1
2.4.2圆的一般方程
【学习目标】
课程标准学科素养
1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径．(重点)
2.会在不同条件下求圆的一般方程．(重点)
1、数学运算
2、逻辑推理
【自主学习】
1.圆的一般方程的概念
当时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
其中圆心为，圆的半径为r＝.
2.对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的讨论
①D2＋E2－4F＞0时表示圆．
①D2＋E2－4F＝0时表示点.
①D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形．
思考：方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？
【小试牛刀】
1.圆的一般方程可以化为圆的标准方程.()
2.二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.()
3.若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.()
4.任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.()
【经典例题】
题型一圆的一般方程的认识
注意：判断方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆，关键是将其配方
x＋
D
2
2
＋
y＋
E
2
2
＝
D2＋E2－4F
4
，最后转化为判断D2＋E2－4F的正负问题．
例1若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________．
2
[跟踪训练]1下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心坐标和半径长．
①x2＋y2－4x＝0；①2x2＋2y2－3x＋4y＋6＝0；①x2＋y2＋2ax＝0.
题型二求圆的一般方程
注意：确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组，求a、b、r或
直接求出圆心(a，b)和半径r，一般步骤为：
(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(x―a)2＋(y―b)2＝r2(r＞0)；
(2)根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
(3)解方程组，求出a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程
例2已知①ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求①ABC的外接圆方程、外心坐
标和外接圆半径．
[跟踪训练]2已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象
限，半径长为2，求圆的一般方程．
3
题型三与圆有关的轨迹问题
注意：求涉及到曲线的轨迹问题时，一般有两种方法：一是直接法，即把动点满足的条件直接
用坐标“翻译”过来的方法；二是代入法，代入法也叫相关点法，就是把动点(x，y)与相关点(x
0
，
y
0
)建立等式，再把x
0
，y
0
用x，y表示后代入到它所满足的曲线的方法．解题时要注意条件的
限制．
例3点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；
[思路探究](1)设点P坐标→用P，A坐标表示点M坐标→求轨迹方程
(2)求BP的中点E的轨迹方程．
[跟踪训练]3设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则PA的中心M的轨迹方
程是________．
【当堂达标】
1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是()
A．一个点B．一个圆
C．一条直线D．不存在
2．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是()
A．m＜
1
2
B．m≤
1
2
C．m＜2D．m≤2
4
3.圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为()
A.8πB.4π
C.2πD.π
4．若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是()
A．(1，＋∞)B．
1
5
，1
C．(1，＋∞)①
－∞，
1
5
D．R
5．设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则PA的中心M的轨迹方程是________．
6.若点M(3,0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程
是()
A.x＋y－3＝0B.x－y－3＝0
C.2x－y－6＝0D.2x＋y－6＝0
7.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB
的端点B的轨迹方程.
5
【参考答案】
【自主学习】
D2＋E2－4F＞0
－
D
2
，－
E
2
1
2
D2＋E2－4F
－
D
2
，－
E
2
A＝C≠0，B＝0且D2＋
E2－4F＞0.
【小试牛刀】
(1)√(2)×(3)√(4)√
【经典例题】
例1(－∞，1)[把方程配方得(x＋a)2＋(y＋a)2＝1－a，由条件可知1－a＞0，即a＜1.]
[跟踪训练]1[解]①方程可变形为(x－2)2＋y2＝4，故方程表示圆，圆心为C(2,0)，半径r＝2.
①方程可变形为2
x－
3
4
2
＋2(y＋1)2＝－
23
8
，此方程无实数解．故方程不表示任何图形．
①原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2.
当a＝0时，方程表示点(0,0)，不表示圆；
当a≠0时，方程表示以(－a,0)为圆心，|a|为半径的圆．
例2[解]法一：设①ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
①A，B，C在圆上，
①
1＋16＋D＋4E＋F＝0，
4＋9－2D＋3E＋F＝0，
16＋25＋4D－5E＋F＝0，
①
D＝－2，
E＝2，
F＝－23，
①①ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
①外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.
法二：①k
AB
＝
4－3
1＋2
＝
1
3
，k
AC
＝
4＋5
1－4
＝－3，①k
AB
·k
AC
＝－1，①AB①AC.
①①ABC是以角A为直角的直角三角形，①外心是线段BC的中点，
坐标为(1，－1)，r＝
1
2
|BC|＝5.①外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
[跟踪训练]2[解]圆心C
－
D
2
，－
E
2
，
①圆心在直线x＋y－1＝0上，①－
D
2
－
E
2
－1＝0，
即D＋E＝－2.①
6
又①半径长r＝
D2＋E2－12
2
＝2，
①D2＋E2＝20.①
由①①可得
D＝2，
E＝－4
或
D＝－4，
E＝2.
又①圆心在第二象限，①－
D
2
＜0，即D＞0.则
D＝2，
E＝－4.
故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
例3[解](1)设线段AP的中点为M(x，y)，
由中点公式得点P坐标为(2x－2,2y)．
①点P在圆x2＋y2＝4上，①(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
（2）设点E(x，y)，P(x0，y0)．
①B(1,1)，①
x＝
x0＋1
2
，
y＝
y0＋1
2
.
整理得x0＝2x－1，y0＝2y－1，
①点P在圆x2＋y2＝4上，①(2x－1)2＋(2y－1)2＝4，
整理得点E的轨迹方程为x2＋y2－x－y－
1
2
＝0.
[跟踪训练]3x2＋y2－4x＋2y＋1＝0[由条件知A(2，－1)，设M(x，y)，则P(2x－2,2y＋1)，
由于P在圆上，
①(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0，整理得x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.]
【当堂达标】
1.A[方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，
①方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2)．]
2.A[由D2＋E2－4F＞0得(－1)2＋12－4m＞0，解得m＜
1
2
，故选A.]
3.C解析原方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，
①半径r＝2，①圆的面积为S＝πr2＝2π.
4.A[因为方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，所以D2＋E2―4F＞0，
7
即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范围是(1，＋∞)．故选A.]
5.x2＋y2－4x＋2y＋1＝0由条件知A(2，－1)，设M(x，y)，则P(2x－2,2y＋1)，由于P在圆上，
①(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0，整理得x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.
6.C解析圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0的圆心坐标为(4,2)，则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最
长.由k＝
2－0
4－3
＝2，可知C正确.
7.解设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x
0
，y
0
)，由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB
的中点，所以4＝
x
0
＋x
2
，3＝
y
0
＋y
2
，
于是有x
0
＝8－x，y
0
＝6－y.①
因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，
所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，即(x
0
＋1)2＋y2
0
＝4，①
把①代入①，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.
所以点B的轨迹方程为(x－9)2＋(y－6)2＝4.
本文发布于:2022-11-24 08:46:11，感谢您对本站的认可！
本文链接：http://www.wtabcd.cn/fanwen/fan/90/10676.html
版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系，我们将在24小时内删除。
| 留言与评论（共有 0 条评论） |
