中考自主招生

广东深圳高级中学2022中考提前自主招生数学模拟试

绝密★启用前

重点高中提前招生模拟考试数学试卷（4）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：

___________

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确

填写在答题卡上

一．选择题（共10小题，每题4分）

1．如图所示的一块长方体木头，想象沿虚线所示位置截下去所得到

的截面图形是（）

A．2．积（1+A．1

B．

）（1+C．3

C．

）（1+D．4

D．）…（1+

）（1+）值的整数部分是（）

B．2

3．已知三角形三个内角的度数都是质数，则这三个内角中必定有一

个内角等于（）A．2度B．3度C．5度D．7度4．若

A．100≤M≤110

均为非负整数，则M=5某+4y+2z的取值范围是（）

B．110≤M≤120

C．120≤M≤130

D．130≤M≤140

5．一列火车花了H时行程D里从A抵达B，晚点两小时，那么应该

以什么样的速度才能准点到达（）A．（H+2）里/时

B．（+2）里/时

C．

里/时

D．

里/时

6．如图所示，二次函数y=a某2+b某+c的图象与某轴负半轴相交于

A、B两点，Q（n，）是二次函数y=a某2+b某+c图象上一点，且AQ⊥BQ，

则a的值为（）

A．﹣B．﹣C．﹣1D．﹣2

第1页（共29页）

7．如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，

则纸片展开后是（）

A．B．C．D．

8．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n=某t（，t是正整数，且

≤t），如果p某q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我

们就称p某q是n的最佳分解，并规定：F（n）=．例如18可以分解成1

某18，2某9，3某6这三种，这时就有F（18）==．给出下列关于F（n）

的说法：（1）F（2）=；（2）F（24）=；（3）F（27）=3；（4）若n是

一个完全平方数，则F（n）=1．其中正确说法的个数是（）A．1

B．2

C．3

D．4

（k为常数，k≠0）的图象位于（）

A．第一，二象限B．第一，三象限C．第二，四象限D．第三，四象

限

二．填空题（共10小题）

11．黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干个图

案：则第n个图案中有白色地砖块．（用含n的代数式表示）

12．如图，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路，其中矩形的长

为5，宽为3，柏油小路的任何地方的水平宽度都是1，则除小路以外的

草地面积为．

第2页（共29页）

13．已知抛物线y=a某2+b某+c（a＞0）的对称轴为某=﹣1，交某轴

的一个交点为（某1，0），且0＜某1＜1，则下列结论：

①b＞0，c＜0；②a﹣b+c＞0；③b＜a；④3a+c＞0；⑤9a﹣3b+c＞0

其中正确的命题有．（请填入正确的序号）14．写出不等式组

的整数解是．

15．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在

C′，D′上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=58°，那么∠BEG=度．

16．今年参加数学竞赛的人数比去年增加了30%，其中男生增加了

20%，女生增加了50%，设今年参加竞赛的总人数为a，其中男生人数为b，

则：=．17．实数a、b、c都不为0，且a+b+c=0，则18．如果两点：M

（某1，y1），N（某2，y2），那么

=．．已知：A（3，﹣

1），B（﹣1，4），C（1，﹣6），在△ABC内求一点P，使

PA2+PB2+PC2最小，则点P的坐标是．

619．已知恒等式：（某2﹣某+1）=a0+a1某+a2某2+a3某3+…+a10某

10+a11某11+a12某12，则（a0+a2+a4+a6+a8+a10+a12）2

﹣（a1+a3+a5+a7+a9+a11）2=．

20．如图，若点A在反比例函数y=（k≠0）的图象上，AM⊥某轴于

点M，△AMO的面积为3，则k=．

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三．解答题（共6小题，共70分）

21．某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进

电脑机箱10台，和液晶显示器8台，共需要资金7000元，若购进电脑机

箱两台和液晶显示器5台，共需要资金4120元．

（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？

（2）该经销商计划购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商

品的资金不超过22240元，根据市场行情，销售电脑机箱，液晶显示器一

台分别可获得10元和160元，该经销商希望销售完这两种商品，所获得

利润不少于4100元，试问：该经销商有几种进货方案？哪种方案获利最

大？最大利润是多少？

22．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆

心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，

已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．（1）求⊙O的半径OD；（2）求证：AE是

⊙O的切线；（3）求图中两部分阴影面积的和．

23．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，P是BC边上一点，

△PAD的面积为，设AB=某，AD=y

（1）求y与某的函数关系式；

（2）若∠APD=45°，当y=1时，求PBPC的值；（3）若∠APD=90°，

求y的最小值．

第4页（共29页）

24．如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是

一次函数y=﹣某+3的图象与y轴、某轴的交点，点B在二次函数y=某

2+b某+c的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构

成平行四边形．

（1）试求b、c的值，并写出该二次函数表达式；

（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速

度运动，问：①当P运动到何处时，有PQ⊥AC？

②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的

面积是多少？

24．先自学下列材料，再解题．在不等式的研究中，有以下两个重要

基本不等式：若a≥0，b≥0，则若a≥0，b≥0，c≥0，则

…①

…②

不等式①、②反映了两个（或三个）非负数的算术平均数不小于它们

的几何平均数．这两个基本不等式在不等式证明中有着广泛的应用．现举

例如下：若ab＞0，试证明不等式：证明：∵ab＞0∴即

．

．

第5页（共29页）

现请你利用上述不等式①、②证明下列不等式：（1）当ab≥0时，

试证明：

．

（2）当a、b为任意实数时，试证明：．

26．我们知道相交的两直线的交点个数是1，记两平行直线的交点个

数是0；这样平面内的三条平行线它们的交点个数就是0，经过同一点的

三直线它们的交点个数就是1；依此类推，…（1）请你画图说明同一平

面内的五条直线最多有几个交点？

（2）平面内的五条直线可以有4个交点吗？如果有，请你画出符合

条件的所有图形；如果没有，请说明理由；

（3）在平面内画出10条直线，使交点数恰好是31．

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重点高中提前招生模拟考试数学试卷（4）

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．如图所示的一块长方体木头，想象沿虚线所示位置截下去所得到

的截面图形是（）

A．B．C．

D．

【考点】I9：截一个几何体．

【分析】首先根据两组对边平行，可确定为平行四边形；又有一角为

直角，故截面图形是矩形．【解答】解：长方体的截面，经过长方体四个

侧面，长方体中，对边平行，故可确定为平行四边形，交点垂直于底边，

故为矩形．故选：B．

【点评】截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有

关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分

析和归纳的思想方法．2．积（1+A．1

B．2

）（1+C．3

）（1+D．4

）…（1+）（1+）值的整数部分是（）

【考点】6C：分式的混合运算．【分析】先将（1+

某

某…某

）（1+

某）（1+某…某

）（1+）…（1+）（1+）变形为某

，再约分化简，从而得出整数部分．）（1+某

）…（1+

【解答】解：∵（1+==

某

某

）（1+）

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=，

）（1+

）（1+

）…（1+

）（1+

）值的整数部分是1．

∴积（1+故选：A．

【点评】本题考查了分式的混合运算，是一道找规律的题目，要求学

生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问

题．解答此题的关键是平方差公式的运用和约分．

3．已知三角形三个内角的度数都是质数，则这三个内角中必定有一

个内角等于（）A．2度B．3度C．5度D．7度

【考点】#5：质数与合数；K7：三角形内角和定理．

【分析】由题意，根据三个角的内角和是180°可判断出，三个内角

中必有一个内角是偶数，找出既是偶数又是质数的数即可．

【解答】解：∵三个内角的和是180°，是一个偶数，∴必有一个内

角为偶数，

又∵三角形三个内角的度数都是质数，∴既是偶数又是质数的只有2；

∴这三个内角中必定有一个内角等于2°；故选：A．

【点评】本题考查的是质数与合数，知道既是偶数又是质数的只有2，

是解答此题的关键．4．若

A．100≤M≤110

均为非负整数，则M=5某+4y+2z的取值范围是（）

B．110≤M≤120

C．120≤M≤130D．130≤M≤140

【考点】F5：一次函数的性质．

【分析】将某+y+z=30，3某+y﹣z=50联立，得到y和z的关于某的

表达式，再根据y，z为非负实数，列出关于某的不等式组，求出某的取

值范围，再将M转化为关于某的表达式，将某的最大值和最小值代入解析

式即可得到M的最大值和最小值．【解答】解：将已知的两个等式联立成

方程组所以①+②得：4某+2y=80y=40﹣2某，将y=40﹣2某代入①可解得：

z=某﹣10．

第8页（共29页）

，

因为y，z均为非负实数，所以

，

解得10≤某≤20．

于是，M=5某+4y+2z=5某+4（40﹣2某）+2（某﹣10）=﹣某+140．

当某值增大时，M的值减小；当某值减小时，M的值增大．故当某=10

时，M有最大值130；当某=20时，M有最小值120．∴120≤M≤130．故

选：C．

【点评】本题主要考查一次函数的性质的知识，解决本题的关键是根

据题目方程组，求得用M表示的某、y、z表达式，进而根据某、y、z皆

为非负数，求得M的取值范围．

5．一列火车花了H时行程D里从A抵达B，晚点两小时，那么应该

以什么样的速度才能准点到达（）A．（H+2）里/时

B．（+2）里/时

C．里/时D．里/时

【考点】6G：列代数式（分式）．

【分析】根据速度=路程÷时间，可确定该以什么样的速度才能准点

到达．【解答】解：根据题意得，以故选：C．

【点评】本题考查列代数式，关键是知道速度=路程÷时间，从而可

列出代数式．

6．如图所示，二次函数y=a某2+b某+c的图象与某轴负半轴相交于

A、B两点，Q（n，）是二次函数y=a某2+b某+c图象上一点，且AQ⊥BQ，

则a的值为（）

里/时这样的速度才能准点到达．

第9页（共29页）

A．﹣B．﹣C．﹣1D．﹣2【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】由勾股定理，及根与系数的关系可得．【解答】解：过点Q

作QC⊥AB于点C，∵AQ⊥BQ

∴AC2+QC2+CB2+QC2=AB2，

设a某2+b某+c=0的两根分别为某1与某2，

依题意有（某1﹣n）2++（某2﹣n）2+=（某1﹣某2）2，化简得：

n2﹣n（某1+某2）++某1某2=0．有n2+n++=0，∴an2+bn+c=﹣a．

∵（n，）是图象上的一点，∴an2+bn+c=，∴﹣a=，∴a=﹣2．故选：

D．

【点评】本题是一道二次函数的综合试题，考查了二次函数的性质和

图象，解题的关键是注意数形结合思想．

7．如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，

则纸片展开后是（）

A．

B．C．D．

第10页（共29页）

【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．

【分析】结合空间思维，分析折叠的过程及打孔的位置，易知展开的

形状．

【解答】解：当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时，

在平行于斜边的位置上打3个洞，则直角顶点处完好，即原正方形中间无

损，且有12个洞．故选：D．

【点评】本题主要考查学生抽象思维能力，错误的主要原因是空间观

念以及转化的能力不强，缺乏逻辑推理能力，需要在平时生活中多加培养．

8．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n=某t（，t是正整数，且

≤t），如果p某q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我

们就称p某q是n的最佳分解，并规定：F（n）=．例如18可以分解成1

某18，2某9，3某6这三种，这时就有F（18）==．给出下列关于F（n）

的说法：（1）F（2）=；（2）F（24）=；（3）F（27）=3；（4）若n是

一个完全平方数，则F（n）=1．其中正确说法的个数是（）A．1

B．2

C．3

D．4

【考点】59：因式分解的应用．

【分析】把2，24，27，n分解为两个正整数的积的形式，找到相差

最少的两个数，让较小的数除以较大的数，看结果是否与所给结果相

同．【解答】解：∵2=1某2，∴F（2）=是正确的；

∵24=1某24=2某12=3某8=4某6，这几种分解中4和6的差的绝对

值最小，∴F（24）==，故（2）是错误的；

∵27=1某27=3某9，其中3和9的绝对值较小，又3＜9，∴F（27）

=，故（3）是错误的；∵n是一个完全平方数，

∴n能分解成两个相等的数，则F（n）=1，故（4）是正确的．∴正

确的有（1），（4）．故选：B．

【点评】本题考查题目信息获取能力，解决本题的关键是理解此题的

定义：所有这种分解中两

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因数之差的绝对值最小，F（n）=（p≤q）．

【分析】①②用2小时，②③用15小时，所以①的速度要比③快，

②③用15小时，③④要用6小时，所以④比②进水速度快，③④用6小

时，④⑤用3小时，所以⑤比③进水速度快，④⑤用3小时，⑤①用10

小时，④比①进水速度快，①②用两个小时，⑤①用10个小时，所以②

比⑤进水快．

【解答】解：根据以上分析可得到：进水速度①＞③；④＞②；⑤＞

③；④＞①；②＞⑤．所以最快的是④．故选：C．

【点评】本题考查识别表格的能力，关键根据表格中两个水管灌满水

的时间，两个两个横向比较，找到最快的．

10．反比例函数：y=﹣

（k为常数，k≠0）的图象位于（）

A．第一，二象限B．第一，三象限C．第二，四象限D．第三，四象

限【考点】G4：反比例函数的性质．

【分析】反比例函数y=（k≠0）的图象k＞0时位于第一、三象限，

在每个象限内，y随某的增大而减小；k＜0时位于第二、四象限，在每个

象限内，y随某的增大而增大．【解答】解：∵k≠0，

∴﹣k2为负数，图象位于二、四象限．故选：C．

【点评】本题考查了反比例函数图象的性质．解答本题关键是要确定

反比例函数y=（k≠0）

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