2017全国卷1数学

.

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2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学

满分150分。考试用时120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

1．已知集合|1{|31}xAxxBx，，则

A．{|0}ABxxB．ABRC．{|1}ABxxD．AB

2．如图，正方形ABCD的图形来自中国古代的太极图.正方形切圆中的黑色部

分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形随机取一点，则此点

取自黑色部分的概率是

A．

1

4

B．

8



C．

1

2

D．

4



3．设有下面四个命题

1

p：若复数z满足

1

z

R，则zR；

2

p：若复数z满足2zR，则zR；

3

p：若复数

12

,zz满足

12

zzR，则

12

zz；

4

p：若复数zR，则zR.

其中的真命题为

A．

13

,ppB．

14

,ppC．

23

,ppD．

24

,pp

4．记

n

S为等差数列{}

n

a的前

n

项和．若

45

24aa，

6

48S，则{}

n

a的公差为

A．1B．2C．4D．8

5．函数()fx在(,)单调递减，且为奇函数．若(11)f，则满足21()1xf的

x

的取

值围是

A．[2,2]B．[1,1]C．[0,4]D．[1,3]

6．6

2

1

(1)(1)x

x

展开式中2x的系数为

A．15B．20C．30D．35

7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形

组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干

个是梯形，这些梯形的面积之和为

A．10B．12C．14D．16

.

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8．右面程序框图是为了求出满足321000nn的最小偶数n，那

么在和两个空白框中，可以分别填入

A．1000A和1nnB．1000A和2nn

C．1000A和1nnD．1000A和2nn

9．已知曲线

12

2

:cos,:sin(2)

3

CyxCyx



，则下面结论正

确的是

A．把

1

C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把

得到的曲线向右平移

π

6

个单位长度，得到曲线

2

C

B．把

1

C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把

得到的曲线向左平移

π

12

个单位长度，得到曲线

2

C

C．把

1

C上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

π

6

个单位长

度，得到曲线

2

C

D．把

1

C上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

π

12

个单位长

度，得到曲线

2

C

10．已知F为抛物线2:4Cyx的焦点，过F作两条互相垂直的直线

12

,ll，直线

1

l与C交于A、B

两点，直线

2

l与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为

A．16B．14C．12D．10

11．设xyz为正数，且235xyz，则

A．235xyzB．523zxyC．352yzxD．325yxz

12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出

了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，

1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是02，接下来的两项是012,2，

再接下来的三项是0122,2,2，依此类推。求满足如下条件的最小整数:100NN且该数列的前N

项和为2的整数幂。那么该款软件的激活码是

A．440B．330C．220D．110

.

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=

14．设,xy满足约束条件

21

21

0

xy

xy

xy

















，则32zxy的最小值为

15．已知双曲线

22

22

:1(0,0)

xy

Cab

ab

的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双

曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若60MAN，则C的离心率为________。

16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为

圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，

分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当△ABC

的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试

题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为

2

3sin

a

A

（1）求sinsinBC;

（2）若6coscos1,3BCa，求△ABC的周长.

18.（12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且90BAPCDP.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

.

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（2）若PA=PD=AB=DC，90APD，求二面角A-PB-C的余弦值.

19．（12分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并

测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服

从正态分布2(,)N．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天抽取的16个零件中其尺寸在

(3,3)

之外的零

件数，求

(1)PX

及X的数学期望；

（2）一天抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件，就认为这条生产线在这

一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天抽取的16个零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

经计算得

16

1

1

9.97

16i

i

xx



，

1616

2222

11

11

()(16)0.212

1616ii

ii

sxxxx



，其中

i

x

为

抽取的第i个零件的尺寸，

1,2,,16i

．

用样本平均数x作为



的估计值

ˆ，用样本标准差

s

作为



的估计值ˆ，利用估计值判断是否

需对当天的生产过程进行检查？剔除

ˆˆˆˆ

(3,3)

之外的数据，用剩下的数据估计



和



（精确

到0.01）．

附：若随机变量Z服从正态分布2(,)N，则

(33)0.9974PZ

，

160.99740.9592，0.0080.09．

20.（12分）

已知椭圆C：

22

22

=1

xy

ab

（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，

3

2

），P4（1，

3

2

）中

恰有三点在椭圆C上.

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：

l过定点.

21.（12分）

已知函数2()(2)xxfxaeaex

（1）讨论

()fx

的单调性；

（2）若()fx有两个零点，求

a

的取值围.

.

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（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

3cos,

sin,

x

y















（θ为参数），直线l的参数方程为

4,

1,

xat

t

yt











（为参数）.

（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a.

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数2()4,()|1||1|fxxaxgxxx

（1）当1a时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值围.

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

1A,2B,3B,4C,5D,6C,7B,8D,9D,10A,11D,12A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．2314．-515．

23

3

16．3415cm

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试

题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为

2

3sin

a

A

（1）求sinBsinC;

（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.

解：（1）由题设得

21

sin

23sin

a

acB

A

，即

1

sin

23sin

a

cB

A



由正弦定理得

1sin

sinsin

23sin

A

CB

A

，故

2

sinsin

3

BC。

.

6/10

（2）由题设及（1）得

1

coscossinsin

2

BCBC，即

1

cos()

2

BC

所以

2

3

BC



，故

3

A



.由题设得

21

sin

23sin

a

bcA

A

，即8bc

由余弦定理得229bcbc，即2()39bcbc，得33bc

故ABC的周长为333

18.（12分）解：（1）由已知90BAPCDP，得ABAP，

CDPD

由于//ABCD，故ABPD，从而AB平面PAD

又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD

（2）在平面PAD作PFAD，垂足为F.由（1）可知，AB平面PAD，故ABPF，

可得PF平面ABCD.以F为坐标原点，FA的方向为

x

轴正方向，||AB为单位长，建立如

图所示的空间直角坐标系Fxyz.

由（1）及已知可得

2222

(,0,0),(0,0,),(,1,0),(,1,0)

2222

APBC.

所以

2222

(,1,),(2,0,0),(,0,),(0,1,0)

2222

PCCBPAAB

设(,,)nxyz是平面PCB的法向量，则

0,

0

nPC

nCB















即

22

0,

22

0

xyz

y















可取

(0,1,2)n

设(,,)mxyz是平面PAB的法向量，则

0,

0

mPA

mAB















即

22

0,

22

0

xz

y















可取(1,0,1)m

则

3

cos,

||||3

nm

nm

nm



.所以二面角APBC的余弦值为

3

3

.

19．（12分）解：（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)之的概率为0.9974，从而零件的

尺寸在(3,3)之外的概率为0.0026，故~(16,0.0026)XB，因此

.

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16(1)1(0)10.99740.0408PXPX

X的数学期望为160.00260.0416EX

（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)之外的概率只有0.0026，一天抽取

的16个零件中，出现尺寸在(3,3)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率

很小。因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了

异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的。

（ii）由9.97,0.212xs，得



的估计值为

ˆ

9.97,的估计值为ˆ

0.212，由样本数据

可以看出有一个零件的尺寸在

ˆˆˆˆ

(3,3)之外，因此需对当天的生产过程进行检查。

剔除

ˆˆˆˆ

(3,3)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为

1

(169.979.22)10.02

15

,因此



的估计值为10.02.

16

222

1

160.212169.971591.134

i

i

x





剔除

ˆˆˆˆ

(3,3)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为

22

1

(1591.1349.221510.02)0.008

15

.

因此



的估计值为0.0080.09.

20.（12分）解：（1）由于

34

,PP两点关于y轴对称，故由题设知C经过

34

,PP两点.

又由

2222

1113

4abab

知，C不经过点

1

P，所以点

2

P在C上

因此

2

22

1

1,

13

1

4

b

ab



















解得

2

2

4

1

a

b















故C的方程为

2

21

4

x

y.

（2）设直线

2

PA与直线

2

PB的斜率分别为

12

,kk

如果l与

x

轴垂直，设:lxt，由题设知0t，且||2t，可得,AB的坐标分别为

2244

(,),(,)

22

tt

tt





则

22

12

4242

1

22

tt

kk

tt





，得2t，不符合题设.

从而可设:(1)lykxmm，将ykxm代入

2

21

4

x

y得

222(41)8440kxkmxm.

.

8/10

由题设可知2216(41)0km

设

1122

(,),(,)AxyBxy，则

2

1212

22

844

,

4141

kmm

xxxx

kk







而12

12

12

11yy

kk

xx



12

12

11kxmkxm

xx



1212

12

2(1)()kxxmxx

xx



.

由题设

12

1kk，故

1212

(21)(1)()0kxxmxx,

即

2

22

448

(21)(1)0

4141

mkm

km

kk







.解得

1

2

m

k





当且仅当1m时，0，于是

1

:

2

m

lyxm



，所以l过定点(2,1)

21.（12分）解：（1）()fx的定义域为(,)，2()2(2)1(1)(21)xxxxfxaeaeaee





（i）若0a，则()0fx



，所以()fx在(,)单调递减

（ii）若0a，则由()0fx



的lnxa.

当(,ln)xa时，()0fx



；当(ln,)xa时，()0fx





所以()fx在(,ln)a单调递减，在(ln,)a单调递增。

（2）（i）若0a，由（1）知，()fx至多有一个零点

（ii）若0a，由（1）知，当lnxa时，()fx取得最小值，最小值为

1

(ln)1lnfaa

a



①当1a时，由于(ln)0fa，故()fx只有一个零点；

②当(1,)a时，由于

1

1ln0a

a

，即(ln)0fa，故()fx没有零点；

③当(0,1)a时，

1

1ln0a

a

，即(ln)0fa又

又422(2)(2)2220faeaee，故()fx在(,ln)a有一个零点。

设正整数

0

n满足

0

3

ln(1)n

a

，

则0000

0000

()(2)20nnnnfneaeanenn

.

由于

3

ln(1)lna

a

，因此()fx在(ln,)a有一个零点.

综上，

a

的取值围为(0,1).

.

9/10

22．解：（1）曲线C的普通方程为

2

21

9

x

y，

当1a时，直线l的普通方程为430xy

由2

2

430,

1

9

xy

x

y















解得

3,

0

x

y











或

21

25

24

25

x

y



















从而C与l的交点坐标为

2124

(3,0),(,)

2525



（2）直线l的普通方程为440xya，故C上的点(3cos,sin)到l的距离为

|3cos4sin4|

17

a

d





当4a时，d的最大值为

9

17

a

，由题设得

9

17

17

a

，所以8a；

当4a时，d的最大值为

1

17

a

，由题设得

1

17

17

a

，所以16a.

综上，8a或16a

23．解：

（1）当1a时，不等式()()fxgx等价于

2|1||1|40xxxx①

当1x时，①式化为2340xx，无解；

当11x时，①式化为220xx，从而11x；

当1x时，①式化为240xx，从而

117

1

2

x





所以()()fxgx的解集为

117

{|1}

2

xx





（2）当[1,1]x时，()2gx

所以()()fxgx的解集包含[1,1]，等价于当[1,1]x时()2fx

又()fx在[1,1]的最小值必为(1)f与(1)f之一，所以(1)2f且(1)2f，得11a

.

10/10

所以a的取值围为[1,1]