通解怎么求

.

.

第六节二阶常系数齐次线性微分方程

教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐

次线性微分方程的解法

教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法

教学过程：

一、二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程方程

ypyqy0

称为二阶常系数齐次线性微分方程其中p、q均为常数

如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解那么yC1y1C2y2就是它的通

解

我们看看能否适当选取r使yerx满足二阶常系数齐次线性微分方程为此将yerx代入

方程

ypyqy0

得

(r2prq)erx0

由此可见只要r满足代数方程r2prq0函数yerx就是微分方程的解

特征方程方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程特征方程的两个根r1、r2

可用公式

2

42

2,1

qpp

r





求出

特征方程的根与通解的关系

(1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时函数

xrey1

1

、xrey2

2

是方程的两个线性无关的

解

这是因为

函数

xrey1

1

、xrey2

2

是方程的解又xrr

xr

xr

e

e

e

y

y

)(

2

1

21

2

1不是常数

因此方程的通解为

xrxreCeCy21

21



(2)特征方程有两个相等的实根r1r2时函数

xrey1

1

、xrxey1

2

是二阶常系数齐次线性微分

.

.

方程的两个线性无关的解

这是因为

xrey1

1

是方程的解又

xrxrxrxrxrxrqxeexrpexrrxeqxepxe111111)1()2()()()(

1

2

11









0)()2(

1

2

11

11qprrxeprexrxr

所以

xrxey1

2

也是方程的解且x

e

xe

y

y

xr

xr



1

1

1

2

不是常数

因此方程的通解为

xrxrxeCeCy11

21



(3)特征方程有一对共轭复根r1,2i时函数ye(i)x、ye(i)x是微分方程的两个线性无

关的复数形式的解函数yexcosx、yexsinx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解

函数y1e(i)x和y2e(i)x都是方程的解而由欧拉公式得

y1e(i)xex(cosxisinx)

y2e(i)xex(cosxisinx)

y1y22excosx)(

2

1

cos

21

yyxex



y1y22iexsinx)(

2

1

sin

21

yy

i

xex



故excosx、y2exsinx也是方程解

可以验证y1excosx、y2exsinx是方程的线性无关解

因此方程的通解为

yex(C1cosxC2sinx)

求二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0的通解的步骤为

第一步写出微分方程的特征方程

r2prq0

第二步求出特征方程的两个根r1、r2

第三步根据特征方程的两个根的不同情况写出微分方程的通解

例1求微分方程y2y3y0的通解

解所给微分方程的特征方程为

r22r30即(r1)(r3)0

其根r11r23是两个不相等的实根因此所求通解为

yC1exC2e3x

例2求方程y2yy0满足初始条件y|x04、y|x02的特解

.

.

解所给方程的特征方程为

r22r10即(r1)20

其根r1r21是两个相等的实根因此所给微分方程的通解为

y(C1C2x)ex

将条件y|x04代入通解得C14从而

y(4C2x)ex

将上式对x求导得

y(C24C2x)ex

再把条件y|x02代入上式得C22于是所求特解为

x(42x)ex

例3求微分方程y2y5y0的通解

解所给方程的特征方程为

r22r50

特征方程的根为r112ir212i是一对共轭复根

因此所求通解为

yex(C1cos2xC2sin2x)

n阶常系数齐次线性微分方程方程

y(n)p1y(n1)p2y(n2)pn1ypny0

称为n阶常系数齐次线性微分方程其中p1p2pn1pn都是常数

二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式可推广到n阶常系数齐次

线性微分方程上去

引入微分算子D及微分算子的n次多项式

L(D)=Dnp1Dn1p2Dn2pn1Dpn

则n阶常系数齐次线性微分方程可记作

(Dnp1Dn1p2Dn2pn1Dpn)y0或L(D)y0

注D叫做微分算子D0yyDyyD2yyD3yyDnyy(n)

分析令yerx则

L(D)yL(D)erx(rnp1rn1p2rn2pn1rpn)erxL(r)erx

因此如果r是多项式L(r)的根则yerx是微分方程L(D)y0的解

n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程

L(r)rnp1rn1p2rn2pn1rpn0

称为微分方程L(D)y0的特征方程

特征方程的根与通解中项的对应

单实根r对应于一项Cerx

.

.

一对单复根r12i对应于两项ex(C1cosxC2sinx)

k重实根r对应于k项erx(C1C2xCkxk1)

一对k重复根r12i对应于2k项

ex[(C1C2xCkxk1)cosx(D1D2xDkxk1)sinx]

例4求方程y(4)2y5y0的通解

解这里的特征方程为

r42r35r20即r2(r22r5)0

它的根是r1r20和r3412i

因此所给微分方程的通解为

yC1C2xex(C3cos2xC4sin2x)

例5求方程y(4)4y0的通解其中0

解这里的特征方程为

r440

它的根为)1(

22,1

ir



)1(

24,3

ir





因此所给微分方程的通解为

)

2

sin

2

cos(

21

2xCxCey

x



)

2

sin

2

cos(

43

2xCxCe

x









二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介

二阶常系数非齐次线性微分方程方程

ypyqyf(x)

称为二阶常系数非齐次线性微分方程其中p、q是常数

二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程

的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个特解yy*(x)之和

yY(x)y*(x)

当f(x)为两种特殊形式时方程的特解的求法

一、f(x)Pm(x)ex型

当f(x)Pm(x)ex时可以猜想方程的特解也应具有这种形式因此设特解形式为

y*Q(x)ex将其代入方程得等式

Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)

(1)如果不是特征方程r2prq0的根则2pq0要使上式成立Q(x)应设为m次多

项式

Qm(x)b0xmb1xm1bm1xbm

通过比较等式两边同次项系数可确定b0b1bm并得所求特解

.

.

y*Qm(x)ex

(2)如果是特征方程r2prq0的单根则2pq0但2p0要使等式

Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)

成立Q(x)应设为m1次多项式

Q(x)xQm(x)

Qm(x)b0xmb1xm1bm1xbm

通过比较等式两边同次项系数可确定b0b1bm并得所求特解

y*xQm(x)ex

(3)如果是特征方程r2prq0的二重根则2pq02p0要使等式

Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)

成立Q(x)应设为m2次多项式

Q(x)x2Qm(x)

Qm(x)b0xmb1xm1bm1xbm

通过比较等式两边同次项系数可确定b0b1bm并得所求特解

y*x2Qm(x)ex

综上所述我们有如下结论如果f(x)Pm(x)ex则二阶常系数非齐次线性微分方程

ypyqyf(x)有形如

y*xkQm(x)ex

的特解其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或

是特征方程的的重根依次取为0、1或2

例1求微分方程y2y3y3x1的一个特解

解这是二阶常系数非齐次线性微分方程且函数f(x)是Pm(x)ex型(其中Pm(x)3x10)

与所给方程对应的齐次方程为

y2y3y0

它的特征方程为

r22r30

由于这里0不是特征方程的根所以应设特解为

y*b0xb1

把它代入所给方程得

3b0x2b03b13x1

比较两端x同次幂的系数得











132

33

10

0

bb

b

3b032b03b11

.

.

由此求得b01

3

1

1

b于是求得所给方程的一个特解为

3

1

*xy

例2求微分方程y5y6yxe2x的通解

解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程且f(x)是Pm(x)ex型(其中Pm(x)x2)

与所给方程对应的齐次方程为

y5y6y0

它的特征方程为

r25r60

特征方程有两个实根r12r23于是所给方程对应的齐次方程的通解为

YC1e2xC2e3x

由于2是特征方程的单根所以应设方程的特解为

y*x(b0xb1)e2x

把它代入所给方程得

2b0x2b0b1x

比较两端x同次幂的系数得











02

12

10

0

bb

b

2b012b0b10

由此求得

2

1

0

bb11于是求得所给方程的一个特解为

xexxy2)1

2

1

(*

从而所给方程的通解为

xxxexxeCeCy223

2

2

1

)2(

2

1



提示

y*x(b0xb1)e2x(b0x2b1x)e2x

[(b0x2b1x)e2x][(2b0xb1)(b0x2b1x)2]e2x

[(b0x2b1x)e2x][2b02(2b0xb1)2(b0x2b1x)22]e2x

y*5y*6y*[(b0x2b1x)e2x]5[(b0x2b1x)e2x]6[(b0x2b1x)e2x]

[2b02(2b0xb1)2(b0x2b1x)22]e2x5[(2b0xb1)(b0x2b1x)2]e2x6(b0x2b1x)e2x

[2b04(2b0xb1)5(2b0xb1)]e2x[2b0x2b0b1]e2x

.

.

方程ypyqyex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]的特解形式

应用欧拉公式可得

ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]

]

2

)(

2

)([

i

ee

xP

ee

xPe

xixi

n

xixi

l

x













xi

nl

xi

nl

exiPxPexiPxP)()()]()([

2

1

)]()([

2

1



xixiexPexP)()()()(

其中)(

2

1

)(iPPxP

nl

)(

2

1

)(iPPxP

nl

而mmax{ln}

设方程ypyqyP(x)e(i)x的特解为y1*xkQm(x)e(i)x

则

)(

1

)(*i

m

kexQxy

必是方程)()(iexPqyypy







的特解

其中k按i不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1

于是方程ypyqyex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]的特解为

xi

m

kxi

m

kexQxexQxy)()()()(*

)sin)(cos()sin)(cos([xixxQxixxQex

mm

xk

xkex[R(1)

m(x)cosxR(2)

m(x)sinx]

综上所述我们有如下结论

如果f(x)ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]则二阶常系数非齐次线性微分方程

ypyqyf(x)

的特解可设为

y*xkex[R(1)

m(x)cosxR(2)

m(x)sinx]

其中R(1)

m(x)、R(2)

m(x)是m次多项式mmax{ln}而k按i(或i)不是特征方程的根或是特

征方程的单根依次取0或1

例3求微分方程yyxcos2x的一个特解

解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程

且f(x)属于ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型(其中02Pl(x)xPn(x)0）

与所给方程对应的齐次方程为

yy0

它的特征方程为

r210

由于这里i2i不是特征方程的根所以应设特解为

y*(axb)cos2x(cxd)sin2x

.

.

把它代入所给方程得

(3ax3b4c)cos2x(3cx3d4a)sin2xxcos2x

比较两端同类项的系数得

3

1

ab0c0

9

4

d

于是求得一个特解为xxxy2sin

9

4

2cos

3

1

*

提示

y*(axb)cos2x(cxd)sin2x

y*acos2x2(axb)sin2xcsin2x2(cxd)cos2x

(2cxa2d)cos2x(2ax2bc)sin2x

y*2ccos2x2(2cxa2d)sin2x2asin2x2(2ax2bc)cos2x

(4ax4b4c)cos2x(4cx4a4d)sin2x

y*y*(3ax3b4c)cos2x(3cx4a3d)sin2x

由



















034

03

043

13

da

c

cb

a

得

3

1

ab0c0

9

4

d