无锡市天一中学

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江苏省无锡市天一中学高一数学理月考试卷含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有

是一个符合题目要求的

1.等差数列{a

n

}的公差，且，则数列{a

n

}的前n项和S

n

取得最大值时的项数n是

（）

A.9B.10C.10和11D.11和12

参考答案：

C

【分析】

利用等差数列性质得到，再判断或是最大值.

【详解】等差数列的公差，且，

根据正负关系：或是最大值

故答案选C

【点睛】本题考查了等差数列的性质，的最大值，将的最大值转化为中项的正负是解题的

关键.

2.已知，，，则，，的大小关系为（）

ABCD

参考答案：

B

略

3.（5分）函数f（x）=|x|﹣cosx在（﹣∞，+∞）内（）

A．没有零点B．有且仅有一个零点

C．有且仅有两个零点D．有无究多个零点

参考答案：

C

考点：函数的零点．

专题：函数的性质及应用．

分析：函数f（x）=|x|﹣cosx的零点个数可转化为函数y=|x|与y=cosx的图象交点的个数．结合它

们的图象特征即可作出判断．

解答：函数f（x）=|x|﹣cosx的零点个数，即方程|x|﹣cosx=0的根的个数，也即函数y=|x|与

y=cosx的图象交点的个数．

当0≤x≤时，y=|x|=x从0递增到，y=cosx从1递减到0，所以两函数图象在上只有一个交

点，

当x＞时，y=|x|=x＞＞1，y=cosx≤1，所以两函数图象在（，+∞）上没有交点，

所以y=|x|与y=cosx的图象在上也只有一个交点，

综上，函数y=|x|与y=cosx的图象交点的个数是2，

故函数f（x）=|x|﹣cosx的零点个数为2．

故选C．

点评：本题考查函数的零点问题，即相应方程根的问题，注意体会转化思想与数形结合思想在本题中

的运用．

4.函数的部分图象如图所示，若，

且，则（）

A.B.C.D.1

参考答案：

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C

根据题意，函数中，，

周期，所以，

又函数图像过点，即，

又，所以，所以，

所以，即图中最高点的坐标为，

又且，

所以，

所以.

5.若直线与曲线有两个公共点，则实数m的取值范围是（）

A.B.

C.D.

参考答案：

B

【分析】

由于曲线表示原点为圆心，半径为2的半圆，根据题意画出图形，找出两个特殊的位置：1.直线

y=x+m与半圆相切；2.直线y=x+m过点(2,0)，当直线与半圆相切时，利用点到直线的距离公式表示圆

心到直线的距离d，让d等于半径列出关于m的方程，求出m的值，写出满足题意的m的范围即可.

【详解】由，得到，

如图，

当直线与圆相切时，

因此：若直线与圆有两个公共点，则实数的取值范围是：

.

故选：B

【点睛】本题考查了直线和半圆的位置关系，考查了学生转化与划归，数形结合的能力，属于中档题.

6.若函数在处取最小值，则等于（）

A.3B.C.D.4

参考答案：

A

【分析】

将函数的解析式配凑为，再利用基本不等式求出该函数的最小

值，利用等号成立得出相应的值，可得出的值.

【详解】当时，，则

，

当且仅当时，即当时，等号成立，因此，，故选：A.

【点睛】本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、

二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.

7.设全集，，，则()

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A．B．C．D．

参考答案：

B

略

8.已知直线m、n与平面、，给出下列三个命题：

①若m∥，n∥，则m∥n；②若m∥，n⊥，则n⊥m；③若m⊥，m∥，则

⊥．其中真命题的个数是（）

A．0B．1C．2

D．3

参考答案：

C

9.已知点，点E是圆上的动点，点F是圆上的动

点，则的最大值为（）

A.2B.C.3D.4

参考答案：

D

【分析】

由于两圆不在直线的同侧，先做出圆关于直线对称的圆，把转化为，若

最大，必须最大，最小.

【详解】如图：

依题意得点在直线上，

点关于直线对称的点,

点在圆关于直线对称的圆上，

则，设圆的圆心为，

因为，，

所以，当

五点共线，在线段上，在线段上时“=”成立.

因此，的最大值为4.

【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，距离和差的最值问题对称变换是常

采用的方法.

10.已知等差数列的公差为，若，和成等比数列，则可以等于（）．

A．B．C．

D．

参考答案：

C

【考点】8F：等差数列的性质．

【分析】依题意，，可求得．

【解答】解：∵等差数列的公差，，和成等比数列，

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∴，

∴，∴，

故选：．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分

11.对于任意实数，符号[]表示的整数部分，即[]是不超过的最大整数，例如[2]=2；

[]=2；[]=,这个函数[]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应

用。那么的值为

A．21B．34C．35D．38

参考答案：

D

12.用列举法表示为_________________.

参考答案：

略

13.在△ABC中，若，则角B的值为___________.

参考答案：

14.如图所示，正方体ABCD-A

1

B

1

C

1

D

1

的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则

下列结论中正确的是．

①EF∥平面ABCD；

②平面平面；

③三棱锥的体积为定值；

④存在某个位置使得异面直线AE与BF成角30°.

参考答案：

①②③④

由正方体ABCD﹣A

1

B

1

C

1

D

1

的棱长为1，线段B

1

D

1

上有两个动点E、F，且EF=，知：

在①中，由EF∥BD，且EF?平面ABCD，BD?平面ABCD，得EF∥平面ABCD，故①正确；

在②中，连接BD，由AC⊥BD，AC⊥DD

1

，可知AC⊥面BDD

1

B

1

，

而BE?面BDD

1

B

1

，BF?面BDD

1

B

1

，∴AC⊥平面BEF，

∵AC?平面ACF，∴面ACF⊥平面BEF，故②正确；

在③中，三棱锥E﹣ABF的体积与三棱锥A﹣BEF的体积相等，

三棱锥A﹣BEF的底面积和高都是定值，故三棱锥E﹣ABF的体积为定值，故③正确；

在④中，令上底面中心为O，当E与D

1

重合时，此时点F与O重合，

则两异面直线所成的角是∠OBC

1

，可求解∠OBC

1

=300，

故存在某个位置使得异面直线AE与BF成角30°，故④正确．

故答案为：①②③④.

15.若,，且与的夹角为，则。

参考答案：

解析：

16.已知集合A={(x,y)|x

2

+y

2

=1}，集合B={(x,y)|x+y+a=0}，若A∩B≠的概率为1，则a的取

值范围是____________.

参考答案：

[-，].

略

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17.经过原点并且与直线x+y﹣2=0相切于点（2，0）的圆的标准方程是．

参考答案：

（x﹣1）2+（y+1）2=2

【考点】圆的切线方程．

【分析】设出圆心坐标与半径，根据题意列出方程组，解方程组求出圆心与半径即可．

【解答】解：设圆心的坐标为（a，b），

则a2+b2=r2①，（a﹣2）2+b2=r2②，=1③；

由①②③组成方程组，解得：

a=1，b=﹣1，r2=2；

故所求圆的标准方程是（x﹣1）2+（y+1）2=2．

故答案为（x﹣1）2+（y+1）2=2．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

18.在中，分别是角的对边，且.

（1）求的大小；

（2）若，求的面积。

参考答案：

（Ⅰ）;（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）已知等式括号中利用同角三角函数间基本关系切化弦,去括号后利用两角和与差的余

弦函数公式化简,再由诱导公式变形求出的值,即可确定出的大小;

（Ⅱ）由的值,利用余弦定理列出关系式,再利用完全平方公式变形,将以及的值代入求

出ac的值,再由的值,利用三角形面积公式即可求出面积.

试题解析：

（Ⅰ）由，

得.

∴.

∴.

∴.

又，

∴.

（Ⅱ）由，得，

又，

∴.

∴.

19.（19）（本小题满分12分）P是平行四边形ABCD外的一点，Q是PA的中点，求证：

PC∥平面BDQ．

参考答案：

证明：如图，连结AC交BD于O

∵ABCD是平行四边形，

∴AO＝OC

连结OQ，则OQ平面BDQ，

且OQ是△APC的中位线

∴PC∥OQ，又PC在平面BDQ外

∴PC∥平面BDQ．

略

20.（8分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．

（1）所取的2道题都是甲类题的概率；

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（2）所取的2道题不是同一类题的概率．

参考答案：

考点：古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

专题：概率与统计．

分析：（1）根据题意，设事件A为“都是甲类题”，由组合数原理，可得试验结果总数与A包含的

基本事件数目，由古典概率公式计算可得答案，

（2）设事件B为“所取的2道题不是同一类题”，分析可得是组合问题，由组合公式，可得从6件

中抽取2道的情况数目与抽出的2道是一个甲类题，一个乙类题的情况数目，由古典概率公式计算可

得答案．

解答：（1）从中任取2道题解答，试验结果有=15种；

设事件A为“所取的2道题都是甲类题”，则包含的基本事件共有C=6种，

因此，P（A）=．

（2）设事件B为“所取的2道题不是同一类题”，

从6件中抽取2道，有C6

2种情况，

而抽出的2道是一个甲类题，一个乙类题的情况数目，有C4

1?C2

1=8种情况，

根据古典概型的计算，有P（B）=．

点评：本题考查组合的运用以及古典概型的概率的计算，属于基础题．

21.设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，并且满足下面三个条件：

①对任意正数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；

②当x＞1时，f（x）＞0；

③f（3）=1，

（1）求f（1），的值；

（2）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上单调性，并用定义给出证明；

（3）对于定义域内的任意实数x，f（kx）+f（4﹣x）＜2（k为常数，且k＞0）恒成立，求正实数k

的取值范围．

参考答案：

【考点】抽象函数及其应用．

【分析】（1）利用赋值法即可求f（1），的值；

（2）根据函数单调性的定义即可判断函数f（x）在区间（0，+∞）上单调性；

（3）根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．

【解答】解：（1）令x=y=1，得f（1）=0，令x=3，，

则，所以…

（2）函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，证明如下

任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）=，

因为x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则，又x＞1时，f（x）＞0，

所以，即f（x1）＜f（x2），

函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．…

（3）f（9）=f（3）+f（3）=2，…

由（2）知函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增

不等式f（kx）+f（4﹣x）＜2可化为f（kx（4﹣x））＜f（9），因为k＞0

不等式故可化为，

由题可得，0＜x＜4时，kx（4﹣x）＜9恒成立，…

即0＜x＜4时，恒成立，0＜x＜4，y=x（4﹣x）∈（0，4]，

所以

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所以…

22.函数f（x）=的图象如图所示．

（Ⅰ）求f（x）的解析式

（Ⅱ）若f（t）=3，求t的值．

参考答案：

【考点】分段函数的应用；函数解析式的求解及常用方法．

【专题】计算题；数形结合；综合法；函数的性质及应用．

【分析】（Ⅰ）分段利用解析式，代入点的坐标，即可求f（x）的解析式

（Ⅱ）若f（t）=3，利用分段函数求t的值．

【解答】解：（Ⅰ）当x≤0时，f（x）=ax+b，

由f（﹣1）=0，f（0）=﹣3，可得a=b=﹣3；

当x＞0时，f（x）=logc（x+），

由f（0）=﹣3，可得logc（0+）=﹣3，∴c=2

∴f（x）=；

（Ⅱ）t≤0时，f（t）=﹣3t﹣3=3，∴t=﹣2；

t＞0时，f（t）=log2（t+）=3，∴t=，

综上所述，t的值为﹣2或．

【点评】本题考查分段函数，考查学生的计算能力，正确求出参数是关键．