reduction

ReductionofOrder(降階法)

Considerahomogeneouslinearcond-orderdifferentialequation

0)()('''=++yxQyxPy(1)

)(),(xQxParecontinuousonsomeintervalI

Suppo

1

yisaknownsolutiononIandthat0

1

≠

toekacondsolution

2

ysothat

1

yand

2

yarelinearlyindependentontheintervalI.

第三章針對高階微分方程式之求解

基於解析方法的可行性，考慮齊次線性二階微分方程式的簡易案例。須注意的是，係數

)(),(xQxP在定義區間內連續的敘述，在於支持後續(初始值問題)求解時之解存在及唯

一的性質。

假如已知一個解

1

y(暫且不管如何得到)，則依定理，可知微分方程式(1)存在二個線性獨

立之解(為什麼?)，則如何求得另一個解

2

y

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Recallthatif

1

yand

2

yarelinearlyindependent,thentheratio)(/)(

12

xyxyisnota

constantontheintervalI.

由函數線性組合的線性相依、線性獨立之性質，可知若

1

yand

2

y(線性組合)為線性獨

立，則)(/)(

12

xyxy不為常數，則可設這x的函數的比值為)()(/)(

12

xuxyxy=。)(xu推導

如下：

Î)()(/)(

12

xuxyxy=,)()()(

12

xyxuxy=

Î'

1

'

1

'

2

uyuyy+=

Î''

1

'

'

1

''

1

''

2

2uyuyuyy++=

Î()()

1

'

1

'

1

''

1

'

'

1

''

1

''')()(2)()(uyxQuyuyxPuyuyuyyxQyxPy+++++=++

[]()0)(2)()('

1

'

1

''

11

'

1

''

1

=+++++=uyxPyuyyxQyxPyu

Î()0)(2'

1

'

1

''

1

=++uyxPyuy

Let'uw=

Î()0)(2

1

'

1

'

1

=++wyxPywyalinearandparableDE(所以降階法將二階微分方程

式轉換為一階微分方程式，降階也者!)

Î0)(2

1

'

1=++dxxPdx

y

y

w

dw

Î0)(2

1

1=++dxxP

y

dy

w

dw

ÎCdxxPyw+

∫

−=+)(ln2ln

1

ÎCdxxPwy+

∫

−=)(ln2

1

ÎdxxP

C

CdxxPeeewy)()(

2

1

∫

−+

∫

−±=±=

ÎdxxPeCwy)(

1

2

1

∫

−=

Î

2

1

)(

1y

e

Cw

dxxP

∫

−

=

Î

2

1

)(

1y

e

Cw

dx

dudxxP

∫

−

==

Î

2

2

1

)(

1

Cdx

y

e

Cdu

dxxP

+

∫

=

∫

∫

−

Î

2

2

1

)(

1

Cdx

y

e

Cu

dxxP

+

∫

=

∫

−

For0,1

21

==CCwegetthesimplest,butstillacceptable,u

尋求最簡單之)(xu以簡化求得另一個解

2

y之計算問題

Îdx

y

e

u

dxxP

2

1

)(

∫

−

∫

=

Îdx

y

e

yuyy

dxxP

2

1

)(

112

∫

−

∫

==

Îthegeneralsolution

2211

ycycy+=

這時相對於齊次線性二階微分方程式(1)，我們基於一已知解

1

y，利用降階法求得另一個

解

2

y，

1

yand

2

y(線性組合)為線性獨立，構成線性二階微分方程式(1)解的基本組，也

就是說，齊次線性二階微分方程式(1)的通解為

1

yand

2

y的線性組合

2211

ycycy+=。