无穷间断点

函数的间断点

设函数xf在点

0

x的某去心邻域内有定义．在

此前提下，如果函数xf有下列三种情形之一：

1．在

0

xx没有定义；

2．虽在

0

xx有定义，但xf

xx

0

lim



不存在；

3．虽在

0

xx有定义，且xf

xx

0

lim



存在，但

0

0

limxfxf

xx





；

则函数xf在点

0

x为不连续，而点

0

x称为函数xf的

不连续点或间断点．

下面我们来观察下述几个函数的曲线在1x

点的情况，给出间断点的分类：

在1x连

续．在1x间断，1x极限

为2．

y

x1

1

2

1

①1xy

y

x1

1

2

1

②1

12







x

x

y

③











11

11

x

xx

y

，

，

y

x1

1

2

1

④











1

11

xx

xx

y

，

，

y

x1

1

2

1

y

在

x

1

⑤1

1





x

y

。 ，





1

1

lim1

1x

x

x

在1x间断，1x极限为2．在

1x间断，

1x左极限为2，右极限为1．

在0x间断，0x极限不存在．

像②③④这样在

0

x点左右极限都存在的间断，

称为第一类间断，其中极限存在的②③称作第一

⑥x

y

1

sin

类间断的可补间断，此时只要令21y，则在1x函

数就变成连续的了；④被称作第一类间断中的跳

跃间断．⑤⑥被称作第二类间断，其中⑤也称作

无穷间断，而⑥称作震荡间断．

就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如

果

0

x是函数xf的间断点，但左极限0

0

xf及右极

限0

0

xf都存在，那么

0

x称为函数xf的第一类间

断点．不是第一类间断点的任何间断点，称为第

二类间断点．在第一类间断点中，左、右极限相

等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断

点．无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断

点．

例1确定a、b使在处连

续．

解：在处连续

因为；；

所以时，在处连续．

例2求下列函数的间断点并进行分类























0,

1

sin

0,

0,

sin

)(

xb

x

x

xa

x

x

x

xf

0x

)(xf

0x

)(lim

0

xf

x

)(lim

0

xf

x



)0(f

bb

x

xxf

xx



















1

sinlim)(lim

00

1

sin

lim)(lim

00



x

x

xf

xxaf)0(

1ba

)(xf

0x

1、

分析：函数在处没有定义，所以考察该

点的极限．

解：因为，但在处

没有定义

所以是第一类可去间断点．

2、

分析：是分段函数的分段点，考察该点

的极限．

解：因为，而

所以是第一类可去间断点．

总结：只要改变或重新定义在处的值，使它

等于，就可使函数在可去间断点处连续．

3、

分析：是分段函数的分段点，且分段点

左右两侧表达式不同，考察该点的左、右极限．

解：因为；

所以是第一类跳跃间断点．

1

1

)(

2







x

x

xf

1x

2)1(lim

1

1

lim

1

2

1









x

x

x

xx)(xf

1x

1x

















.0,1

,0,

1

sin

)(

x

x

x

x

xf

0x

0

1

sinlim

0



x

x

x1)0(f

0x

)(xf

0

x

)(lim

0

xf

xx

0

x













.0,1

,0,1

)(

xx

xx

xf

0x

1)1(lim)(lim

00





xxf

xx

1)1(lim)(lim

00





xxf

xx

0x

4、

分析：函数在处没有定义，且左、右极

限不同，所以考察该点的单侧极限．

解：因为；

所以是第一类跳跃间断点．

5、

解：因为

所以是第二类无穷间断点

6、

解：极限不存在

所以是第二类振荡间断点

7、求的间断点，并将其分类．

解：间断点：

当时，因，故是可去间断点．

当时，因，故

是无穷间断点．

x

xf

1

arctan)(

0x

2

1

arctanlim)(lim

00





x

xf

xx

2

1

arctanlim)(lim

00





x

xf

xx

0x

xexf

1

)(





x

xx

exf

1

00

lim)(lim

0x

x

xf

1

sin)(

x

xf

xx

1

sinlim)(lim

00



0x

x

x

xf

sin

)(

),2,1,0(kkx

0x

1

sin

lim

0



x

x

x0x

),2,1(kkx



x

x

kxsin

lim



),2,1(kkx

小结与思考：

本节介绍了函数的连续性，间断点的分类．

1、求

分析：通过极限运算，得到一个关于x的函

数，找出分段点，判断．

解：因为；

所以是第一类跳跃间断点

因为；；

所以是连续点．

n

nx

x

xf

21

1

lim)(

































.1,0

1,1

1,0

11,1

)(

x

x

x

xx

xf

00lim)(lim

11



xx

xf2)1(lim)(lim

11





xxf

xx

1x

0)1(lim)(lim

11





xxf

xx

00lim)(lim

11



xx

xf

0)1(f

1x