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Young不等式的一种推广

吴淑君;石忠锐

【摘要】首先修正了专著《Orlicz空间几何理论》中的定理1.10,对修正后的结果

给出了严格的数学证明,借助此结果证明了一类推广的Young不等式,从而完善了

Young不等式的理论体系.

【期刊名称】《上海大学学报（自然科学版）》

【年(卷),期】2016(022)004

【总页数】8页(P461-468)

【关键词】Young不等式;N-函数;右反函数

【作者】吴淑君;石忠锐

【作者单位】上海大学理学院,上海200444;中国石油大学(华东)基础数学系,山东

青岛266580;上海大学理学院,上海200444

【正文语种】中文

【中图分类】O178

1912年，Young［1］证明了著名的Young不等式：

式中，f为严格递增的连续函数，等号成立当且仅当b=f（a）.Young不等式不仅

是数学分析中的重要不等式［2-3］，而且还广泛应用于逼近论［4］、矩阵分析

［5］等学科.由于f的单调性和连续性限制了Young不等式的使用范围，人们研

究了Young不等式的各种推广，如关于非减连续函数的Oppenheim不等式

［3］、关于多元可微函数的不等式［3］等.

如果f是非减的右连续函数，则虽然不满足Young不等式，但此时f的原函数是

凸函数.借鉴Jenn［6］对凸函数的研究成果，文献［7］给出了Young不等式

的一种推广：

式中，p为右连续的非减函数，q为p的右反函数，等号成立当且仅当p-（|u|）

6|v|6p（|u|）.此式将Young不等式向前推进了一大步，使得一大类函数纳入了

Young不等式的范畴，由此一些经典结论得到了推广，如LP中的H¨older不等

式、Minkowski不等式等［2-3］.近年来，Orlicz空间给众多非线性问题提供了

恰如其分的空间框架，特别是在图像处理、电流变流体、非线性弹性力学等热门领

域中展现出了LP空间所不能及的优势［8-9］.Orlicz空间正是式（1）中的凸函

数M生成的，并且此不等式是研究Orlicz空间的支柱工具［7,10-13］.目前所见

文献中只对此不等式给出了几何解释，并未见严格的数学证明.Luo等［14］试图

利用文献［11］中的定理1.10（即文献［10］中的引理1.14）作为主要工具来证

明此不等式，但是此定理不真.

本研究首先修正了文献［11］中的定理1.10，并给出修正后结果的严格数学证明，

然后借助经典Young不等式证明了推广后的不等式（1），从而完善了Young不

等式的理论体系.

定义1［7］称M：R→［0,∞）是一个N-函数是指M是偶的凸函数，并且满足

引理1［7］M：R→［0,∞）是一个N-函数当且仅当存在定义于［0,∞）的函数p

满足

（1）p是右连续的非减函数；

（2）当t＞0时，p（t）＞0；

（3）p（0）=0，p（∞）=∞，

并且使得

定义2［7］q（s）=sup｛t0：p（t）s｝称为p的右反函数，称为M的余函数.

注1［7］p，q互为右反函数，M,N互为余函数.p，q满足q（p（u））u,p（q

（u））u,u∈［0,∞）.

引理2［7］令则p-在［0,∞）上左连续，且∀t0＞0有

定义3［10］称区间［a,b］是函数M的结构仿射区间（structuralaffine

interval，SAI），如果M在［a,b］上仿射，且∀η＞0,则M在［a-η,b+η］上不

仿射.

定义4［7］称函数M：R→R是严格凸的是指

引理3［7］N-函数M严格凸⇔M的右导数p严格递增⇔p的右反函数q连续.

引理4对任意的N-函数M，以及任意ε＞0，存在严格凸的N-函数Mε，使得

式中，p,pε分别为M,Mε的右导数.

证明如果p是右连续的非减函数，且p（∞）=∞,则p为常数的区间必为［ak,bk）

形的.记这种区间的全体是当k不同时，［ak,bk）互不相交且为结构仿射区间

（SAI）.

（1）证明对任意的ε∈（0,1）都存在满足式（2）的函数pε（t）,t∈［0,∞）.

步骤1令S1=［a1,b1）,分成以下两种情况讨论.

情况1p（b1）＞p（a1）.

令在上定义pε（t）为过的直线段.

从而，pε（t）在上满足式（2）.

情况2p（b1）=p（a1）.

由于p在b1处右连续，故取使得令在上定义pε（t）为过的直线段.下证pε（t）

在上满足式（2）.

1）

2）一方面，

另一方面，根据的取法，

从而pε（t）在上满足式（2）.

步骤2令

步骤2.1S2=φ,同步骤1处理.

步骤2.2

由得，即分为以下3种情况考虑.

情况1如果S2⊂（-∞,a1）,则这与矛盾.

情况2

1）如果S2=［a2,b2）,则令根据步骤1，pε在上已有定义且满足式（2）.

2）如果则令根据步骤1，存在并定义上满足式（2）的函数pε.

情况3如果则这与矛盾.

这样得到定义在上且满足式（2）的函数pε.

步骤3令下面不妨假设a2>b1.

步骤3.1S3=φ,同步骤1处理.

步骤3.2

由下面分两种情况讨论.

情况1,同步骤2的情况1与3的讨论可得S3=φ,这与矛盾.

情况2以下分两种情况考虑.

1）如果S3=［a3,b3），则存在i0∈｛1,2｝,使得同步骤2的情况2讨论.

2）如果则存在i0∈｛1,2｝,使得同步骤2的情况2讨论.

这样得到定义在上且满足式（2）的函数pε.

……

步骤k令

步骤k.1Sk=φ,同步骤1处理.

步骤k.2

由得

情况1同步骤2的情况1与3的方法可得Sk=φ,这与矛盾.

情况2

1）如果Sk=［ak,bk），则存在i0∈｛1,2,…,k-1｝,使得令同步骤2的情况2讨

论.

2）如果则存在i0∈｛1,2,…,k-1｝,使得令同步骤2的情况2讨论.

这样就得到定义在上且满足式（2）的函数pε.

……

经过以上步骤讨论，得到了定义在上的函数pε，在其余点处令pε（t）=p（t），

则pε在［0,∞）上有定义，并且仍满足式（2）.

（2）证明pε在［0,∞）上严格递增.

证明分4种情况讨论.

情况1

1）存在k1,使得根据pε的构造可知

2）存在k2,k3,且使得由于故从而即

情况2则

情况3存在k4,使得由于故从而

情况4存在k5,使得

情况4.1

1）如果则

2）如果，则

情况4.2如果则

（3）令由引理3知Mε是严格凸函数.又因为pε满足式（2），所以

注2文献［11］中定理1.10的证明方法不真.反例如下：

因为p（t）在t=1处右连续，所以对任意的ε＞0，存在n∈N和使得p（b）＜

1+ε.根据文献［11］中的证明方法，定义［1,b）上的函数pε（t）为过（1,1）,

（b,p（b））的直线段.都有因此不能得到文献［11］中定理1.10的结果：pε（t）

p（t）,t∈［0,∞）.

定理1对任意的u,v∈R,都有

等号成立当且仅当p-（|u|）|v|p（|u|）.

证明因为M,N是偶函数，所以只需证明u＞0,v＞0时结论成立.

∀ε＞0,由引理4可知，存在一个严格递增且满足式（2）的函数pε.设p,pε的右

反函数分别为q,qε.根据q,qε的定义知∀s∈［0,∞）,都有因此

由于pε严格递增，故由引理3知qε连续.再由引理4，存在一个严格递增的连续

函数qεε，并满足

联合式（4）和（5）可得

由于qεε是严格递增的连续函数，故qεε的右反函数pεε与qεε互为反函数，且

仍为严格递增的连续函数.根据pεε的定义知

由式（3）和（7）得

由经典Young不等式得

当且仅当v=pεε（u）时等号成立.

根据式（8），有

再根据式（6）得

联合式（9）～（11），有

从而uvM（u）+N（v）.

下面证明式（1）中等号成立当且仅当p-（u）vp（u）.

（1）充分性.

首先说明up（u）=M（u）+N（p（u））.

∀ε＞0,根据式（8）以及Young不等式中等号成立的条件可得

由式（8），（10）和（11）知

从而令ε→0+，得

另一方面，∀w＞u＞0,由式（8）和Young不等式中等号成立的条件知

并且，

根据式（6）和（8），

联立上述3个不等式，有令ε→0+，有wp（w）M（w）+N（p-（w））.再令

w→u+，由引理2得up（u）M（u）+N（p（u））,故up（u）=M（u）+N

（p（u））.

当u=q（v）时，根据对称性知

∀v∈［p-（u）,p（u）］，

1）当p-（u）=p（u）时，v=p（u）,从而uv=M（u）+N（v）.

2）当p-（u）＜p（u）时，∀v∈［p-（u）,p（u））有q（v）=sup｛s0：p

（s）v｝=u,故uv=M（u）+N（v）.

（2）必要性.

如果uv=M（u）+N（v），则v∈［p-（u）,p（u）］；

反之，则存在u＞0,v∈（0,p-（u））S（p（u）,∞）,满足uv=M（u）+N（v）.

当v＞p（u）时，q（v）q（p（u））u,并且q-（v）＞u.又因为

1）如果存在t0∈（p（u）,v）,使得q（t0）＞q（p（u））u.根据q是右连续的

非减函数，有

因此M（u）+N（v）＞uv，这与uv=M（u）+N（v）矛盾.

2）如果∀t∈［p（u）,v）,有q（t）=q（p（u））=q-（v）＞u,则

故M（u）+N（v）＞uv,矛盾.

当v＜p-（u）时，有q（v）＜u.根据u与v，p与q的对称性可得M（u）+N

（v）＞uv，矛盾.

注3根据对称性，有式（1）中等号成立当且仅当q-（|v|）6|u|6q（|v|）.

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