考研数学真题

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2021考研数学〔一〕真题完整版

一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸

．．．

指定位置上.

〔1〕假设反常积分

0

1

1b

a

dx

xx





收敛，那么〔〕

11111111AabBabCaabDaab且且且且

〔2〕函数

21,1

ln,1

xx

fx

xx

















，那么fx的一个原函数是〔〕

























22

22

1,11,1

ln1,1ln11,1

1,11,1

ln11,1ln11,1

xxxx

AFxBFx

xxxxxx

xxxx

CFxDFx

xxxxxx

































〔3〕假设22

222211,11yxxyxx是微分方程ypxyqx



的

两个解，那么qx〔〕

22

22

3131

11

xx

AxxBxxCD

xx





〔4〕函数

,0

111

,,1,2,

1

xx

fx

xn

nnn



















，那么〔〕

〔A〕0x是fx的第一类间断点〔B〕0x是fx的第二类间断点

〔C〕fx在0x处连续但不可导〔D〕fx在0x处可导

〔5〕设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，那么以下结论错误的选项是〔〕

〔A〕TA与TB相似〔B〕1A与1B相似

〔C〕TAA与TBB相似〔D〕1AA与1BB相似

〔6〕设二次型222

3

,,444fxxxxxxxxxxxx，那么

123

,,2fxxx

在空间直角坐标下表示的二次曲面为〔〕

〔A〕单叶双曲面〔B〕双叶双曲面〔C〕椭球面〔C〕柱面

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〔7〕设随机变量0,~2NX，记2XPp，那么〔〕

〔A〕p随着的增加而增加〔B〕p随着的增加而增加

〔C〕p随着的增加而减少〔D〕p随着的增加而减少

〔8〕随机试验E有三种两两不相容的结果

321

,,AAA，且三种结果发生的概率均为

3

1

，将

试验E独立重复做2次，X表示2次试验中结果

1

A发生的次数，Y表示2次试验中结果

2

A

发生的次数，那么X与Y的相关系数为〔〕

二、填空题：914小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸

．．．

指定位置上.

〔9〕



__________

cos1

sin1ln

lim

2

0

0







x

dttttx

x

〔10〕向量场zkxyjizyxzyxA,,的旋度_________rotA

〔11〕设函数vuf,可微，yxzz,由方程yzxfxyzx,122确定，那么



_________

1,0

dz

〔12〕设函数

21

arctan

ax

x

xxf



，且10''f，那么________a

〔13〕行列式

100

010

001

4321



















____________.

〔14〕设

12

,,...,

n

xxx为来自总体2,N的简单随机样本，样本均值9.5x，参数的

置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，那么的置信度为0.95的双侧置信区间

为______.

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸

．．．

指定位置上.解容许写出文字说明、

证明过程或演算步骤.

〔15〕〔此题总分值10分〕平面区域,221cos,

22

Drr













，计

算二重积分

D

xdxdy.

〔16〕〔此题总分值10分〕设函数()yx满足方程'''20,yyky其中01k.

证明：反常积分

0

()yxdx收敛；

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假设'(0)1,(0)1,yy求

0

()yxdx的值.

〔17〕〔此题总分值10分〕设函数(,)fxy满足2

(,)

(21),xy

fxy

xe

x









且

(0,)1,

t

fyyL

是从点(0,0)到点(1,)t的光滑曲线，计算曲线积分

(,)(,)

()

t

L

fxyfxy

Itdxdy

xy







，并

求()It的最小值

〔18〕设有界区域由平面222zyx与三个坐标平面围成，为整个外表的外侧，

计算曲面积分zdxdyydzdxdydzxI3212



〔19〕〔此题总分值10分〕函数()fx可导，且(0)1f，

1

0'()

2

fx，设数列

n

x满

足

1

()(1,2...)

nn

xfxn



，证明：

〔I〕级数

1

1

()

nn

n

xx







绝对收敛；

〔II〕lim

n

n

x



存在，且0lim2

n

n

x



.

〔20〕〔此题总分值11分〕设矩阵

11122

21,1

1112

AaBa

aa

















当

a

为何值时，方程AXB无解、有唯一解、有无穷多解？

〔21〕〔此题总分值11分〕矩阵

011

230

000

A















〔I〕求99A

〔II〕设3阶矩阵

23

(,,)B

满足2BBA，记100

123

(,,)B

将

123

,,分别表

示为

123

,,的线性组合。

〔22〕〔此题总分值11分〕设二维随机变量(,)XY在区域

2,01,Dxyxxyx上服从均匀分布，令

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1,

0,

XY

U

XY













〔I〕写出(,)XY的概率密度；

〔II〕问U与X是否相互独立？并说明理由；

〔III〕求ZUX的分布函数()Fz.

〔23〕设总体X的概率密度为















其他,0

0,

3

,3

2







x

x

xf，其中，0为未知参数，

321

,,XXX为来自总体X的简单随机样本，令

321

,,maxXXXT。

〔1〕求T的概率密度

〔2〕确定

a

，使得aT为的无偏估计

参考答案：

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