2013年考研

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2013年考研数三真题及答案解析

一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．、

１．当

0x

时，用)(xo表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）

（A）)()(32xoxox（B）)()()(32xoxoxo

（C）)()()(222xoxoxo（D）)()()(22xoxoxo

【详解】由高阶无穷小的定义可知（A）（B）（C）都是正确的，对于（D）可找出反例，例

如当

0x

时)()(),()(2332xoxxgxoxxxf，但)()()(xoxgxf而不是

)(2xo故应该选（D）．

2．函数

xxx

x

xf

x

ln)1(

1

)(





的可去间断点的个数为（）

（A）0（B）1（C）2（D）3

【详解】当0lnxx时，

xxexxx

xln~11ln

，

1

ln

ln

lim

ln)1(

1

lim)(lim

000









xx

xx

xxx

x

xf

x

x

xx

，所以

0x

是函数)(xf的可去间断点．

2

1

ln2

ln

lim

ln)1(

1

lim)(lim

011









xx

xx

xxx

x

xf

x

x

xx

，所以

1x

是函数)(xf的可去间断点．













xx

xx

xxx

x

xf

x

x

xxln)1(

ln

lim

ln)1(

1

lim)(lim

111

，所以所以

1x

不是函数)(xf的

可去间断点．

故应该选（C）．

３．设

k

D是圆域1|),(22yxyxD的第k象限的部分，记

k

D

k

dxdyxyI)(，则

（）

（A）0

1

I（B）0

2

I（C）0

3

I（D）0

4

I

【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知

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















2

2

1

2

2

1

1

0

2

2

2

)1(

|cossin

3

1

)sin(sin

3

1

)cos(sin)(

k

k

k

k

k

k

D

k

ddrrddxdyxyI

k











所以

3

2

,

3

2

,0

4231

IIII，应该选（B）．

４．设

n

a为正项数列，则下列选择项正确的是（）

（A）若

1



nn

aa，则





1

1)1(

n

n

na收敛；

（B）若





1

1)1(

n

n

na收敛，则

1



nn

aa；

（C）若

1n

n

a收敛．则存在常数

1P

，使

n

p

n

an



lim存在；

（D）若存在常数

1P

，使

n

p

n

an



lim存在，则

1n

n

a收敛．

【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D）正确，故应选（Ｄ）．

此小题的（A）（B）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A），但少一

条件

0lim



n

n

a

，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，

选项（B）也不正确，反例自己去构造．

５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则

（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价．

（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．

（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价．

（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．

【详解】把矩阵A，C列分块如下：

nn

CA,,,,,,,

2121

，由于ＡＢ＝Ｃ，

则可知),,2,1(

2211

nibbb

niniii

，得到矩阵C的列向量组可用矩阵A的

列向量组线性表示．同时由于B可逆，即1CBA，同理可知矩阵A的列向量组可用矩阵

C的列向量组线性表示，所以矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．应该选（B）．

6．矩阵





















11

11

a

aba

a

与矩阵





















000

00

002

b

相似的充分必要条件是

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（A）2,0ba（B）

0a

，b为任意常数

（C）0,2ba（D）

2a

，b为任意常数

【详解】注意矩阵





















000

00

002

b是对角矩阵，所以矩阵A=





















11

11

a

aba

a

与矩阵





















000

00

002

b相

似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．

)22)2((

11

11

22abb

a

aba

a

AE

















从而可知bab2222，即0a，b为任意常数，故选择（B）．

7．设

321

,,XXX是随机变量，且)3,5(~),2,0(~),1,0(~2

3

2

21

NXNXNX，

22

ii

XPP，则

（A）

321

PPP（B）

312

PPP

（C）

123

PPP（D）

231

PPP

【详解】若),(~2NX，则)1,0(~N

X





1)2(2

1

P，1)1(21

2

1222

22

















X

PXPP，

)1

3

7

3

7

)1(

3

52

3

5

3

52

223

33























































X

PXPP

，



23

PP0)1(32)1(3

3

7

1













．

故选择（A）．

8．设随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率分布分别为

X0123P

P1/21/41/81/8

Y-101

P1/31/31/3

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则2YXP（）

（A）

12

1

（B）

8

1

（C）

6

1

（D）

2

1

【详解】



6

1

24

1

24

1

12

1

1,30,21,12YXPYXPYXPYXP

，故选择（C）．

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把

答案填在题中横线上）

9．设曲线)(xfy和xxy2在点0,1处有切线，则













2

lim

n

n

nf

n

．

【详解】由条件可知1)1(',01ff．所以

2)1('2

2

2

2

2

)1(

2

2

1

lim

2

lim















































f

n

n

n

f

n

f

n

n

nf

nn

10．设函数yxzz,是由方程xyyzx确定，则





)2,1(

|

x

z

．

【详解】

设xyyzzyxFx)(,,，则

1)(),,(,)ln()(,,x

z

x

x

yzxzyxFyyzyzzyxF，

当2,1yx时，

0z

，所以

2ln22|

)2,1(







x

z

．

11．



xd

x

x

1

2)1(

ln

．

【详解】

2ln|

1

ln

)1(

1

|

1

ln

1

1

ln

)1(

ln

1

1

1

11

2





























x

x

dx

xxx

x

x

xdxd

x

x

12．微分方程

0

4

1









yyy的通解为．

【详解】方程的特征方程为

0

4

1

r，两个特征根分别为

2

1

21

，所以方程通

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解为2

21

)(

x

exCCy，其中

21

,CC为任意常数．

13．设

ij

aA是三阶非零矩阵，A为其行列式，

ij

A为元素

ij

a的代数余子式，且满足

)3,2,1,(0jiaA

ijij

，则A=．

【详解】由条件)3,2,1,(0jiaA

ijij

可知0*TAA，其中

*A

为A的伴随矩阵，从

而可知

AAAAT13

**，所以A可能为

1

或0．

但由结论



















1)(,0

1)(,1

)(,

)(*

nAr

nAr

nArn

Ar可知，0*TAA可知*)()(ArAr,伴随矩阵的秩只

能为3，所以.1A

14．设随机变量X服从标准正分布)1,0(~NX，则XXeE2．

【详解】

XXeE2

dxex

e

dxe

x

dxexe

xxx

x





















2

)2(

2

2

2

)2(

2

2

222

)22(

222

1



222

22

2

22)(2

2

22

eeXEedtedtte

ett

































．

所以为22e．

三、解答题

15．（本题满分10分）

当

0x

时，

xxx3cos2coscos1

与nax是等价无穷小，求常数

na,

．

【分析】主要是考查

0x

时常见函数的马克劳林展开式．

【详解】当

0x

时，

)(

2

1

1cos22xoxx，

)(21)()2(

2

1

12cos2222xoxxoxx，

)(

2

9

1)()3(

2

1

13cos2222xoxxoxx，

所以

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)(7))(

2

9

1))((21))((

2

1

1(13cos2coscos122222222xoxxoxxoxxoxxxx

，

由于

xxx3cos2coscos1

与nax是等价无穷小，所以2,7na．

16．（本题满分10分）

设D是由曲线

3xy，直线ax)0(a及x轴所转成的平面图形，

yx

VV,分别是D绕x

轴和

y

轴旋转一周所形成的立体的体积，若

yx

VV10，求a的值．

【详解】由微元法可知

3

5

0

3

2

0

2

5

3

adxxdxyVaa

x

；

3

7

0

3

4

07

6

2)(2adxxdxxxfVaa

y

；

由条件

yx

VV10，知77a．

17．（本题满分10分）

设平面区域D是由曲线8,3,3yxxyyx所围成，求

D

dxdyx2．

【详解】

3

4168

3

6

2

2

3

3

2

0

2222

21

x

x

x

x

DDD

dydxxdydxxdxdyxdxdyxdxdyx．

18．（本题满分10分）

设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为

,

1000

60

Q

P（P

是单价，单位：元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求：

（1）该的边际利润．

（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义．

（3）使得利润最大的定价P．

【详解】

（1）设利润为y，则6000

1000

40)206000(

2



Q

QQPQy，

边际利润为

.

500

40'

Q

y

（2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20．

经济意义为：当P=50时，销量每增加一个，利润增加20．

（3）令0'y，得

.40

10000

20000

60,20000PQ

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19．（本题满分10分）

设函数xf在),0[上可导，00f，且

2)(lim



xf

x

，证明

（1）存在

0a

，使得;1af

（2）对（1）中的a，存在),0(a，使得

a

f

1

)('．

【详解】

证明（1）由于

2)(lim



xf

x

，所以存在

0X

，当Xx时，有

2

5

)(

2

3

xf，

又由于xf在),0[上连续，且00f，由介值定理，存在

0a

，使得;1af

（2）函数xf在],0[a上可导，由拉格朗日中值定理，

存在),0(a，使得

aa

faf

f

1)0()(

)('



．

20．（本题满分11分）

设





































b

B

a

A

1

10

,

01

1

，问当ba,为何值时，存在矩阵C，使得

BCAAC

，并求出

所有矩阵C．

【详解】

显然由

BCAAC

可知，如果C存在，则必须是2阶的方阵．设



















43

21

xx

xx

C

，

则

BCAAC

变形为







































b

axxxxx

axxaxaxx

1

10

32431

42132，

即得到线性方程组























baxx

xxx

axxax

axx

32

431

421

32

1

1

0

，要使C存在，此线性方程组必须有解，于是对方

程组的增广矩阵进行初等行变换如下













































































b

a

a

ba

aa

a

bA

0000

10000

0010

11101

010

11101

101

0010

|，

所以，当0,1ba时，线性方程组有解，即存在矩阵C，使得

BCAAC

．

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此时，

































00000

00000

00110

11101

|bA，

所以方程组的通解为



























































































































1

0

0

1

0

1

1

1

0

0

0

1

21

4

3

2

1

CC

x

x

x

x

x，也就是满足BCAAC的矩阵

C为





















21

121

1

CC

CCC

C

，其中

21

,CC为任意常数．

21．（本题满分11分）

设二次型2

332211

2

332211321

)()(2),,(xbxbxbxaxaxaxxxf．记













































3

2

1

3

2

1

,

b

b

b

a

a

a

．

（1）证明二次型f对应的矩阵为TT2；

（2）若,正交且为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2

2

2

1

2yy．

【详解】证明：（1）































































































































































3

2

1

321

3

2

1

321

3

2

1

321

3

2

1

321

3

2

1

321

3

2

1

321

3

2

1

321

2

332211

2

332211321

2,,

,,2,,

,,,,,,,,2

)()(2),,(

x

x

x

xxx

x

x

x

xxx

x

x

x

xxx

x

x

x

bbb

b

b

b

xxx

x

x

x

aaa

a

a

a

xxx

xbxbxbxaxaxaxxxf

TT

TT





所以二次型f对应的矩阵为TT2．

凯程考研辅导班，中国最权威的考研辅导机构

第9页共9页

证明（2）设

ATT2，由于0,1T

则2222TTTA

，所以为矩阵对应特征值2

1

的特征

向量；

222TTTA

，所以为矩阵对应特征值1

2

的特征向

量；

而矩阵A的秩2)()2()2()(TTTTrrrAr，所以0

3

也是矩阵的

一个特征值．

故f在正交变换下的标准形为2

2

2

1

2yy．

22．（本题满分11分）

设YX,是二维随机变量，X的边缘概率密度为











其他,0

10,3

)(

2xx

xf

X

，在给定

)10(xxX的条件下，Y的条件概率密度为















其他,0

,0,

3

)/(3

2

xy

x

y

xyf

X

Y

．

（1）求YX,的联合概率密度yxf,；

（2）Y的的边缘概率密度)(yf

Y

．

【详解】（1）YX,的联合概率密度yxf,：

















其他,0

0,10,

9

)()/(,

2

xyx

x

y

xfxyfyxf

X

X

Y

（2）Y的的边缘概率密度)(yf

Y

：





















其他,0

10,ln9

9

),()(

2

1

2

yyydx

x

y

dxyxfyfy

Y

23．（本题满分11分）

设总体X的概率密度为

















其他,0

0,

);(3

2

xe

x

xf

x



，其中为为未知参数且大于零，

凯程考研辅导班，中国最权威的考研辅导机构

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n

XXX,

21

为来自总体X的简单随机样本．

（1）求的矩估计量；

（2）求的极大似然估计量．

【详解】（1）先求出总体的数学期望E（X）











0

2

2

)()(dxe

x

dxxxfXEx，

令





n

n

i

X

n

XXE

1

1

)(，得的矩估计量







n

i

i

X

n

X

1

1

．

（2）当),2,1(0nix

i

时，似然函数为































































n

i

i

i

x

n

i

i

n

n

i

x

i

e

x

e

x

L1

1

3

1

2

1

3

2

)(





，

取对数，























n

i

i

n

i

i

x

x

nL

11

ln3

1

ln2)(ln，

令

0

)(ln







d

Ld

，得0

12

1





n

i

i

x

n



，

解得的极大似然估计量为．