0

2











OM

M

yp

y

M

M

）（点

解得：

）（且）（

线的距离到焦点的距离等于到准

在抛物线上，

[点评]本题旨在考查抛物线的定义:|MF|=d,(M为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，d

为点M到准线的距离).

9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千

克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每

桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都

不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得

的最大利润是（）

A、1800元B、2400元C、2800元D、3100元

[答案]C

[解析]设公司每天生产甲种产品X桶，乙种产品Y桶，公司共可获得利润为Z元/天，则由

已知，得Z=300X+400Y

4

且























0

0

122

122

Y

X

YX

YX

画可行域如图所示，

目标函数Z=300X+400Y可变形为

Y=

400

z

x

4

3

这是随Z变化的一族平行直线

解方程组











12y2x

12yx2













4y

4x

即A（4,4）28

max

Z

[点评]解决线性规划题目的常规步骤：一列（列出约束条件）、二画（画出可行域）、三作（作

目标函数变形式的平行线）、四求（求出最优解）.

10、如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面内，过点O作

平面的垂线交半球面于点

A

，过圆O的直径CD作平面成

45

角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为

B，该交线上的一点P满足

60BOP，则

A

、

P

两点间的球面

距离为（）

A、

2

arccos

4

RB、

4

R

C、

3

arccos

3

R

D、

3

R

[答案]A

[解析]以O为原点，分别以OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴，

则A)0,

2

3

,

2

1

(),

2

2

,0,

2

2

(RRPRR

4

2

arccosAOP

4

2

arccosRPA



[点评]本题综合性较强，考查知识点较为全面，题设很自然的把向量、立体几何、三角函数

等基础知识结合到了一起.是一道知识点考查较为全面的好题.要做好本题需要有扎实的数

学基本功.

11、方程22aybxc中的

,,{3,2,0,1,2,3}abc

，且

,,abc

互不相同，在所有这些方

αC

A

O

D

B

P

4

2

2







R

POAO

AOPCOS

5

程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）

A、60条B、62条C、71条D、80条

[答案]B

[解析]方程22aybxc

变形得

22

2

b

c

y

b

a

x，若表示抛物线，则

0,0ba

所以，分b=-3,-2,1,2,3五种情况：

（1）若b=-3，























2,1,0,23

3,1,0,2,2

3,2,0,2c,1

3,2,1,0,2

或或或，

或或或

或或或

或或或

ca

ca

a

ca

;（2）若b=3,























2,1,0,23

3,1,0,2,2

3,2,0,2c,1

3,2,1,0,2

或或或，

或或或

或或或

或或或

ca

ca

a

ca

以上两种情况下有9条重复，故共有16+7=23条；

同理当b=-2,或2时，共有23条；当b=1时，共有16条.

综上，共有23+23+16=62种

[点评]此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的18条抛物线.列举法是

解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用.

12、设函数

()2cosfxxx

，{}

n

a是公差为

8



的等差数列，

125

()()()5fafafa

，

则2

313

[()]faaa（）

A、0B、2

1

16

C、2

1

8

D、2

13

16



[答案]D

[解析]∵数列{a

n

}是公差为

8



的等差数列，且

125

()()()5fafafa

∴

5)coscos(cos2

521521

aaaaaa）（

∴,0)coscos(cos

521

aaa即

5522

3521

aaaa）（

得

4

3

,

4

,

2513



aaa

∴2

313

[()]faaa

16

13

16

3

)cos2(

22

2

51

2

33



aaaa

[点评]本题难度较大，综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用，需

考生加强知识系统、网络化学习.另外，,0)coscos(cos

521

aaa隐蔽性较强，

需要考生具备一定的观察能力.

6

第二部分（非选择题共90分）

注意事项：

（1）必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先

用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。

（2）本部分共10个小题，共90分。

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。）

13、设全集

{,,,}Uabcd

，集合

{,}Aab

，

{,,}Bbcd

，则）（）（BCAC

UU

_______。

[答案]{a,c,d}

[解析]∵d}{c,）（AC

U

；}{aBC

U

）（∴）（）（BCAC

UU

{a,c，d}

[点评]本题难度较低，只要稍加注意就不会出现错误.

14、如图，在正方体

1111

ABCDABCD中，

M

、N分别是CD、

1

CC的

中点，则异面直线

1

AM与DN所成角的大小是____________。

[答案]90º

[解析]方法一：连接D

1

M,易得DN⊥A

1

D

1

,DN⊥D

1

M,

所以，DN⊥平面A

1

MD

1

，

又A

1

M



平面A

1

MD

1

，所以，DN⊥A

1

D

1

，故夹角为90º

方法二：以D为原点，分别以DA,DC,DD

1

为x,y,z轴，建立空间直角

坐标系D—xyz.设正方体边长为2，则D（0,0,0），N（0,2,1），M（0,1,0）A

1

（2,0,2）

故，

），（），（2,121,2,0

1

MADN

所以，cos<

|MA||DN|

1

1

1

MADN

MADN



，=0,故DN⊥D

1

M，所以夹角为90º

[点评]异面直线夹角问题通常可以采用两种途径:第一，把两条异面直线平移到同一平面中

借助三角形处理；第二，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式解决.

15、椭圆

22

1

43

xy

的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A、B，当FAB的周

长最大时，FAB的面积是____________。

[答案]

3

2

[解析]根据椭圆定义知：4a=12,得a=3,又522ca

3

2

,2

a

c

ec

[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.

16、记

[]x

为不超过实数x的最大整数，例如，

[2]2

，

[1.5]1

，

[0.3]1

。设a为正

整数，数列{}

n

x满足

1

xa，

1

[]

[]()

2

n

n

n

a

x

x

xnN





，现有下列命题：

①当5a时，数列{}

n

x的前3项依次为5,3,2；

N

M

B

1A

1

C

1

D

1

B

D

C

A

7

②对数列

{}

n

x

都存在正整数k，当nk时总有

nk

xx

；

③当1n时，

1

n

xa

；

④对某个正整数k，若

1kk

xx





，则

[]

n

xa

。

其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）

[答案]①③④

[解析]若5a，根据

1

[]

[]()

2

n

n

n

a

x

x

xnN







当n=1时，x

2

=[

2

15

]=3,同理x

3

=2]

2

13

[



,故①对.

对于②③④可以采用特殊值列举法：

当a=1时，x

1

=1,x

2

=1,x

3

=1,……x

n

=1,……此时②③④均对.

当a=2时，x

1

=2,x

2

=1,x

3

=1,……x

n

=1,……此时②③④均对

当a=3时，x

1

=3,x

2

=2,x

3

=1,x

4

=2……x

n

=1,……此时③④均对

综上，真命题有①③④.

[点评]此题难度较大，不容易寻找其解题的切入点，特殊值列举是很有效的解决办法.

三、解答题（本大题共6个小题，共74分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或

演算步骤。）

17、(本小题满分12分)

某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意

时刻发生故障的概率分别为

1

10

和

p

。

（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为

49

50

，求

p

的值；

（Ⅱ）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量



，求



的概率分布

列及数学期望

E

。

[解析]（1）设：“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么

1-P（C）=1-

10

1

P=

50

49

，解得P=

5

1

………………………………4分

（2）由题意，P（



=0）=

1000

1

10

1

30

3

）（C

P（



=1）=

1000

27

10

1

1

10

1

21

3

）（）（C

P（



=2）=

1000

243

10

1

1

10

1

22

3

）（）（C

P（



=3）=

1000

729

10

1

1

10

1

303

3

）（）（C

所以，随机变量



的概率分布列为：

8



0123

P1000

1

1000

27

1000

243

1000

729

故随机变量X的数学期望为：

E



=0

10

27

1000

729

3

1000

243

2

1000

27

1

1000

1

0……………………12分.

[点评]本小题主要考查相互独立事件，独立重复试验、互斥事件、随机变量的分布列、数学

期望等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力.

18、(本小题满分12分)

函数2()6cos3cos3(0)

2

x

fxx



在一个周期内的图象如图所示，

A

为图

象的最高点，

B

、C为图象与

x

轴的交点，且ABC为正三角形。

（Ⅰ）求的值及函数

()fx

的值域；

（Ⅱ）若

0

83

()

5

fx

，且

0

102

(,)

33

x，求

0

(1)fx的值。

[解析]（Ⅰ）由已知可得：2()6cos3cos3(0)

2

x

fxx





=3cosωx+)

3

sin(32sin3



xx

又由于正三角形ABC的高为23，则BC=4

所以，函数

4

8

2

824)(









，得，即的周期Txf

所以，函数]32,32[)(的值域为xf。……………………6分

（Ⅱ）因为，由

5

38

)(

0

xf（Ⅰ）有

，

5

38

)

34

(sin32)(0

0





x

xf

5

4

)

34

(sin0



x

即

由x

0)

2

,

2

()

34

x

(

3

2

3

10

0





），得，（

所以，

5

3

)

5

4

(1)

34

(cos2

0



x

即

故)1(

0

xf)

344

(sin320



x

]

4

)

34

(sin[320







x

)

2

2

5

3

2

2

5

4

(32

4

sin)

34

cos(

4

cos)

34

([sin3200











xx

9

5

67



………………………………………………………12分

[点评]本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、两角和的正（余）弦公式、

二倍角公式等基础知识，考查运算能力，考查树形结合、转化等数学思想.

19、(本小题满分12分)

如图，在三棱锥PABC中，

90APB，

60PAB，ABBCCA，平面

PAB

平面ABC。

（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的大小；

（Ⅱ）求二面角BAPC的大小。

[解析]（1）连接OC。由已知，ABCPCOCP与平面为直线所成的角

设AB的中点为D，连接PD、CD.

因为AB=BC=CA,所以CD



AB.

因为为，所以，PADPABAPB6090等边三角形，

不妨设PA=2，则OD=1，OP=3,AB=4.

所以CD=23，OC=

1312122CDOD

.

在Rt中，OCPtan

13

39

13

3



OC

OP

OPC.

故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan

13

39

…………………6分

（2）过D作DEAP于E，连接CE.

由已知可得，CD平面PAB.

根据三垂线定理可知，CE⊥PA，

所以，的平面角——为二面角CAPBCED.

由（1）知，DE=3

在Rt△CDE中，tan2

DE

CD

CED

故2arctan的大小为——二面角CAPB……………………………12分

[点评]本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、

空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题的能力.

20、(本小题满分12分)已知数列{}

n

a的前n项和为

n

S，且

22nn

aaSS对一切正整数n

都成立。

（Ⅰ）求

1

a，

2

a的值；

A

B

C

P

10

（Ⅱ）设

1

0a

，数列1

10

{lg}

n

a

a

的前

n

项和为

n

T

，当

n

为何值时，

n

T

最大？并求出

n

T

的最

大值。

[解析]取n=1,得

,2a

211212

aassa

①

取n=2,得

,22

21

2

2

aaa

②

又②-①，得

2122

)(aaaa

③

（1）若a

2

=0,由①知a

1

=0,

(2)若a

210

12

aa，易知,

④

由①④得：

;22,12

21

aa;22,21

21

aa

…………………5分

（2）当a

1

>0时,由（I）知，

;22,12

21

aa

当

nn

ssan

2

222）时，有（

,(2+

2

)a

n-1

=S

2

+S

n-1

所以，a

n

=

)2(2

1





na

n

所以11

1

)2()12()2(nn

n

aa

令

1

1

1

2

100

lg

2

1

)2lg(1,

10

lg





n

n

n

n

n

b

a

a

b则

所以，数列{b

n

}是以2lg

2

1

为公差，且单调递减的等差数列.

则b

1

>b

2

>b

3

>…>b

7

=01lg

8

10

lg

当n≥8时，b

n

≤b

8

=

128

100

lg

2

1

01lg

2

1



所以，n=7时，T

n

取得最大值，且T

n

的最大值为

T

7

=2lg

2

21

7

2

7

71

）（bb

…………………………12分

[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查.第一，知识层面：考查等差数列、等比数

列、对数等基础知识；第二，能力层面：考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力；第

三，数学思想：考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.

21、(本小题满分12分)如图，动点M到两定点

(1,0)A

、

(2,0)B

构成MAB，且2MBAMAB，设动点M的轨

迹为C。

（Ⅰ）求轨迹C的方程；

（Ⅱ）设直线

2yxm

与y轴交于点P，与轨迹C相交于

点

QR、

，且

||||PQPR

，求

||

||

PR

PQ

的取值范围。

[解析]（1）设M的坐标为（x,y），显然有x>0,

0y

.

当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，,±3）

y

x

B

A

O

M

11

当∠MBA≠90°时；x≠2.由∠MBA=2∠MAB,

有tan∠MBA=

MAB

MAB





2tan1

tan2

,即2)

1

||

(1

1

||

2

2

||













x

y

x

y

x

y

化简得：3x2-y2-3=0,而又经过（2，,±3）

综上可知，轨迹C的方程为3x2-y2-3=0（x>1）…………………5分

(II)由方程











033

2

22yx

mxy

消去y，可得

03422mmxx

。（*）

由题意，方程（*）有两根且均在（1，+



）内，设

34)(22mmxxxf

所以





























0)3(4)4(

0341)1(

1

2

4

22

22

mm

mmf

m

解得，m>1,且m



2

设Q、R的坐标分别为),(),,(

00RR

yxyx，由PRPQ有

)1(32,)1(322

0

2mmxmmx

R

所以

)

1

1(32

4

1

)

1

1(32

)

1

1(32

)1(32

)1(32

22

2

2

2

mm

m

mm

mm

x

x

PQ

PR

Q

R

















由m>1，且m



2，有

.7

m

1

132

4

1,347

)

1

1(32

4

11

22











）（

且

m

所以

PQ

PR

的取值范围是)347,7(7,1................................................12分

[点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考察思维能力、运算能

力，考察函数、分类与整合等思想，并考察思维的严谨性。

22、(本小题满分14分)

已知a为正实数，n为自然数，抛物线2

2

na

yx与x轴正半轴相交于点A，设

()fn

为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距。

（Ⅰ）用a和n表示

()fn

；

12

（Ⅱ）求对所有

n

都有

3

3

()1

()11

fnn

fnn







成立的

a

的最小值；

（Ⅲ）当01a时，比较

1

1

()(2)

n

k

fkfk





与

27(1)()

4(0)(1)

ffn

ff







的大小，并说明理由。

[解析]（1）由已知得，交点A的坐标为





















0,

2

an

，对

xyy

axn2

2

1'

2求导得则

抛物线在点A处的切线方程为aaa

a

annn

n

nnfxyxy)(.2),

2

(2则即

（2）由（1）知f(n)=an,则

12

1

1)(

1)(

3

3

3











n

n

n

nf

nf

an成立的充要条件是

即知，

123nan对于所有的n成立，特别地，取n=2时，得到a≥17

当

时3,17na

,



33

)31(

43322131CCCannn

n

n

n

333322131CCCnnn













)52(5

2

1

21)2(2

3nnn

n

>2n3+1

当n=0,1,2时，显然123)17(nn

故当a=

17时，

1

1)(

1)(

3

3









n

n

nf

nf

对所有自然数都成立

所以满足条件的a的最小值是17。

（3）由（1）知ankf)(，则







n

k

n

k

kkaakfkf

11

2

1

)2()(

1

，

a

a

ff

nffan











1)1()0(

)()1(

下面证明：

.

)1()0(

)()1(

4

27

)2()(

1

1

ff

nff

kfkf

n

k













首先证明：当0

x

xx4

271

3





13

设函数

10,1)(

4

27

)(2xxxxgx

)

3

2

(

4

81

)('xxxg则

当

0)('1

3

2

;0x'

3

2

0xgxgx时，当）（时，

故g(x)在区间（0,1）上的最小值g(x)

min

=g0)

3

2

(

所以，当0

x

xx4

271

2





由0

aa

k

kk4

271

2





，从而









n

k

kk

n

kaakfkf

1

2

1

1

)2()(

1

)1()0(

)()1(

4

27

14

27

14

27

4

27

1

1

ff

nff

a

a

a

a

a

a

a

n

n

n

k

k



























[点评]本小题属于高档题，难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.

主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识；考查了思维能力、运算能力、分析问题

与解决问题的能力和创新意识能力；且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等

数学思维方法。