比例中项

初中数学相似三角形基础知识精讲--比例线段

【基础知识精讲】

一、两条线段的比：同一长度单位下两条线段长度的比叫两条线段的比。

二、成比例线段：1.比例线段：四条线段中，如果，dcba、、、

d

c

b

a



那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。dcba、、、

2.比例中项：如果（或），则叫做的比例中项。

c

b

b

a

acb2b

ca、

三、比例的性质：1.基本性质:如果，那么.

d

c

b

a



bcad

2．更比性质：如果，那么.

d

c

b

a



d

b

c

a



3．反比性质:如果，那么.

d

c

b

a



c

d

a

b



4．合比性质：如果，那么.

d

c

b

a



d

dc

b

ba





5．分比性质：如果，那么.

d

c

b

a



d

dc

b

ba





6．等比性质:如果，那么.)0(ndb

n

m

d

c

b

a

b

a

ndb

mca











四、黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC），如果，

AC

BC

AB

AC



那么点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，。618.0

2

15







AB

AC

【例题巧解点拨】

例1：（1）已知2

acabcd

bdbd



，求和

（2）已知0,0,

acabcd

abcd

bdabcd







，且求证：

例2：已知是非零实数，且，dcba、、、k

cba

d

dab

c

dca

b

dcb

a

















求的值.k

变式训练：

1.若均为正数，，则的值一定是（）abc、、

abc

x

bcacab





x

A、B、-1C、或-1D、

1

2

1

2

3

2

2.已知一次函数中，比例系数满足，1kxy

k

cab

k

abbcca





试求直线与轴的交点坐标.1kxyx

例3：若且，试求的值。,

6

5

43

2



cba

2132cbacba::

变式训练：已知，5:4:3::zyx

①求的值；②若，求.

z

yx

6zyxzyx、、

例4：已知为的三边，且满足，判断cba、、ABC

1:7:2)(:)(:)(bcbaca

ABC

的形状。.

y

x

变式训练：如图，扇子的圆心角为，余下扇子的圆心角为,与的比通常按黄金比来设x

yxy

计，这样的扇子外形较为美观。若取黄金比为0.6，则为（）x

A、2160B、1350C、1200D、1080

【名书、名校、竞赛、中考在线】

1.线段，的积是625，则，的比例中项是；a

b

a

b

x

2.已知，，c，则,,的第四比例项d为____.2a4b5

a

b

c

3.若，则.4:3:5:cba

________

23

32







cba

cba

4.已知，则.

7

5



f

e

d

c

b

a







fdb

eca

72

72

5.则一次函数一定经过第象限.，如果k

c

cba

b

bca

a

acb













。)2(kkxy

6.如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：

①BC=2DE；②；③．其中正确的有（）

CE

AE

AC

AD



AC

AB

AE

AD



A.3个B.2个C.1个D.0个

7.若，则________，=________.052yxxy:

x

yx

8.若，则=________.

5

3





b

ba

b

a

9.已知,且.（1）求；（2）求的值..2:3:4::cba1433cbacba、、cba34

10.在△ABC中，D是BC上一点，若AB=15cm，AC=10cm，且BD∶DC=AB∶AC，

BD－DC=2cm，求BC.

E

D

C

B

A

◆----平行线分线段成比例定理

定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

1、三角形一边平行线的性质定理（推论）：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的

延长线），所得的对应线段成比例。

2、三角形一边的平行线的判定定理1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所

得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

3、三角形一边的平行线的性质定理2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延

长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

例、如图5，在△ABC中，D是BC上的点，E是AC上的点，AD与BE交于点F，若

AE:EC=3:4，

BD:DC=2:3，求BF:EF的值。

作业

姓名：作业等级：.

1.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士

身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿

的高跟鞋的高度大约为（）

A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm

B

C

E

D

A

F

3.在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高.将△ABC按如图所示的方式折叠，

使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为（）

A.9.5B.10.5C.11D.15.5

4.已知：一定经过（）,2

abc

kykxk

bcacab





则直线

A、第一、二象限B、第二、三象限C第三、四象限D、第一、四象限

5．在比例尺为1:5000的地图上,量得甲,乙两地的距离为25cm,则甲,乙两地的实际距离

是_________.

6．已知，则的值为____________.

0

432



cba

c

ba

7．已知，，则

3

f

e

d

c

b

a

.1832fdb.__________32eca

8．如图，AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距墙脚1.6m，梯上点D距墙1.4m，BD长0.55m

则梯子的长为______.

9.已知点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则AC∶AB=.若AB=10cm，则BC=_____。

10.已知点C、D是线段AB的黄金分割点，且CD=1，则AB=.