正65537边形

漫谈正多边形的尺规作图

作者：***

来源：《新高考·数学基础》2019年第01期

如何精确地作出正多边形呢？这是一个古老的几何问题.早在古希腊时代，人们就知道可

以用不带刻度的直尺和圆规（尺规作图）作出几种正多边形.大家知道复杂的尺规作图都是由

一些基本作图构成的，我们先一起探讨正四边形（正方形）的尺规作图的方法.

正方形该如何尺规作图呢？如图1所示，画圆○，作半径OA，以A为同心，OA为半径画

圆，交于B，C两点，连结OA与BC交于点D，以D为圆心，OD为半径画圆交BC于E，F

两点，则四边形OFAE为正方形，证明也较容易，

从上面的过程我们发现正方形的尺规作图还是比较容易的，但有关正五边形的尺规作图人

们经历了一段探索过程.下面我们介绍正五边形的一种尺规作图方法：

（l）设○是待作的正五边形的中心，P，是一个顶点，以○为圆心、○P1为半径作网，它

就是正五边形的外接圆，作直径AB垂直OP

1

：

（2）以OB的中点M为圆心，MP

1

为半径作圆，交OA于C点;

（3）以P

1

为同心，CP

1

为半径作圆，交外接圆于点P

2

，P

5

，它们就是正五边形的另两个

顶点.

（4）以P

2

为同心作同半径的圆，交外接网于另一点P

3

，再以P

3

。为圆心作同半径的圆，

交外接圆于另一点P

41

，顺次连结P

1

P

2

P

3

P

4

P

5

，即得正五边形.

历史上，用尺规作图作正偶数边形如2n，3×2n，5×2n等正多边形并非难事，但对边数为奇

数如7，9，11，13，15等的正多边形作图，在当时是件困难的事，而且并非都可以作图成功.

直到1796年，当时还是年仅19岁的大学二年级的高斯证明了正十七边形是可以用直尺和

圆规作出的，这一发现震惊了当时的数学界，后来在1825年由费马给出并证明了正奇数边形

的边数只有是费马素数或不同的费马素数乘积才可以尺规作图（费马素数是指形如F（n）

=22n+1的素数，其中n为非负整数）.

根据这个结论，对于我们早已掌握具體作图的正三边形、正五边形，现在还知道了它们为

什么能用尺规作图，就因为3和5都是费马素数（3=F（0），5=F（1））;对于很久以来未找

到办法来作出的正七边形，乃至于正十一边形、正十三边形，现在我们能有把握地说，它们不

可能通过尺规作图作出，因为7，11，13都不是费马素数.

下面来点难度高的，对于正n边形，n=257，65537时，即使我们不知道具体如何作图，

从理论上我们已经知道它们是可尺规作图的！

正多边形是美妙的图形，正多边形的尺规作图蕴含了丰富的数学知识，同学们不妨多多发

挥自己的聪明才智，在几何图形的“精彩世界”里尽情遨游！