有理数和无理数的区别

1

谈谈有理数与无理数

实数通常分为有理数和无理数两类。这两类数的性质，对于九年义务教育

阶段的初中学生来说，知道得较少。本文试图对初中数学中关于有理数和无理

数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。

关于有理数，我们知道得较多，其特征有：

1、由于实数实际上就是小数，因此有理数是指那些有限小数和无限循环小

数；

2、每个有理数都可以写成分数的形式，即，其中m和n都是整数，且

n

m

n≠0。利用这一特征很容易证明：任意两个有理数进行加、减、乘、除（除数

不为0）四则运算所得的结果仍是有理数。

我们不加证明地给出关于有理数的一条结论：

当有理数的分母n能分解质因数为2

α

×5

β

（其中α、β为自然数）

n

m

时，有理数能化成有限小数；否则，化为无限循环小数。（关于有理数与小

n

m

数的互化问题，有兴趣的同学请可阅读相关书籍，不再赘述）

无理数是指那些无限不循环小数。大家熟悉的无理数很多，、e、π等2

等都是。与有理数相比，无理数不具备那样好的性质。譬如，两个无理数的四

则运算结果不一定是无理数，象π-π=0，=1。

2

2

根据有理数和无理数之间的相互关系，可以得到如下两条性质，它们在处

理与有理数无理数有关的问题时，起着基本的作用：

1、任何有理数≠任何无理数；

2、设是a有理数，b是无理数，则a+b，a-b，a·b（a≠0），a/b（a≠0）

都是无理数。

下面着重介绍实数无理性的判定方法。

在现行初中数学范围内所遇到的无理数主要有这样几种类型：与开方运算

有关，如，；与对数值有关，如log

2

3；与三角函数值有关，如cos20°，2311

sin1°；此外还有象e（自然对数的底）、π（圆周率）这样的特殊值。

判定实数无理性的方法很多，但都有一个共同的特点，即采用反证法的技

巧。原因有二：第一、无理数的概念通常以“不是有理数的实数称为无理数”

这一否定方式给出的；第二、当反设要判定的实数α不是无理数时，由有理数

和无理数的关系，α就是有理数，故α=（n≠0），于是就得到一个具体的

n

m

等式，这为我们导出矛盾提供了一个直观的工具。下面我们介绍几种常见的初

等方法，主要适用于前三类无理数的判定。

一、利用整数的性质

2

整数特别是整数的奇偶性在判定实数的无理性方面起着重要的作用。

例1求证：是无理数。6

证明：反证法。设是有理数，则=（为既约分数）。将两边平66

n

m

n

m

方并整理，得

6n2=m2，（1）

由于6n2是偶数，因此m2是偶数，从而m是偶数，设m=2k，代入（1）

式，得

6n2=4k2，（2）

化简得3n2=2k2。同理3n2也是偶数，而3是奇数，所以n是偶数。这与原假设

为既约分数矛盾。故是无理数。

n

m

6

请证明：+是无理数。23

二、利用算术基本定理

算术基本定理是数论中的重要定理，它不仅在数论而且在其它数学问题中

都有着广泛的应用。有时它也被称作整数的唯一分解定理，内容如下：

对于任意的自然数N（N≠0，1），它总可以唯一地分解成一些质数相乘的

形式。即N=p

1

p

2

…p

s

，其中p

1

、p

2

、…、p

s

都是质数，并且

p

1

≤p

2

≤…≤p

s

。

例2求证：是无理数。2

证明：反证法。设是有理数，则=（其中m和n都是自然数）。22

n

m

将两边平方并整理，得

2n2=m2。（1）

由于m和n都是自然数，则根据算术基本定理，它们都可以分解为质数的

乘积，设m=p

1

p

2

…p

s

，n=q

1

q

2

…q

t

其中每一个p和q都是质数。代入（1）式，得

2（q

1

q

2

…q

t

）2=（p

1

p

2

…p

s

）2，（2）

由于2也是质数，故（2）式的左右两边均是一些质数的乘积，并且结果都

是自然数，既然相等，那么左右两边质数个数应该相同。但这是不可能的，因

为（2）式左边共有2t+1个质数，而右边却是2s个质数，奇数不可能等偶数。

说明我们假设是有理数是错误的。故是无理数。22

从以上的证明过程可以发现，2的作用就在于它是一个质数，这样可以推

想：对于任意的质数p，

p

都是无理数。

与根式有关的无理数还有很多，基本上都有可以利用算术基本定理解决。

下面的两个问题更具有一般性。

3

问题1若n，N均是自然数（n≠0，1），而且不是整数，则是无nNnN

理数。

问题2幂函数y=（n＞1的自然数），当x取无理数时，y值必为无理nx

数；而仅当x表成既约正分数的分子和分母均是整数的n次完全乘方数时，y

值才是有理数。

请证明：是无理数。10

例3求证：log

2

21是无理数。

证明：反证法。设log

2

21是有理数，即log

2

21=（其中m和n都是自然

n

m

数）。由对数定义，得

=21，n

m

2

两边n次方，得

2m=21n，由于21=3·7，则

2m=3n·7n。显然这个等式是不能成立的，因为2，3，7都是质数，这样等

式左右两边出现的质因数不相同，这与算术基本定理矛盾。故log

2

21是无理数。

关于对数值的无理性有以下结果：设a，b均为正整数，并且其中之一包含

的某个质因数不为另一个所包含，则log

a

b是无理数。

三、利用整系数方程有理根的性质

在一元多项式方程的理论中，有一个关于整系数一元方程是否有有理根的

重要定理，即

设一元k次方程为

n

0

xk+n

1

xk-1+…+n

k-1

x+n

k

=0（*）

其中n

0

，n

1

，…n

k-1

，n

k

均是整数，这样的方程称为整系数方程。如果

n

m

（n≠0）是方程（*）的一个有理数根，则

（1）m一定是n

k

的约数；

（2）n一定是n

0

的约数。

在利用这个定理判定实数α的无理性时，需有以下三个步骤：

（1）构造一个整系数多项式方程，使得α是它的根；

（2）求出n

0

和n

k

的所有因数，只有它们的组合才能是方程的有理根；

（3）检验这些组合是否为方程的根，于是或者方程没有有理数根，而α

是方程的根，故α为无理数；或者方程有有理数根，但经比较这些有理根都与

α不相等，从而α为无理数。

例4求证：cos20°是无理数。

证明：讨论三角函数值的无理性时，三角函数公式起着非常重要的作用。

首先注意到余弦函数的三倍角公式，即cos3θ=4cos3θ-3cosθ，将

θ=20°代入公式，有

4

cos60°=4cos320°-3cos20°，由于cos60°=，则有

2

1

=4cos320°-3cos20°，整理，得

2

1

8cos320°-6cos20°-1=0，（1）

这说明cos20°是整系数方程8x3-6x-1=0的根。由定理方程（1）若有有理

根，则m一定是-1的因数，n是8的因数，从而只可能是±1，±，±

n

m

n

m

2

1

，±，逐一检验可知，它们均不满足方程（1），故方程（1）只可能有无理

4

1

8

1

根，即cos20°是无理数。

请证明：-是无理数。323

四、利用“有理数不等于无理数”这一基本性质

例5设m和n是两个正有理数，并且和都是无理数。求证：+mnm

是无理数。n

证明：首先我们知道有

（+）（-）=m-n（1）mnmn

和（+）+（-）=2（2）mnmnm

设+是有理数。则由（1）式，得mn

-=，由于+是有理数，m-n也是有理数，则根mn

nm

nm





mn

据有理数的性质，-也必是有理数；进一步由（2）式，得mn

（+）+（-）=2是有理数，这显然与已知是无理mnmnmm

数矛盾。故+是无理数。mn

由以上证明可以看出：+和-的有理性无理性是相同的。作mnmn

为特例有+和-都是无理数。2323

一般地，请证明：++…+（n是大于1的自然数）是无理数。23n

例6求证：若有有理数a，b，c使得

a+b+c=0（1）23

5

成立，则a=b=c=0。

证明：反证法。分情况讨论如下：

i)a，b，c中只有一个不为0。

当a≠0，b=c=0时，有a=0，矛盾；

当b≠0，a=c=0时，有b=0，矛盾；2

当c≠0，a=b=0时，有c=0，矛盾。3

ii)a，b，c中恰有两个不为0。

当a=0，b，c≠0时，有有理数=-，易证-是无理数，矛盾；

b

c

3

2

3

2

当b=0，a，c≠0时，有有理数=-，矛盾；

c

a

3

当c=0，a，b≠0时，有有理数=-，矛盾。

b

a

2

iii)a，b，c全不为0。那么（1）式可变形为

a+b=-c（2）23

将（2）式两边平方，得

（a+b）2=（-c）2，23

整理为

a2+2ab+2b2=3c2,2

将用a，b，c表示，有2

=（3）2

ab

bac

2

23222

（3）式左边是一个无理数；由于a，b，c均为不为0的有理数，从而右边是一

个有理数，出现“无理数=有理数”的情形，矛盾。

综上述，待证结论正确。

作为结束，我们再给出一个是无理数的例子。

例7求证：无限小数A=0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次

加1）是无理数。

证明：反证法。若A是有理数，则它必是无限循环小数。设其循环节的长

度为t，显然t≠1。一方面，根据A的构造，102t+1一定出现在A的某一位置上，

即在A中有一个包含2t+1个0的片断，而在这个片断中至少包含一个循环节。

而另一方面，A的循环节内不可能每个数字都是0。此矛盾说明A是一个无理

数。

一般地，可证明：无限小数(a，b，c为数字，



bccbccbcbaA

cscs个个121

.





b≠c，s为大于0的自然数，相邻两个b之间c的个数逐次加s)是无理数。

6

请证明：无限小数B=0.111213…（小数部分由相继的正整数组

成）是无理数。

最后请论证sin1°也是无理数。