复数

《复数》知识点总结

1、复数的概念

形如(,)abiabR的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足21i，a叫做复数的

实部，b叫做复数的虚部.

(1)纯虚数：对于复数zabi，当00ab且时，叫做纯虚数.

(2)两个复数相等：,()abicdiabcdR、、、相等的充要条件是=acbd且.

(3)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，横轴为实轴，竖轴除去原点

为虚轴.

(4)复数的模：复数zabi可以用复平面内的点Z(,)ab表示，向量OZ

uuur

的模叫做复数

zabi的模，表示为：22||||zabiab

（5）共轭复数：两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数.

2、复数的四则运算

（1）加减运算：()()()()abicdiacbdi；

（2）乘法运算：()()()()abicdiacbdadbci；

（3）除法运算：

2222

()()

()()(0)

acbdbcad

abicdiicdi

cdcd







；

（4）i的幂运算：41ni，41nii，421ni，43nii.()nZ

（5）22||||zzzz

3、规律方法总结

（1）对于复数(,)zabiabR必须强调,ab均为实数，方可得出实部为a，虚部为b

（2）复数(,)zabiabR是由它们的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要

条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法．对于一个复数(,)zabiabR，既要从

整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识

（3）对于两个复数，若不全是实数，则不能比较大小，在复数集里一般没有大小之分，

但却有相等与不等之分.

（4）数系扩充后，数的概念由实数集扩充到复数集，实数集中的一些运算性质、概念、

关系就不一定适用了，如绝对值的性质、绝对值的定义、偶次方非负等

1、基本概念计算类

例1．若,43,2

21

iziaz且

2

1

z

z

为纯虚数，则实数a的值为_________

解：因为，

2

1

z

z

＝

25

)46(83

25

8463

)43)(43(

)43)(2(

43

2iaaiaia

ii

iia

i

ia

















，

又

2

1

z

z

为纯虚数，所以，3a－8＝0，且6＋4a



0。

3

8

a

2、复数方程问题

例2．证明：在复数范围内，方程

i

i

ziz







2

55

)1(||2（i为虚数单位）无解

证明：原方程化简为

,31)1()1(||iziziz

设z＝x＋yi(x、yR)，代入上述方程

得













322

1

.3122

22

22

yx

yx

iyixiyx整理得051282xx

.016方程无实数解，所以原方程在复数范围内无解。

3、综合类

例3．设z是虚数，

z

z

1

是实数，且－1<<2

（1）

（2）求|z|的值及z的实部的取值范围；

（3）

（4）设

z

z

M







1

1

，求证：M为纯虚数；

（5）

（6）求2M的最小值。

解：（1）设z＝a＋bi（a，b0,bR）

,)()(

1

2222

i

ba

b

b

ba

a

a

bia

bia











因为，是实数，0b

所以，122ba，即|z|＝1，因为＝2a，－1<<2，1

2

1

a

所以，z的实部的取值范围（－1,

2

1

）

（2）

z

z

M







1

1

＝

1

)1(

21

)1)(1(

)1)(1(

1

1

22

22





















a

bi

ba

biba

biabia

biabia

bia

bia

（这

里利用了（1）中122ba）。因为a（－1,

2

1

），0b，所以M为纯虚数

（3）2M

1

1

2

)1(

1

2

)1(

2

2

2

2

2

















a

a

a

a

a

a

a

b

a

因为，a（－1,

2

1

），所以，a＋1>0，所以2M

2×2－3＝1，

当a＋1＝

1

1

a

，即a＝0时上式取等号，所以，2M的最小值是1。

4、创新类

例4．对于任意两个复数Ryyxxiyxziyxz

2121222111

,,,(,)定义运算“⊙”为

1

z⊙

2

z＝

2121

yyxx，设非零复数

21

,在复平面内对应的点分别为

21

,PP,点O为坐标原

点，若

1

⊙

2

＝0，则在

21

OPP中，

21

OPP的大小为_________.

解法一：（解析法）设)0,(,

21222111

aaibaiba，故得点),(

111

baP，

),(

222

baP，且

2121

bbaa＝0，即1

2

2

1

1

a

b

a

b

从而有

21

21

OPOP

kk

＝1

2

2

1

1

a

b

a

b

故

21

OPOP,也即0

21

90OPP

解法二：（用复数的模）同法一的假设，知

＝2

1

2

1

ba＋2

2

2

2

ba－2（

2121

bbaa）＝2

1

2

1

ba＋2

2

2

2

ba－2×0

＝2

1

2

1

ba＋2

2

2

2

ba＝2

1

||OP＋2

2

||OP

由勾股定理的逆定理知0

21

90OPP

解法三：（用向量数量积的知识）同法一的假设，知),(),,(

222111

baOPbaOP，则有

0cos

2

2

2

2

2

1

2

1

2121

21









baba

bbaa

OPOP故0

21

90OPP