上海华师大二附中

-1-

2021

年上海市浦东新区华师大二附中高考模拟（

3

月份）

数学试卷

一、填空题（共

12

小题）

.

1

．（

1+2x

）6展开式中

x3项的系数为（用数字作答）

2

．若复数

z

满足

2z+

＝

3

﹣

2i

，其中

i

为虚数单位，则

z

＝．

3

．已知数列

{a

n

}

的前

n

项和为

S

n＝

2n﹣

1

，则此数列的通项公式为．

4

．已知，则的取值范围是．

5

．椭圆

x2+3y2＝

1

的短轴长为．

6

．若实数

x

，

y

满足不等式组，则

x+y

的最大值是．

7

．集合

A

＝

{x|y

＝

}

，

B

＝

{y|y

＝

log

2（

x+1

）

}

，则

A

∩

B

＝．

8

．方程

x2+y2﹣

4tx

﹣

2ty+3t2﹣

4

＝

0

（

t

为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是（结果

化为普通方程）

9

．若

{a

n

}

是等比数列，且，则

a

1

＝．

10

．定义“规范

01

数列”

{a

n

}

如下：

{a

n

}

共有

2m

项，其中

m

项为

0

，

m

项为

1

，且对任意

k

≤

2m

，

a

1，

a

2…

a

k中

0

的个数不少于

1

的个数．若

m

＝

4

，则不同的“规范

01

数列”共有

个．

11

．在三棱锥

D

﹣

ABC

中，已知

AB

＝

AD

＝

2

，

BC

＝

1

，，则

CD

＝．

12

．在△

ABC

中，∠

A

＝

150

°，

D

1，

D

2，…，

D

2020依次为边

BC

上的点，且

BD

1＝

D

1

D

2＝

D

2

D

3

＝…＝

D

2019

D

2020＝

D

2020

C

，设∠

BAD

1＝α1，∠

D

1

AD

2＝α2，…，∠

D

2019

AD

2020＝α2020，∠

D

2020

AC

＝α

2021

，则的值为．

二、选择题（共

4

小题）

.

13

．已知平面直角坐标系中不垂直于

x

轴的直线

l

，则“

l

的斜率等于

k

”是“

l

的倾斜角等于

arctank

”的（）

A

．充要条件

B

．充分非必要条件

C

．必要非充分条件

D

．既非充分又不必要条件

-2-

14

．函数

g

（

x

）＝

4

×

3x的图象可看成将函数

f

（

x

）＝

3x的图象（）

A

．向左平移

log

3

4

个单位得到

B

．各点纵坐标不变，横坐标伸长的原来的

4

倍得到

C

．向右平移

log

3

4

个单位得到

D

．各点纵坐标不变，横坐标缩短的原来的倍得到

15

．设抛物线

C

：

x

＝

ay2+by+2

（

a

≠

0

），若对于任意实数

y

，总有

|x|

≥

2

（等号可以取到），

则该抛物线的焦点坐标为（）

A

．

B

．

C

．（

0

，

0

）

D

．

16

．若

f

（

x

）是

R

上的奇函数，且

f

（

x

）在

[0

，

+

∞）上单调递增，则下列结论：

①

y

＝

|f

（

x

）

|

是偶函数；

②对任意的

x

∈

R

都有

f

（﹣

x

）

+|f

（

x

）

|

＝

0

；

③

y

＝

f

（﹣

x

）在（﹣∞，

0]

上单调递增；

④

y

＝

f

（

x

）

f

（﹣

x

）在（﹣∞，

0]

上单调递增．

其中正确结论的个数为（）

A

．

1B

．

2C

．

3D

．

4

三、解答题

17

．已知向量＝（

1+cos

ω

x

，

1

），＝（

1

，

a+sin

ω

x

）（ω为常数且ω＞

0

），函数

f

（

x

）

＝在

R

上的最大值为

2

．

（

1

）求实数

a

的值；

（

2

）把函数

y

＝

f

（

x

）的图象向右平移个单位，可得函数

y

＝

g

（

x

）的图象，若

y

＝

g

（

x

）在

[0

，

]

上为增函数，求ω的最大值．

18

．国际上钻石的重量计量单位为克拉，已知某钻石的价值

V

（美元）与其重量

W

（克拉）的

平方成正比，且一颗重为

3

克拉的该种钻石的价值为

54000

美元．

（

1

）若把一颗钻石切割成重量比为

1

：

3

的两颗钻石，求价值损失的百分率；

（

2

）把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为

M

克拉和

N

克拉，证明：当

M

＝

N

时，价值损失的百分率最大．

（注：价值损失的百分率＝（原有价值﹣现有价值）

/

原有价值×

100%

，在切割过程中的重

量损耗忽略不计）

-3-

19

．如图，在四棱锥

P

﹣

ABCD

中，平面

PAD

⊥平面

ABCD

，

PA

⊥

PD

，

PA

＝

PD

，

AB

⊥

AD

，

AB

＝

1

，

AD

＝

2

，

AC

＝

CD

＝．

（Ⅰ）求证：

PD

⊥平面

PAB

；

（Ⅱ）求直线

PB

与平面

PCD

所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱

PA

上是否存在点

M

，使得

BM

∥平面

PCD

？若存在，求的值，若不存在，

说明理由．

20

．在双曲线

C

：中，

F

1、

F

2分别为双曲线

C

的左、右两个焦点，

P

为双曲线上

且在第一象限内的点，△

PF

1

F

2的重心为

G

，内心为

I

．

（

1

）求内心

I

的横坐标；

（

2

）已知

A

为双曲线

C

的左顶点，直线

l

过右焦点

F

2与双曲线

C

交于

M

、

N

两点，若

AM

、

AN

的斜率

k

1、

k

2满足，求直线

l

的方程；

（

3

）若

IG

∥

F

1

F

2，求点

P

的坐标．

21

．设数列

{a

n

}

（

n

≥

3

，

n

∈

N*）是公差为

d

的等差数列．

（

1

）若

d

＝

2

，

a

∈

R

，讨论方程

|x

﹣

a

1

|+|x

﹣

a

3

|

＝

a

的根的个数；

（

2

）若

a

1＝

1

，

d

＝

1

，求函数

f

（

x

）＝

|a

1

x

﹣

1|+|a

2

x

﹣

1|+

…

+|a

100

x

﹣

1|

的最小值；

（

3

）若数列

{a

n

}

满足：

|a

1

|+|a

2

|+

…

+|a

n

|

＝

|a

1

+1|+|a

2

+1|+

…

+|a

n

+1|

＝

|a

1﹣

2|+|a

2﹣

2|+

…

+|a

n﹣

2|

＝

507

，试求该数列项数

n

的最大值．

-4-

-5-

参考答案

一、填空题（共

12

小题）

.

1

．（

1+2x

）6展开式中

x3项的系数为

160

（用数字作答）

解：通项公式

T

r

+1＝＝

2r，令

r

＝

3

，

可得：（

1+2x

）6展开式中

x3项的系数＝＝

160

．

故答案为：

160

．

2

．若复数

z

满足

2z+

＝

3

﹣

2i

，其中

i

为虚数单位，则

z

＝

1

﹣

2i

．

解：设

z

＝

a+bi

，（

a

、

b

是实数），则＝

a

﹣

bi

，

∵

2z+

＝

3

﹣

2i

，

∴

2a+2bi+a

﹣

bi

＝

3

﹣

2i

，

∴

3a

＝

3

，

b

＝﹣

2

，

解得

a

＝

1

，

b

＝﹣

2

，

则

z

＝

1

﹣

2i

故答案为：

1

﹣

2i

．

3

．已知数列

{a

n

}

的前

n

项和为

S

n＝

2n﹣

1

，则此数列的通项公式为

a

n＝

2n﹣1．

解：当

n

＝

1

时，

a

1＝

S

1＝

2

﹣

1

＝

1

，

当

n

≥

2

时，

a

n＝

S

n﹣

S

n﹣1＝

2n﹣

1

﹣（

2n﹣1﹣

1

）＝

2n﹣1，

又

21﹣1＝

1

，所以

a

n＝

2n﹣1，

故答案为：

a

n＝

2n﹣1．

4

．已知，则的取值范围是

[3

，

13]

．

解：∵＝﹣

∴＝

|

﹣

|

∴≤≤

即

3

≤≤

13

故答案为：

[3

，

13]

5

．椭圆

x2+3y2＝

1

的短轴长为．

-6-

解：椭圆

x2+3y2＝

1

的标准方程为：＝

1

，

所以椭圆

x2+3y2＝

1

的短轴长为

2b

＝．

故答案为：．

6

．若实数

x

，

y

满足不等式组，则

x+y

的最大值是

2

．

解：如图即为满足不等式组的可行域，

由得

A

（

2

，

0

）．

由图易得：当

x

＝

2

，

y

＝

0

时

x+y

有最大值

2

．

故答案为

2

．

7

．集合

A

＝

{x|y

＝

}

，

B

＝

{y|y

＝

log

2（

x+1

）

}

，则

A

∩

B

＝

[

﹣

1

，

+

∞）．

解：∵

A

＝

{x|x

≥﹣

1}

，

B

＝

R

，

∴

A

∩

B

＝

[

﹣

1

，

+

∞）．

故答案为：

[

﹣

1

，

+

∞）．

8

．方程

x2+y2﹣

4tx

﹣

2ty+3t2﹣

4

＝

0

（

t

为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是

x

﹣

2y

＝

0

（结

果化为普通方程）

解：把圆的方程化为标准方程得（

x

﹣

2t

）2+

（

y

﹣

t

）2＝

2t2+4

，圆心（

2t

，

t

）

-7-

则圆心坐标为，所以消去

t

可得

x

＝

2y

，即

x

﹣

2y

＝

0

．

故答案为：

x

﹣

2y

＝

0

9

．若

{a

n

}

是等比数列，且，则

a

1＝

．

解：设等比数列

{a

n

}

的公比为

q

，

0

＜

|q|

＜

1

，

由，

可得＝＝

2

，

则有＝＝

2

，

由

q

＝

1

﹣

a

1代入

a

1

2＝

2

﹣

2q2，

解得

a

1＝，

故答案为：．

10

．定义“规范

01

数列”

{a

n

}

如下：

{a

n

}

共有

2m

项，其中

m

项为

0

，

m

项为

1

，且对任意

k

≤

2m

，

a

1，

a

2…

a

k中

0

的个数不少于

1

的个数．若

m

＝

4

，则不同的“规范

01

数列”共有

14

个．

解：由题意可知，“规范

01

数列”有偶数项

2m

项，且所含

0

与

1

的个数相等，首项为

0

，

末项为

1

，若

m

＝

4

，说明数列有

8

项，满足条件的数列有：

0

，

0

，

0

，

0

，

1

，

1

，

1

，

1

；

0

，

0

，

0

，

1

，

0

，

1

，

1

，

1

；

0

，

0

，

0

，

1

，

1

，

0

，

1

，

1

；

0

，

0

，

0

，

1

，

1

，

1

，

0

，

1

；

0

，

0

，

1

，

0

，

0

，

1

，

1

，

1

；

0

，

0

，

1

，

0

，

1

，

0

，

1

，

1

；

0

，

0

，

1

，

0

，

1

，

1

，

0

，

1

；

0

，

0

，

1

，

1

，

0

，

1

，

0

，

1

；

0

，

0

，

1

，

1

，

0

，

0

，

1

，

1

；

0

，

1

，

0

，

0

，

0

，

1

，

1

，

1

；

0

，

1

，

0

，

0

，

1

，

0

，

1

，

1

；

0

，

1

，

0

，

0

，

1

，

1

，

0

，

1

；

0

，

1

，

0

，

1

，

0

，

0

，

1

，

1

；

0

，

1

，

0

，

1

，

0

，

1

，

0

，

1

．共

14

个．

故答案为

14

11

．在三棱锥

D

﹣

ABC

中，已知

AB

＝

AD

＝

2

，

BC

＝

1

，，则

CD

＝．

解：设∠

BAC

＝α，∠

DAC

＝β，

-8-

∵

||

＝

BC

＝

1

，

∴

AC2+AB2﹣

2AC

•

ABcos

α＝

1

，即

AC2﹣

4ACcos

α＝﹣

3

．

∵＝﹣

3

，

∴•（）＝＝﹣

3

，

∴

2ACcos

β﹣

2ACcos

α＝﹣

3

，

∴

2ACcos

β＝

2ACcos

α﹣

3

，

∴

CD2＝（）2＝﹣

2

＝

4+AC2﹣

2ACcos

β

＝

4+AC2﹣

4ACcos

α

+6

＝

7

，

∴

CD

＝．

故答案为：．

12

．在△

ABC

中，∠

A

＝

150

°，

D

1，

D

2，…，

D

2020依次为边

BC

上的点，且

BD

1＝

D

1

D

2＝

D

2

D

3

＝…＝

D

2019

D

2020＝

D

2020

C

，设∠

BAD

1＝α1，∠

D

1

AD

2＝α2，…，∠

D

2019

AD

2020＝α2020，∠

D

2020

AC

＝α

2021

，则的值为．

解：注意到

a

1

+

α2

+

……

+

α2020＝

150

°，

在△

BAD

1中，＝＝，

在△

D

1

AD

2中，＝＝，

∴＝，

同理可得＝，＝，…＝

-9-

，

又＝，

∴

sin

α

2021

＝，

∴＝＝×＝＝

．

故答案为：．

二、选择题（共

4

小题）

.

13

．已知平面直角坐标系中不垂直于

x

轴的直线

l

，则“

l

的斜率等于

k

”是“

l

的倾斜角等于

arctank

”的（）

A

．充要条件

B

．充分非必要条件

C

．必要非充分条件

D

．既非充分又不必要条件

解：当

k

≥

0

时，由

l

的斜率等于

k

，可得

l

的倾斜角等于

arctank

，

当

k

＜

0

时，由

l

的斜率等于

k

，可得

l

的倾斜角等于π﹣

arctank

，

反之，

l

的倾斜角等于

arctank

，则直线

l

的斜率为

tan

（

arctank

）＝

k

．

∴“

l

的斜率等于

k

”是“

l

的倾斜角等于

arctank

”的必要非充分条件．

故选：

C

．

14

．函数

g

（

x

）＝

4

×

3x的图象可看成将函数

f

（

x

）＝

3x的图象（）

A

．向左平移

log

3

4

个单位得到

B

．各点纵坐标不变，横坐标伸长的原来的

4

倍得到

C

．向右平移

log

3

4

个单位得到

D

．各点纵坐标不变，横坐标缩短的原来的倍得到

解：设直线

y

＝

t

与函数

f

（

x

）＝

3x及函数

g

（

x

）＝

4

•

3x的图象分别相交于

A

、

B

两点，

-10-

令

3x＝

t

，可得

x

＝

log

3

t

，

4

×

3x＝

t

可得

x

＝，

故

A

、

B

两点之间的距离为

log

3

t

﹣＝

log

3

t

﹣（

log

3

t

﹣

log

3

4

）＝

log

3

4

，

故函数

g

（

x

）＝

4

×

3x的图象可看成将函数

f

（

x

）＝

3x的图象，向左平移

log

3

4

个单位得到

的，

故选：

A

．

15

．设抛物线

C

：

x

＝

ay2+by+2

（

a

≠

0

），若对于任意实数

y

，总有

|x|

≥

2

（等号可以取到），

则该抛物线的焦点坐标为（）

A

．

B

．

C

．（

0

，

0

）

D

．

解：

x

＝

ay2+by+2

＝

a

（

y+

）2﹣

+2

，

因为对于任意实数

y

，总有

|x|

≥

2

，

所以

b

＝

0

，

所以

x

＝

ay2+2

，

由于抛物线

x

＝

ay2+2

是抛物线

x

＝

ay2的图象向右平移两个单位得到的，而

x

＝

ay2的焦点为

（，

0

），

所以抛物线

x

＝

ay2+2

的焦点坐标为（

+2

，

0

）．

故选：

A

．

16

．若

f

（

x

）是

R

上的奇函数，且

f

（

x

）在

[0

，

+

∞）上单调递增，则下列结论：

①

y

＝

|f

（

x

）

|

是偶函数；

②对任意的

x

∈

R

都有

f

（﹣

x

）

+|f

（

x

）

|

＝

0

；

③

y

＝

f

（﹣

x

）在（﹣∞，

0]

上单调递增；

④

y

＝

f

（

x

）

f

（﹣

x

）在（﹣∞，

0]

上单调递增．

其中正确结论的个数为（）

A

．

1B

．

2C

．

3D

．

4

解：∵

f

（

x

）是

R

上的奇函数，且

f

（

x

）在

[0

，

+

∞）上单调递增，

∴

y

＝

|f

（

x

）

|

是偶函数，故①正确；

对任意的

x

∈

R

，不一定有

f

（﹣

x

）

+|f

（

x

）

|

＝

0

，故②不正确；

y

＝

f

（﹣

x

）在（﹣∞，

0]

上单调递减，故③不正确；

y

＝

f

（

x

）

f

（﹣

x

）＝﹣

[f

（

x

）

]2在（﹣∞，

0]

上单调递增，故④正确．

-11-

故选：

B

．

三、解答题

17

．已知向量＝（

1+cos

ω

x

，

1

），＝（

1

，

a+sin

ω

x

）（ω为常数且ω＞

0

），函数

f

（

x

）

＝在

R

上的最大值为

2

．

（

1

）求实数

a

的值；

（

2

）把函数

y

＝

f

（

x

）的图象向右平移个单位，可得函数

y

＝

g

（

x

）的图象，若

y

＝

g

（

x

）在

[0

，

]

上为增函数，求ω的最大值．

解：（

1

）

f

（

x

）＝

1+cos

ω

x+a+sin

ω

x

＝

2sin

（ω

x+

）

+a+1

．

因为函数

f

（

x

）在

R

上的最大值为

2

，

所以

3+a

＝

2

，故

a

＝﹣

1

．

（

2

）由（

1

）知：

f

（

x

）＝

2sin

（ω

x+

），

把函数

f

（

x

）＝

2sin

（ω

x+

）的图象向右平移个单位，可得函数

y

＝

g

（

x

）＝

2sin

ω

x

．

又∵

y

＝

g

（

x

）在

[0

，

]

上为增函数，

∴

g

（

x

）的周期

T

＝≥π，即ω≤

2

，

∴ω的最大值为

2

．

18

．国际上钻石的重量计量单位为克拉，已知某钻石的价值

V

（美元）与其重量

W

（克拉）的

平方成正比，且一颗重为

3

克拉的该种钻石的价值为

54000

美元．

（

1

）若把一颗钻石切割成重量比为

1

：

3

的两颗钻石，求价值损失的百分率；

（

2

）把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为

M

克拉和

N

克拉，证明：当

M

＝

N

时，价值损失的百分率最大．

（注：价值损失的百分率＝（原有价值﹣现有价值）

/

原有价值×

100%

，在切割过程中的重

量损耗忽略不计）

解：（

1

）有题意可得

54000

＝

k

×

32，

∴

k

＝

6000

，

∴把一颗

3

克拉的钻石切割成重量比为

1

：

3

的两颗钻石后价值损失的百分率为：

-12-

×

100%

＝

37.5%

；

（

2

）由（

1

）知，

把一颗

3

克拉的钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为

M

克拉和

N

克拉，

则价值损失百分率为：（

1

﹣）×

100%

＝

1

﹣且

M+N

＝

3

，

∵＝＝＝，

∴

M

＝

N

＝时，取最小，此时

1

﹣最大，

即，当

M

＝

N

时损失百分率最大．

19

．如图，在四棱锥

P

﹣

ABCD

中，平面

PAD

⊥平面

ABCD

，

PA

⊥

PD

，

PA

＝

PD

，

AB

⊥

AD

，

AB

＝

1

，

AD

＝

2

，

AC

＝

CD

＝．

（Ⅰ）求证：

PD

⊥平面

PAB

；

（Ⅱ）求直线

PB

与平面

PCD

所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱

PA

上是否存在点

M

，使得

BM

∥平面

PCD

？若存在，求的值，若不存在，

说明理由．

【解答】（Ⅰ）证明：∵平面

PAD

⊥平面

ABCD

，且平面

PAD

∩平面

ABCD

＝

AD

，

且

AB

⊥

AD

，

AB

⊂平面

ABCD

，

∴

AB

⊥平面

PAD

，

∵

PD

⊂平面

PAD

，

∴

AB

⊥

PD

，

又

PD

⊥

PA

，且

PA

∩

AB

＝

A

，

∴

PD

⊥平面

PAB

；

（Ⅱ）解：取

AD

中点为

O

，连接

CO

，

PO

，

-13-

∵

CD

＝

AC

＝，

∴

CO

⊥

AD

，

又∵

PA

＝

PD

，

∴

PO

⊥

AD

．

以

O

为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：

则

P

（

0

，

0

，

1

），

B

（

1

，

1

，

0

），

D

（

0

，﹣

1

，

0

），

C

（

2

，

0

，

0

），

则，，

设为平面

PCD

的法向量，

则由，得，则．

设

PB

与平面

PCD

的夹角为θ，则＝

；

（Ⅲ）解：假设存在

M

点使得

BM

∥平面

PCD

，设，

M

（

0

，

y

1，

z

1），

由（Ⅱ）知，

A

（

0

，

1

，

0

），

P

（

0

，

0

，

1

），，

B

（

1

，

1

，

0

），，

则有，可得

M

（

0

，

1

﹣λ，λ），

∴，

∵

BM

∥平面

PCD

，为平面

PCD

的法向量，

∴，即，解得．

综上，存在点

M

，即当时，

M

点即为所求．

-14-

20

．在双曲线

C

：中，

F

1、

F

2分别为双曲线

C

的左、右两个焦点，

P

为双曲线上

且在第一象限内的点，△

PF

1

F

2的重心为

G

，内心为

I

．

（

1

）求内心

I

的横坐标；

（

2

）已知

A

为双曲线

C

的左顶点，直线

l

过右焦点

F

2与双曲线

C

交于

M

、

N

两点，若

AM

、

AN

的斜率

k

1、

k

2满足，求直线

l

的方程；

（

3

）若

IG

∥

F

1

F

2，求点

P

的坐标．

解：（

1

）双曲线

C

：的

a

＝

2

，

b

＝，

c

＝

3

，

设

|PF

1

|

＝

m

，

|PF

2

|

＝

n

，△

PF

1

F

2的内切圆与边

PF

1切于

S

，与边

PF

2切于

K

，与边

F

2

F

1切

于

T

，

可得

|PS|

＝

|PK|

，

|F

1

S|

＝

|F

1

T|

，

|F

2

T|

＝

|F

2

K|

，

由双曲线的定义可得

m

﹣

n

＝

2a

，即有

|F

1

S|

﹣

|F

2

K|

＝

F

1

T|

﹣

|F

2

T|

＝

2a

，

又

|F

1

T|+|F

2

T|

＝

2c

，解得

|F

2

T|

＝

c

﹣

a

，则

T

的横坐标为

a

，

由

I

与

T

的横坐标相同，可得

I

的横坐标为

a

＝

2

；

（

2

）由

A

（﹣

2

，

0

），

F

2（

3

，

0

），设直线

MN

的方程为

y

＝

k

（

x

﹣

3

），

与双曲线的方程

5x2﹣

4y2＝

20

联立，可得（

5

﹣

4k2）

x2+24k2x

﹣

36k2﹣

20

＝

0

，

-15-

设

M

（

x

1，

y

1），

N

（

x

2，

y

2），可得

x

1

+x

2＝﹣，

x

1

x

2＝﹣，

k

1

+k

2＝

+

＝

+

＝

2k

﹣

5k

（

+

）

＝

2k

﹣

5k

•＝

2k

﹣

5k

•＝﹣，

解得

k

＝﹣

2

，

所以直线

l

的方程为

y

＝﹣

2x+6

；

（

3

）设

P

（

x

0，

y

0）（

x

0＞

0

，

y

0＞

0

），

则

G

（，），

设△

PF

1

F

2的内切圆的半径为

r

，则

S

＝

|F

1

F

2

|y

0＝（

m+n+2c

）

r

，

于是

cy

0＝（

m+n+2c

）

r

，可得

r

＝，

由

IG

∥

F

1

F

2，

知得＝，

即

m+n

＝

4c

＝

12

，

又

m

﹣

n

＝

2a

＝

4

，解得

n

＝

4

．

因此，解得

x

0＝

4

，

y

0＝．

即有点

P

的坐标为（

4

，）．

21

．设数列

{a

n

}

（

n

≥

3

，

n

∈

N*）是公差为

d

的等差数列．

-16-

（

1

）若

d

＝

2

，

a

∈

R

，讨论方程

|x

﹣

a

1

|+|x

﹣

a

3

|

＝

a

的根的个数；

（

2

）若

a

1＝

1

，

d

＝

1

，求函数

f

（

x

）＝

|a

1

x

﹣

1|+|a

2

x

﹣

1|+

…

+|a

100

x

﹣

1|

的最小值；

（

3

）若数列

{a

n

}

满足：

|a

1

|+|a

2

|+

…

+|a

n

|

＝

|a

1

+1|+|a

2

+1|+

…

+|a

n

+1|

＝

|a

1﹣

2|+|a

2﹣

2|+

…

+|a

n﹣

2|

＝

507

，试求该数列项数

n

的最大值．

解：（

1

）根据题意，数列

{a

n

}

的公差

d

＝

2

时，该数列为递增数列，即

a

1＜

a

3，且有

a

3﹣

a

1＝

2d

＝

4

，

因此令

f

（

x

）＝

|x

﹣

a

1

|+|x

﹣

a

3

|

，则有

f

（

x

）＝，

则方程

|x

﹣

a

1

|+|x

﹣

a

3

|

＝

a

的根的个数，即函数

f

（

x

）与直线

y

＝

a

的交点个数，

作出函数

f

（

x

）的图象如下：

由图可得，当

a

＞

4

时，方程有两个根；当

a

＝

4

时，方程有无穷个根；当

a

＜

4

时，方程无

解．

（

2

）∵数列

{a

n

}

（

n

≥

3

，

n

∈

N

*

）是公差为

d

的等差数列，

a

1＝

1

，

d

＝

1

，

所以

a

n＝

1+

（

n+1

）×

1

＝

n

，

∴

f

（

x

）＝

|a

1

x

﹣

1|+|a

2

x

﹣

1|+

…

+|a

100

x

﹣

1|

＝

|x

﹣

1|+|2x

﹣

1|+

…

+|100x

﹣

1|

＝

|x

﹣

1|+||+

……

+100

•

||

，共有项，

又∵

|x

﹣

a|+|x

﹣

b|

≥

|a

﹣

b|

，

-17-

∴把

f

（

x

）前后两项对应相加可得，

f

（

x

）≥，

∵

70

×（

1+70

）×＝

2485

，

71

×（

71+1

）×＝

2556

，

∴

f

（

x

））≥（），当且仅当

x

＝

71

时，等号成立；

∴

+

……

+

﹣

1

＝，

故可得

f

（

x

）的最小值为．

（

3

）设数列各项为

a

﹣

kd

（

1

≤

k

≤

n

，

d

＞

0

），

令

f

（

x

）＝，则本题等价于

f

（

x

）＝

507

至少有

3

个不同的根

a

，

a+1

，

a+2

，

故

y

＝

f

（

x

）的图象与水平直线

l

：

y

＝

507

至少有

3

个不同的公共点，

由于

y

＝

f

（

x

）的图象关于直线

y

＝对称，为（

n+1

）段的下凹折线，它与水平直线

l

有三个公共点当且仅当折线有一水平段在

l

上，

当且仅当

n

＝

2m

且

a

，

a+1

，

a+2

∈

[md

，（

m+1

）

d]

，

f

（

md

）＝

507

，即

d

≥

3

，且

m2d

＝

507

，

由此可得，⇒

m

＜

13

，

所以

m

＝

13

时，取

d

＝

3

，

a

＝

4

满足题意，

则

n

＝

2m

＝

26

．

所以

n

的最大值为

26

．