线性代数视频

n

线性代数公式大全——最新修订

1、行列式

1.n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式；

2.代数余子式的性质：

①、A

ij

和a

ij

的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；

③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；

3.代数余子式和余子式的关系：M

(1)ijAA(1)ijM

4.设n行列式D：

ijijijij

n(n1)

将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D

1

，则D

1

(1)2D；

将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D

2

，则D

2

(1)

n(n1)

2D；

将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D

3

，则D

3

D；

将D主副角线翻转后，所得行列式为D

4

，则D

4

D；

5.行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)

n(n1)

2；

③、上、下三角行列式（◥◣）：主对角元素的乘积；

④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)

n(n1)

2；

⑤、拉普拉斯展开式：

AO



AC

AB、

CA



OA

(1)mnAB

CBOB

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；

⑦、特征值；

BOBC

6.对于n阶行列式A，恒有：EAn(1)kSnk，其中S为k阶主子式；

7.证明A0的方法：

①、AA；

②、反证法；

kk

k1

③、构造齐次方程组Ax0，证明其有非零解；

④、利用秩，证明r(A)n；

⑤、证明0是其特征值；

1.A是n阶可逆矩阵：

2、矩阵

A0（是非奇异矩阵）；

r(A)n（是满秩矩阵）

A的行（列）向量组线性无关；

齐次方程组Ax0有非零解；

bRn，Axb总有唯一解；

A与E等价；

A可表示成若干个初等矩阵的乘积；

A



1

A

1

OO

①、若(A,E)(E,X)，则A可逆，且XA；

1

A

A的特征值全不为0；

ATA是正定矩阵；

A的行（列）向量组是Rn的一组基；

A是Rn中某两组基的过渡矩阵；

2.对于n阶矩阵A：AA*A*AAE无条件恒成立；

3.(A1)*(A*)1

(AB)TBTAT

(A1)T(AT)1

(AB)*B*A*

(A*)T(AT)*

(AB)1B1A1

4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；

5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：



A

1

若A















A

2

，则：





s

Ⅰ、AA

1

A

2

A

s

；



A1





1





Ⅱ、A1











2

；





A1









AO

1

s



A1O





②、



OB









；（主对角分块）

OB







OA

1

OB1



③、



BO









1O



；（副对角分块）







AC

1



A1A1CB1

④、



OB







OB



；（拉普拉斯）







AO

1



A1O





⑤、



CB









B1CA1B1



；（拉普拉斯）





3、矩阵的初等变换与线性方程组

1.一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F



E

r

O



；





mn

等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；

对于同型矩阵A、B，若r(A)r(B)

2.行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得；

②、每行首个非0元素必须为1；

AB；

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

r

1

c

②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A1B，即：(A,B)(E,A1B)；

r

③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb，如果(A,b)(E,x)，则A可逆，且xA1b；

4.初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；





nnnnnn



1









1

②、





2







，左乘矩阵A，乘A的各行元素；右乘，乘A的各列元素；

ii







n



1

1

③、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)1E(i,j)，例如：



1









1







1

1







1







1

④、倍乘某行或某列，符号E(i(k))，且E(i(k))E(i())，例如：



k







(k0)；

k



1





k









1









1

⑤、倍加某行或某列，符号E(ij(k)),且E(ij(k))1E(ij(k))，如：



1

k

1

1







1

k





(k0)；





1



1





5.矩阵秩的基本性质：

①、0r(A

mn

)min(m,n)；

②、r(AT)r(A)；

③、若AB，则r(A)r(B)；

④、若P、Q可逆，则r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）

⑤、max(r(A),r(B))r(A,B)r(A)r(B)；（※）

⑥、r(AB)r(A)r(B)；（※）

⑦、r(AB)min(r(A),r(B))；（※）

⑧、如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且AB0，则：（※）

Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX0解（转置运算后的结论）；

Ⅱ、r(A)r(B)n

⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)r(A)r(B)n；

6.三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；



1ac



②、型如



01b



的矩阵：利用二项展开式；





001





n

二项展开式：(ab)nC0anC1an1b1CmanmbmCn1a1bn1CnbnCmambnm；

m0

注：Ⅰ、(ab)n展开后有n1项；

Ⅱ、Cm

n(n1)(nm1)



n!

C0Cn1

n123mm!(nm)!nn

nⅢ、组合的性质：CmCnm

CmCmCm1Cr2nrCrnCr1；

nnn1

③、利用特征值和相似对角化：

7.伴随矩阵：

nnnnn1

r0



nr(A)n

①、伴随矩阵的秩：r(A*)









r(A)n1；

r(A)n1

0



1







1







；

1



1



1





A

A



101

1

②、伴随矩阵的特征值：

(AXX,A*AA1A*X

X)；

③、A*



AA1、A*



An1

8.关于A矩阵秩的描述：

①、r(A)n，A中有n阶子式不为0，n1阶子式全部为0；（两句话）

②、r(A)n，A中有n阶子式全部为0；

③、r(A)n，A中有n阶子式不为0；

9.线性方程组：Axb，其中A为mn矩阵，则：

①、m与方程的个数相同，即方程组Axb有m个方程；

②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb为n元方程；

10.线性方程组Axb的求解：

①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；

②、齐次解为对应齐次方程组的解；

③、特解：自由变量赋初值后求得；

11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：



a

11

x

1

a

12

x

2

a

1n

x

n

b

1

axaxaxb

①、







；







a

m1

x

1

a

m2

x

2

a

nm

x

n

b

n



a

11

a

12a

1n



x

1



b

1





aaa



x



b



②、



21222n

2



2

Axb（向量方程，A为mn矩阵，m个方程，n个未知数）

















aaa



x

b



m1m2mn



x

1



mm



b

1





x



b



③、aaa2

（全部按列分块，其中

2

）；

12n











x



b



nn

④、a

1

x

1

a

2

x

2

a

n

x

n

（线性表出）

⑤、有解的充要条件：r(A)r(A,)n（n为未知数的个数或维数）

4、向量组的线性相关性

1.m个n维列向量所组成的向量组A：

1

,

2

,,

m

构成nm矩阵A(

1

,

2

,,

m

)；

T





T



m个n维行向量所组成的向量组B：T,T,,T构成mn矩阵B

2

；

12m









T







含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；

m

2.①、向量组的线性相关、无关

②、向量的线性表出

③、向量组的相互线性表示

Ax0有、无非零解；（齐次线性方程组）

Axb是否有解；（线性方程组）

AXB是否有解；（矩阵方程）

3.矩阵A

mn

与B

ln

行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax0和Bx0同解；(P

101

例14)

4.r(ATA)r(A)；(P例15)

5.n维向量线性相关的几何意义：

①、线性相关0；

②、,线性相关,坐标成比例或共线（平行）；

2112222nn2

x

12

12

③、,,线性相关,,共面；

6.线性相关与无关的两套定理：

若

1

,

2

,,

s

线性相关，则

1

,

2

,,

s

,

s1

必线性相关；

若

1

,

2

,,

s

线性无关，则

1

,

2

,,

s1

必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）

若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B：

若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）

简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

7.向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则rs(二版P

74

定理7)；

向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)r(B)；（P

86

定理3）

向量组A能由向量组B线性表示

AXB有解；

r(A)r(A,B)（P

85

定理2）

向量组A能由向量组B等价r(A)r(B)r(A,B)（P

85

定理2推论）

8.方阵A可逆存在有限个初等矩阵P

1

,P

2

,,P

l

，使AP

1

P

2

P

l

；

r

①、矩阵行等价：A~BPAB（左乘，P可逆）Ax0与Bx0同解

c

②、矩阵列等价：A~BAQB（右乘，Q可逆）；

③、矩阵等价：A~BPAQB（P、Q可逆）；

9.对于矩阵A

mn

与B

ln

：

①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；

②、若A与B行等价，则Ax0与Bx0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；

③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；

④、矩阵A的行秩等于列秩；

10.若A

ms

B

sn

C

mn

，则：

①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；

②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置）

11.齐次方程组Bx0的解一定是ABx0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；

①、ABx0

②、Bx0

只有零解

有非零解

Bx0只有零解；

ABx0一定存在非零解；

12.设向量组B

nr

:b

1

,b

2

,,b

r

可由向量组A

ns

:a

1

,a

2

,,a

s

线性表示为：（P

110

题19结论）

(b

1

,b

2

,,b

r

)(a

1

,a

2

,,a

s

)K（BAK）

其中K为sr，且A线性无关，则B组线性无关r(K)r；（B与K的列向量组具有相同线性相关性）

（必要性：rr(B)r(AK)r(K),r(K)r,r(K)r；充分性：反证法）注：

当rs时，K为方阵，可当作定理使用；

13.①、对矩阵A

mn

，存在Q

nm

，AQE

m

②、对矩阵A

mn

，存在P

nm

，PAE

n

r(A)m、Q的列向量线性无关；（P

87

）

r(A)n、P的行向量线性无关；

14.

1

,

2

,,

s

线性相关

存在一组不全为0的数k

1

,k

2

,,k

s

，使得k

1



1

k

2



2

k

s



s

0成立；（定义）



x

1





x

(,,,)







2

0有非零解，即Ax0有非零解；

12s







s

r(

1

,

2

,,

s

)s，系数矩阵的秩小于未知数的个数；

15.设mn的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax0的解集S的秩为：r(S)nr；

16.若*为Axb的一个解，,,,



nr

为Ax0的一个基础解系，则*,,,,



nr

线性无关；（P

111

题

33结论）

ij



0

5、相似矩阵和二次型

1.正交矩阵ATAE或A1AT（定义），性质：

①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aTa





1



ij

ij

(i,j1,2,n)；

②、若A为正交矩阵，则A1AT也为正交阵，且A1；

③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；

注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；

2.施密特正交化：(a

1

,a

2

,,a

r

)

b

1

a

1

；

ba



[b

1

,a

2

]

b

22



[b

1

,b

1

]

ba



[b

1

,a

r

]

b

[b

2

,a

r

]

b



[b

r1

,a

r

]

b;

rr[b,b]1[b,b]2[b,b

]r1

1122r1r1

3.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；

对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；

4.①、A与B等价A经过初等变换得到B；

PAQB，P、Q可逆；

r(A)r(B)，A、B同型；

②、A与B合同CTACB，其中可逆；

xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数；

③、A与B相似P1APB；

5.相似一定合同、合同未必相似；

若C为正交矩阵，则CTACBAB，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；

6.A为对称阵，则A为二次型矩阵；

7.n元二次型xTAx为正定：

A的正惯性指数为n；

A与E合同，即存在可逆矩阵C，使CTACE；

A的所有特征值均为正数；

A的各阶顺序主子式均大于0；

a

ii

0,A0；(必要条件)

1