高中数学方差的计算公式

高中数学方差公式总结

方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。下面是为大家带来的高中数学方差公式总结，欢迎阅读。

一、方差的概念与计算公式

例1 两人的5次测验成绩如下：

X： 50，100，100，60，50 E（X ）=72；

Y： 73， 70， 75，72，70 E（Y ）=72。

平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。

方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。

单个偏离是

消除符号影响

方差即偏离平方的均值，记为D（X ）：

直接计算公式分离散型和连续型，具体为：

这里 是一个数。推导另一种计算公式

得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”。

其中，分别为离散型和连续型计算公式。 称为标准差或均方差，方差描述波动

二、方差的'性质

1、设C为常数，则D（C） = 0（常数无波动）；

2、 D（CX ）=C2 D（X ） （常数平方提取）；

证：

特别地 D（—X ） = D（X ）， D（—2X ） = 4D（X ）（方差无负值）

3、若X 、Y 相互***，则

证：记

则

前面两项恰为 D（X ）和D（Y ），第三项展开后为

当X、Y 相互***时，

故第三项为零。

特别地

***前提的逐项求和，可推广到有限项。

方差公式：

平均数：M=（x1+x2+x3+…+xn）/n （n表示这组数据个数，x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值）

方差公式：S=〈（M－x1）+（M－x2）+（M－x3）+…+（M－xn）〉╱n

三、常用分布的方差

1、两点分布

2、二项分布

X ~ B （ n， p ）

引入随机变量 Xi （第i次试验中A 出现的次数，服从两点分布）

3、泊松分布（推导略）

4、均匀分布

另一计算过程为

5、指数分布（推导略）

6、正态分布（推导略）

7、t分布 ：其中X~T（n），E（X）=0；D（X）=n/（n—2）；

8、F分布：其中X~F（m，n），E（X）=n/（n—2）；

正态分布的后一参数反映它与均值 的偏离程度，即波动程度（随机波动），这与图形的特征是相符的。

例2 求上节例2的方差。

解 根据上节例2给出的分布律，计算得到

工人乙废品数少，波动也小，稳定性好。

方差的定义：

设一组数据x1，x2，x3······xn中，各组数据与它们的平均数x（拔）的差的平方分别是（x1—x拔），（x2—x拔）······（xn—x拔），那么我们用他们的平均数s2=1/n【（x1—x拔）+（x2—x拔）+·····（xn—x拔）】来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。