deviation

标准差（StandaidDeviation）,也称均方差（meansquareerror）,是各数据偏离平均数的距离的

平均数，它是离均差平方和平均后的方根，用。表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反

映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。

简介

标准差（StandardDeviation）,在概率统计中最常使用作为统计分布程度（statisticaldispersion）

上的测量。标准差定义为方差的算术平方根，反映组内个体间的离散程度。测量到分布程度的结

果，原则上具有两种性质：

为非负数值，与测量资料具有相同单位。一个总量的标准差或一个随机变量的标准差,及一

个子集合样品数的标准差之间，有所差别。

标准计算公式

假设有一组数值X1JQX3,......Xn（皆为实数），其平均值为卩，公式如图1

图1

标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式如图2。

图2

简单来说，标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。一个较大的标准差，代表犬部分数值

和其平均值之间差异较人；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。

例如，两组数的集合｛0,5,9,14｝和｛5,6,&9｝其平均值都是7,但第二个集合具有较小

的标准差。

标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集

合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测屋值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定

性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与

预测值互相矛盾。这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范闱之外，可以合理推论预测

值是否正确。

标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越人，代表回报远离过

去平均数值，回报较不稳定故风险越高。相反，标准差数值越细，代表回报较为稳定，风险亦较

小。

例如，A、E两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、

45,E组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70,但A组的标准差为18.708

分，E组的标准差为2.37分（此数据时在R统计软件中运行获得），说明A组学生之间的差距

要比B组学生之间的差距大得多。

如是总体，标准差公式根号内除以n

如是样本，标准差公式根号内除以（n-1）

因为我们大量接触的是样本，所以普遍使用根号内除以（n-l）

公式意义

所有数减去其平均值的平方和，所得结果除以该组数之个数（或个数减一，即变异数）,再

把所得值开根号，所得之数就是这组数据的标准差。

深蓝区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围。在正态分布中，此范I制所占比率为

全部数值之68%。根据正态分布，两个标准差之内（深蓝，蓝）的比率合起来为95%。根据正

态分布，三个标准差之内（深蓝，蓝，浅蓝）的比率合起来为99%。

正态分布图

编辑本段标准差的意义

标准计算公式假设有一组数值（皆为实数），其平均值为:

.此组数值的标准差为：

样本标准差

在真实世界中，除非在某些特殊情况卞，找到一个总体的真实的标准差是不现实的。大多

数情况下，总体标准差是通过随机抽取一定量的样本并计算样本标准差估计的。

从一大组数值当中取出一样本数值组合，常定义其样本标准差：

样本方差s是对总体方差。的无偏估计。s中分母为11-1是因为的自由度为n-1,这是由于存

在约束条件。

这里示范如何计算一组数的标准差。例如一群儿童年龄的数值为｛5,6,8,9｝：

第一步，计算平均值

”=44个«>.分别设为:

珀=5巧=61*3=8夂=9

|4

7=扌工:町用4収代R

°i=l

壬=j（巧+才2+巧+才4）

T=［（S+6+8+9）

x=7比力丰炒（!•

第二步，计算标准差

■”-la|>192Q

3号窑中・氏澄■坍占比■力金"HZ68%>嚴■正

■个E>%%

•正好分审・（不各环第比

编辑本段离散度

标准差是反应一组数据离散程度最常用的一种量化形式，是表示精密确的重要指标。说起

标准差首先得搞清楚它出现的目的。我们使用方法去检测它，但检测方法总是有误差的,所以检

测值并不是其真实值。检测值与真实值之间的差距就是评价检测方法最有决定性的指标。但是真

实值是多少，不得而知。因此怎样量化检测方法的准确性就成了难题。这也是临床工作质控的

目的：保证每批实验结果的准确可靠。

虽然样本的真实值是不可能知道的，但是每个样本总是会有一个真实值的，不管它究竟是

多少。可以想彖，一个好的检测方法，基检测值应该很紧密的分散在真实值周I制。如何不紧密，

那距真实值的就会人，准确性当然也就不好了，不可能想象离散度人的方法，会测出准确的结果。

因此，离散度是评价方法的好坏的最重要也是最基本的指标。

一组数据怎样去评价和量化它的离散度呢?人们使用了很多种方法：极差

最直接也是最简单的方法，即最人值一最小值(也就是极差)来评价一组数据的离散度。这

一方法在口常生活中最为常见，比如比赛中去掉最高最低分就是极差的具体应用。离均差的平方

和

由于误差的不可控性，因此只由两个数据来评判一组数据是不科学的。所以人们在要求更

高的领域不使用极差来评判。其实，离散度就是数据偏离平均值的程度。因此将数据与均值之差

(我们叫它离均差)加起来就能反映出一个准确的离散程度。和越大离散度也就越人。

但是由于偶然误差是成正态分布的，离均差有正有负，对于人样本离均差的代数和为零的。

为了避免正负问题，在数学有上有两种方法：一种是取绝对值，也就是常说的离均差绝对值之和。

而为了避免符号问题，数学上最常用的是另一种方法一一平方，这样就都成了非负数。因此，离

均差的平方和成了评价离散度一个指标。

方差(S2)

由于离均差的平方和与样本个数有关，只能反应相同样本的离散度，而实际工作中做比较

很难做到相同的样本，因此为了消除样本个数的影响，增加可比性，将标准差求平均值,这就是

我们所说的方差成了评价离散度的较好指标。

样本量越大越能反映真实的情况，而算数均值却完全忽略了这个问题，对此统计学上早有

考虑，在统计学中样本的均差多是除以自由度(ml),它的意思是样本能自由选择的程度。当选到

只剩一个时，它不可能再有自由了，所以自由度是ml。

标准差(SD)

由于方差是数据的平方，与检测值本身相差太大，人们难以直观的衡量，所以常用方差开

根号换算回来这就是我们要说的标准差。

在统计学中样本的均差多是除以自由度5-1),它是意思是样本能自由选择的程度。当选到只

剩一个时，它不可能再有自由了，所以自由度是ml。

变异系数(CV)

标准差能很客观准确的反映一组数据的离散程度，但是对于不同的检目，或同一项目不同

的样本，标准差就缺乏可比性了，因此对于方法学评价来说又引入了变异系数CVo编辑本段标准

差与平均值之间的关系

一组数据的平均值及标准差常常同时做为参考的依据。在直觉上，如果数值的中心以平均

值来考虑，则标准差为统计分布之一“自然”的测量。

定义公芒：其中N应为ml,即自由度

1旦

。(广)=T7-r)2

'i=i

标准差与平均值定义公式

编辑本段标准差公式

1、方差sA2=[(x1-x)A2+(x2-x)A2+......(xii-x)A2]/(n)

2、标准差=方差的算术平方根

误差条

errorbaio在实验中单次测量总是难免会产生误差，为此我们经常测量多次，然后用测量值

的平均值表示测量的量，并用误差条来表征数据的分布，其中误差条的高度为士标准误。这里即

标准差standarddeviation和标准误satandaiderror的计算公式分别为

丐=(1/J~n)a

标准误

编辑本段几何学解释

从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从11维空间的一个点到一条直线的距离的函

数。举一个简单的例子，一组数据中有3个值，Xl,X2,X3o它们可以在3维空间中确定一个点P=

（Xl,X2,X3）o想像一条通过原点的直线。如果这组数据中的3个值都相等，则点P就是直线L

上的一个点，P到L的距离为0,所以标准差也为0。若这3个值不都相等，过点P作垂线PR垂

直于L,PR交L于点R,则R的坐标为这3个值的平均数:

R=（酉T,T）

公式

运用一些代数知识，不难发现点P与点R之间的距离（也就是点P到直线L的距离）是。在n

维空间中，这个规律同样适用，把3换成11就可以了。

编辑本段标准差与标准误的区别

标准差与标准误都是心理统计学的内容，两者不但在字面上比较相近，而且两者都是表示

距离某一个标准值或中间值的离散程度，即都表示变异程度，但是两者是有着较人的区别的。

首先要从统计抽样的方面说起。现实生活或者调查研究中，我们常常无法对某类欲进行调

查的目标群体的所有成员都加以施测，而只能够在所有成员（即样本）中抽取一些成员出来进行

调查，然后利用统计原理和方法对所得数据进行分析，分析岀来的数据结果就是样本的结果，然

后用样本结果推断总体的情况。一个总体可以抽取出多个样本，所抽取的样本越多，其样本均值

就越接近总体数据的平均值。

标准差（standarddeviation,STD）

表示的就是样本数据的离散程度。标准差就是样本平均数方差的开平方，标准差通常是相

对于样本数据的平均值而定的，通常用M士SD来表示，表示样本某个数据观察值相距平均值有

多远。从这里可以看到，标准差收到极值的影响。标准差越小，表明数据越聚集；标准差越人，

表明数据越离散。标准差的大小因测验而定，如果一个测验是学术测验，标准差人，表示学生分

数的离散程度人，更能够测量出学生的学业水平；如果一个侧样测量的是某种心理品质，标准差

小，表明所编写的题目是同质的，这时候的标准差小的更好。标准差与正态分布有密切联系：在

正态分布中，1个标准差等于正态分布下曲线的68.26%的面积，1.96个标准差等于95%的面积。

这在测验分数等值上有重要作用。

标准误(standarderror,SE)

表示的是抽样的误差。因为从一个总体中可以抽取出无数多种样本，每一个样本的数据都

是对总体的数据的估计。标准误代表的就是当前的样本对总体数据的估计，标准误代表的就是样

本均数与总体均数的相对误差。标准误是由样本的标准差除以样本人数的开平方来计算的。从这

里可以看到，标准误更人的是受到样本人数的影响。样本人数越大，标准误越小,那么抽样误差

就越小，就表明所抽取的样本能够较好地代表样本。

编辑本段Excel函数

关于这个函数在EXCEL中的STDEVP函数有详细描述，EXCEL中文版里面就是用的“标

准偏差”字样。但我国的中文教材等通常还是使用的是“标准差”。

在EXCEL中STDEVP函数是另外一种标准差，也就是总体标准差。在繁体中文的一些地

方可能叫做“母体标准差”

在R统计软件中标准差的程序为:sum((x-mean(x))A2)/(length(x)-1)