2017考研数学

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1

2017年考研数学三真题及解析

一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．

1．若函数

1cos

,0

()

,0

x

x

fx

ax

bx



















在0x处连续，则

（A）

1

2

ab（B）

1

2

ab（C）0ab（D）2ab

【详解】

000

1

1cos1

2

lim()limlim

2xxx

x

x

fx

axaxa



，

0

lim()(0)

x

fxbf



，要使函数在0x处连续，

必须满足

11

22

bab

a

．所以应该选（A）

2．二元函数(3)zxyxy的极值点是（）

（A）(0,0)（B）03(,)（C）30(,)（D）11(,)

【详解】2(3)32

z

yxyxyyxyy

x







，232

z

xxxy

y







，

2222

22

2,2,32

zzzz

yxx

xyxyyx







解方程组

2

2

320

320

z

yxyy

x

z

xxxy

y



























，得四个驻点．对每个驻点验证2ACB，发现只有在点11(,)处满足

230ACB，且20AC，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D）

3．设函数()fx是可导函数，且满足()()0fxfx



，则

（A）(1)(1)ff（B）11()()ff（C）

11()()ff

（D）

11()()ff

【详解】设2()(())gxfx，则()2()()0gxfxfx



，也就是2()fx是单调增加函数．也就得到

22(1)(1)(1)(1)ffff，所以应该选（C）

4．若级数

2

11

sinln(1)

n

k

nn













收敛，则k（）

（A）1（B）2（C）1（D）2

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2

【详解】iv

n

时

2

222

1111111111

sinln(1)(1)

22

k

kkoko

nnnnnnnnn

















显然当且仅当(1)0k，也就是1k时，级数的一般项是关于

1

n

的二阶无穷小，级数收敛，从而选择

（C）．

5．设为n单位列向量，E为n阶单位矩阵，则

（A）TE不可逆（B）TE不可逆

（C）2TE不可逆（D）2TE不可逆

【详解】矩阵T的特征值为1和1n个0，从而,,2,2TTTTEEEE的特征值分别

为0,1,1,1L；2,1,1,,1L；1,1,1,,1L；3,1,1,,1L．显然只有TE存在零特征值，所以不可逆，应

该选（A）．

6．已知矩阵

200

021

001

A













，

210

020

001

B













，

100

020

002

C













，则

（A）,AC相似，,BC相似（B）,AC相似，,BC不相似

（C）,AC不相似，,BC相似（D）,AC不相似，,BC不相似

【详解】矩阵,AB的特征值都是

123

2,1．是否可对解化，只需要关心2的情况．

对于矩阵A，

000

2001

001

EA













，秩等于1，也就是矩阵A属于特征值2存在两个线性无关的特

征向量，也就是可以对角化，也就是~AC．

对于矩阵B，

010

2000

001

EB















，秩等于2，也就是矩阵A属于特征值2只有一个线性无关的特

征向量，也就是不可以对角化，当然,BC不相似故选择（B）．

7．设,AB，C是三个随机事件，且,AC相互独立，,BC相互独立，则ABU与C相互独立的充分必要

条件是（）

（A）,AB相互独立（B）,AB互不相容

（C）,ABC相互独立（D）,ABC互不相容

【详解】

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3

(())()()()()()()()()()PABCPACABPACPBCPABCPAPCPBPCPABCU

()()(()()())()()()()()()()PABPCPAPBPABPCPAPCPBPCPABPCU

显然，ABU与C相互独立的充分必要条件是()()()PABCPABPC，所以选择（C）．

8．设

12

,,,(2)

n

XXXnL为来自正态总体(,1)N的简单随机样本，若

1

1n

i

i

XX

n



，则下列结论中不

正确的是（）

（A）2

1

()

n

i

i

X



服从2分布（B）2

1

2

n

XX服从2分布

（C）2

1

()

n

i

i

XX



服从2分布（D）2()nX服从2分布

解：（1）显然22()~(0,1)()~(1),1,2,

ii

XNXinL且相互独立，所以2

1

()

n

i

i

X



服从

2()n分布，也就是（A）结论是正确的；

（2）

2

222

2

1

(1)

()(1)~(1)

n

i

i

nS

XXnSn







，所以（C）结论也是正确的；

（3）注意22

1

~(,)()~(0,1)()~(1)XNnXNnX

n

，所以（D）结论也是正确的；

（4）对于选项（B）：22

1

11

1

()~(0,2)~(0,1)()~(1)

2

2

n

nn

XX

XXNNXX



，所以（B）结

论是错误的，应该选择（B）

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）

9．322(sin)xxdx









．

解：由对称性知

3

32222

0

(sin)2

2

xxdxxdx











．

10．差分方程

1

22t

tt

yy





的通解为．

【详解】齐次差分方程

1

20

tt

yy



的通解为2xyC；

设

1

22t

tt

yy





的特解为

2t

t

yat

，代入方程，得

1

2

a；

所以差分方程

1

22t

tt

yy





的通解为

1

22.

2

ttyCt

11．设生产某产品的平均成本()1QCQe，其中产量为Q，则边际成本为.

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4

【详解】答案为1(1)QQe．

平均成本

()1QCQe，则总成本为()()QCQQCQQQe，从而边际成本为

()1(1).QCQQe



12．设函数(,)fxy具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)yydfxyyedxxyedy，(0,0)0f，则

(,)fxy

【详解】(,)(1)()yyydfxyyedxxyedydxye，所以(,)yfxyxyeC，由(0,0)0f，得0C，

所以(,)yfxyxye．

13．设矩阵

101

112

011

A













，

123

,,为线性无关的三维列向量，则向量组

123

,,AAA的秩

为．

【详解】对矩阵进行初等变换

101101101

112011011

011011000

A













，知矩阵A的秩为2，由于

123

,,为线性无关，所以向量组

123

,,AAA的秩为2．

14．设随机变量X的概率分布为

1

2

2

PX，1PXa，3PXb，若0EX，则

DX．

【详解】显然由概率分布的性质，知

1

1

2

ab

1

213310

2

EXabab，解得

11

,

44

ab

2

9

29

2

EXab，22

9

()

2

DXEXEX．

三、解答题

15．（本题满分10分）

求极限0

3

0

lim

x

t

x

xtedt

x



【详解】令xtu，则

,txudtdu

，

00

xx

txuxtedtuedu

000

333

0000

2

limlimlimlim

3

3

2

xxx

txuu

x

xxxx

xtedteueduuedu

xe

xxx

x













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5

16．（本题满分10分）

计算积分

3

242(1)

D

y

dxdy

xy

，其中D是第一象限中以曲线

yx

与

x

轴为边界的无界区域．

【详解】

33

242242

00

24

242

00

22

0

(1)(1)

1(1)

4(1)

1112

1

411282

x

D

x

yy

dxdydxdy

xyxy

dxy

dx

xy

dx

xx











































17．（本题满分10分）

求

2

1

limln1

n

n

k

kk

nn













【详解】由定积分的定义

1

2

0

11

1

2

0

1

limln1limln1ln(1)

11

ln(1)

24

nn

nn

kk

kkkk

xxdx

nnnnn

xdx





















18．（本题满分10分）

已知方程

11

ln(1)

k

xx





在区间(0,1)内有实根，确定常数k的取值范围．

【详解】设

11

(),(0,1)

ln(1)

fxx

xx





，则

22

2222

11(1)ln(1)

()

(1)ln(1)(1)ln(1)

xxx

fx

xxxxxx









令22()(1)ln(1)gxxxx，则2(0)0,(1)2ln21gg

2()ln(1)2ln(1)2,(0)0gxxxxg





2(ln(1))

()0,(0,1)

1

xx

gxx

x









，所以()gx



在(0,1)上单调减少，

由于(0)0g



，所以当(0,1)x时，()0)0gxg



，也就是()gx()gx



在(0,1)上单调减少，当(0,1)x

时，()(0)0gxg，进一步得到当(0,1)x时，()0fx



，也就是()fx在(0,1)上单调减少．

000

11ln(1)1

lim()limlim

ln(1)ln(1)2xxx

xx

fx

xxxx













，

1

(1)1

ln2

f，也就是得到

11

1

ln22

k．

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6

19．（本题满分10分）

设

0111

1

1,0,()(1,2,3),

1nnn

aaanaan

n





L，()Sx为幂级数

0

n

n

n

ax





的和函数

（1）证明

0

n

n

n

ax





的收敛半径不小于1．

（2）证明(1)()()0((1,1))xSxxSxx



，并求出和函数的表达式．

【详解】（1）由条件

1111

1

()(1)

1nnnnnn

anaananaa

n





也就得到

11

(1)()()

nnnn

naaaa



，也就得到1

1

1

,1,2,

1

nn

nn

aa

n

aan











L

111

21

1011210

1

(1)

(1)!

n

nnnnnn

nnnn

aaaaaa

aa

aaaaaaaan













L

也就得到1

1

1

(1),1,2,

(1)!

n

nn

aan

n









L

1

111211

2

1

()()()(1)

!

n

k

nnnnn

k

aaaaaaaa

k







L

111

limlimlim1

2!3!!

n

n

n

n

nnn

ae

n





L

，所以收敛半径1R

（2）所以对于幂级数

0

n

n

n

ax





，由和函数的性质，可得1

1

()n

n

n

Sxnax









，所以

11

111

1

01

11

1

1

1

100

(1)()(1)

(1)

((1))

()

nnn

nnn

nnn

nn

nn

nn

n

nn

n

nnn

nnn

nnn

xSxxnaxnaxnax

naxnax

ananax

axaxxaxxSx













































也就是有(1)()()0((1,1))xSxxSxx



．

解微分方程(1)()()0xSxxSx



，得()

1

xCe

Sx

x







，由于

0

(0)1Sa，得1C

所以()

1

xe

Sx

x







．

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7

20．（本题满分11分）

设三阶矩阵

123

,,A有三个不同的特征值，且

312

2.

（1）证明：()2rA；

（2）若

123

,，求方程组Ax的通解．

【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A是非零矩阵，也就是()1rA．

假若()1rA时，则0r是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2rA，又因为

312

20，也就是

123

,,线性相关，()3rA，也就只有()2rA．

（2）因为()2rA，所以0Ax的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于

312

20，所

以基础解系为

1

2

1

x















；

又由

123

,，得非齐次方程组Ax的特解可取为

1

1

1











；

方程组Ax的通解为

11

21

11

xk















，其中k为任意常数．

21．（本题满分11分）

设二次型222

3

(,,)2282fxxxxxaxxxxxxx

在正交变换xQy下的标准形为

22

1122

yy，求

a

的值及一个正交矩阵Q．

【详解】二次型矩阵

214

111

41

A

a

















因为二次型的标准形为22

1122

yy．也就说明矩阵A有零特征值，所以0A，故2.a

114

111(3)(6)

412

EA













令0EA得矩阵的特征值为

123

3,6,0．

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8

通过分别解方程组()0

i

EAx得矩阵的属于特征值

1

3的特征向量

1

1

1

1

3

1















，属于特征值特

征值

2

6的特征向量

2

1

1

0

2

1

















，

3

0的特征向量

3

1

1

2

6

1















，

所以

123

111

326

12

,,0

36

111

326

Q























为所求正交矩阵．

22．（本题满分11分）

设随机变量,XY相互独立，且X的概率分布为

1

0{2}

2

PXPX，Y的概率密度为

2,01

()

0,

yy

fy











其他

．

（1）求概率PYEY（）；

（2）求ZXY的概率密度．

【详解】（1）

1

2

0

2

()2.

3Y

EYyfydyydy





所以2

3

0

24

2.

39

PYEYPYydy











（2）ZXY的分布函数为









(),0,2

0,2,2

11

{}2

22

1

()(2)

2

Z

YY

FzPZzPXYzPXYzXPXYzX

PXYzPXYz

PYzPYz

FzFz









故ZXY的概率密度为



1

()()()(2)

2

,01

2,23

0,

ZZ

fzFzfzfz

zz

zz



















其他

23．（本题满分11分）

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了

n

次测量，该物体的质量是已知的，设

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9

n次测量结果

12

,,,

n

XXXL相互独立且均服从正态分布2(,).N该工程师记录的是n次测量的绝对误

差,(1,2,,)

ii

ZXinL，利用

12

,,,

n

ZZZL估计参数．

（1）求

i

Z的概率密度；

（2）利用一阶矩求的矩估计量；

（3）求参数最大似然估计量．

【详解】（1）先求

i

Z的分布函数为

()i

Zii

X

z

FzPZzPXzP















当0z时，显然()0

Z

Fz；

当0z时，()21i

Zii

X

zz

FzPZzPXzP





















；

所以

i

Z的概率密度为

2

22

2

,0

()()

2

0,0

z

ZZ

ez

fzFz

z

























．

（2）数学期望

2

22

00

22

()

22

z

i

EZzfzdzzedz







，

令

1

1n

i

i

EZZZ

n



，解得



的矩估计量

1

22

22

n

i

i

ZZ

n







．

（3）设

12

,,,

n

ZZZL的观测值为

12

,,,

n

zzzL．当0,1,2,

i

zinL时

似然函数为

2

2

1

1

2

1

2

()(,)

(2)

n

i

i

n

n

z

i

n

i

Lfze









，

取对数得：2

2

1

1

ln()ln2ln(2)ln

22

n

i

i

n

Lnnz







令2

3

1

ln()1

0

n

i

i

dLn

z

d







，得参数



最大似然估计量为2

1

1n

i

i

z

n





．