1函数、极限、连续
一.填空题
1.已知,__________)(,1)]([,sin)(2xxxfxxf则定义域为___________.
解.
21)(sin)]([xxxf,)1arcsin()(2xx
1112x,2||,202xx
2．设
a
t
ax
x
dtte
x
x1
lim,则a=________.
解.可得
a
tadttee=
aatteae
a
ete
)(,所以a=2.
3.
nnn
n
nnnnn
2222
2
1
1
lim=________.
解.
nnn
n
nnnnnn
222
21
<
nnn
n
nnnn
2222
2
1
1
<
11
2
1
1
222
nn
n
nnnn
所以
nnn
n
2
21
<
nnn
n
nnnn
2222
2
1
1
<
1
21
2
nn
n
2
1
2
)1(
21
22
nnn
nn
nnn
n
,(n)
2
1
1
2
)1(
1
21
22
nn
nn
nn
n
,(n)
所以
nnn
n
nnnnn
2222
2
1
1
lim=
2
1
4.已知函数
0
1
)(xf
1||
1||
x
x
,则f[f(x)]_______.
解.f[f(x)]=1.
5.)3(limnnnn
n
=_______.
解.
nnnn
nnnnnnnn
nnnn
nn
3
)3)(3(
lim)3(lim
=2
3
3
lim
nnnn
nnnn
n
6.设当x
bx
ax
exfxx为时
1
1
)(,0的3阶无穷小,则.___________,ba
解.
3
0
3
0
3
0
1
lim
)1(
1
lim
1
1
lim
x
axbxee
bxx
axbxee
x
bx
ax
e
k
xx
x
xx
x
x
x
2
03
lim
x
abxebeexxx
x
(1)
2
06
2
lim
x
bxebeexxx
x
(2)
由(1):01)(lim
0
ababxebeexxx
x
由(2):021)2(lim
0
bbxebeexxx
x
2
1
,
2
1
ab
7.
xx
x
x
1
sin
1
cotlim
0
=______.
解.
6
1
6
sin
lim
3
cos1
lim
sin
lim
sin
sin
sin
cos
lim
0
2
0
3
00
x
x
x
x
x
xx
xx
xx
x
x
xxxx
8.已知A
nn
n
kk
n
)1(
lim
1990
(0),则A=______,k=_______.
解.A
kn
n
nn
n
k
n
kk
n
1
19901990
lim
)1(
lim
所以k－1=1990,k=1991;
1991
111
k
AA
k
，
二.选择题
1.设f(x)和(x)在(－,+)内有定义,f(x)为连续函数,且f(x)0,(x)有间断点,则
(a)[f(x)]必有间断点(b)[(x)]2必有间断点(c)f[(x)]必有间断点(d)
)(
)(
xf
x
必有间断点
解.(a)反例
0
1
)(x
1||
1||
x
x
,f(x)=1,则[f(x)]=1
(b)反例
1
1
)(x
1||
1||
x
x
,[(x)]2=1
(c)反例
0
1
)(x
1||
1||
x
x
,f(x)=1,则f[(x)]=1
(d)反设g(x)=
)(
)(
xf
x
在(－,+)内连续,则(x)=g(x)f(x)在(－,+)内连续,矛盾.所以(d)是答案.
2.设函数
xexxxfsintan)(,则f(x)是
(a)偶函数(b)无界函数(c)周期函数(d)单调函数
解.(b)是答案.
3.函数
2)2)(1(
)2sin(||
)(
xxx
xx
xf在下列哪个区间内有界
(a)(－1,0)(b)(0,1)(c)(1,2)(d)(2,3)
解.
4
2sin
)0(,
4
2sin
)0(,)(lim,)(lim
01
ffxfxf
xx
所以在(－1,0)中有界,(a)为答案.
4.当
1
1
2
1
1
,1
xe
x
x
x函数时的极限
(a)等于2(b)等于0(c)为(d)不存在,但不为
解.
010
01
)1(lim
1
1
lim1
1
1
1
1
2
1x
x
exe
x
x
x
x
x
x
.(d)为答案.
5.极限
222222)1(
12
32
5
21
3
lim
nn
n
n
的值是
(a)0(b)1(c)2(d)不存在
解.
222222)1(
12
32
5
21
3
lim
nn
n
n
=1
)1(
1
1lim
)1(
11
3
1
2
1
2
1
1
1
lim
2222222
nnnnn
,所以(b)为答案.
6.设8
)1(
)1()1(
lim
502
595
x
axx
x
,则a的值为
(a)1(b)2(c)
58(d)均不对
解.8=
502
595
)1(
)1()1(
lim
x
axx
x
=
100502
559595
/)1(
/)1(/)1(
lim
xx
xaxxx
x
=
5
502
595
)/11(
)/1()/11(
lima
x
xax
x
,
58a,所以(c)为答案.
7.设
)23(
)5)(4)(3)(2)(1(
lim
x
xxxxx
x
,则,的数值为
(a)=1,=
3
1
(b)=5,=
3
1
(c)=5,=
53
1
(d)均不对
解.(c)为答案.
8.设232)(xxxf,则当x0时
(a)f(x)是x的等价无穷小(b)f(x)是x的同阶但非等价无穷小
(c)f(x)比x较低价无穷小(d)f(x)比x较高价无穷小
解.
x
xx
x
232
lim
0
=3ln2ln
1
3ln32ln2
lim
0
xx
x
,所以(b)为答案.
9.设6
)31)(21)(1(
lim
0
x
axxx
x
,则a的值为
(a)－1(b)1(c)2(d)3
解.0)31)(21)(1(lim
0
axxx
x
,1+a=0,a=－1,所以(a)为答案.
10.设02
)1()21ln(
)cos1(tan
lim22
0
2
ca
edxc
xbxa
x
x
，其中,则必有
(a)b=4d(b)b=－4d(c)a=4c(d)a=－4c
解.2=
)1()21ln(
)cos1(tan
lim
2
0
x
xedxc
xbxa
=
c
a
xde
x
c
xb
x
a
x
x2
2
21
2
sin
cos
lim
2
2
0
,所以a=－4c,所以(d)为答案.
三.计算题
1.求下列极限
(1)
x
x
x
ex
1
)(lim
解.eeeeeexx
x
x
x
x
x
ex
e
x
ex
x
ex
x
x
x
x
1
1
lim
)ln(
lim
)ln(1
lim)(lim
(2)
x
xxx
)
1
cos
2
(sinlim
解.令
x
y
1
y
y
x
x
yy
xx
1
0
)cos2(sinlim)
1
cos
2
(sinlim
=
2
cos2sin
sin2cos2
lim
)cos2ln(sin
lim
00eeeyy
yy
y
yy
yy
(3)
3
1
0sin1
tan1
limx
xx
x
解.
3
1
0sin1
tan1
limx
xx
x3
1
0sin1
sintan
1limx
xx
xx
3)sin1(
sintan
sintan
sin1
0sin1
sintan
1lim
xx
xx
xx
x
xx
xx
=3
0
sintan
lim
x
xx
xe
=3
0
)cos1(sin
lim
x
xx
xe
=
2
1
2
sin2sin
lim
3
2
0eex
x
x
x
.
2.求下列极限
(1)
3
2
3
112arcsin
)11ln(
lim
x
x
x
解.当x1时,
331~)11ln(xx,
3
2
3
212~12arcsinxx.按照等价无穷小代换
3
3
1
3
2
3
1
3
2
3
122
1
12
1
lim
12
1
lim
12arcsin
)11ln(
lim
x
x
x
x
x
xxx
(2)
x
xx
2
2
0
cot
1
lim
解.方法1：
x
xx
2
2
0
cot
1
lim=
x
x
xx
2
2
2
0sin
cos1
lim=
xx
xxx
x
22
222
0sin
cossin
lim
=
4
22
0
cos)1(1
lim
x
xx
x
=
3
22
04
sincos)1(2cos2
lim
x
xxxxx
x
=
3
2
0
3
2
04
sincos2
lim
4
2sincos2
lim
x
xxx
x
xxx
xx
=
2
1
12
2cos2sincos4cos2
lim
2
2
0
x
xxxxx
x
=
2
1
3
1
24
2sin4sincos4
lim
2
1
3
1
12
2cos2cos2
lim
0
2
2
0
x
xxx
x
xx
xx
=
3
2
2
1
3
1
6
1
2
1
3
1
24
2sin2
lim
0
x
x
x
方法2：
x
xx
2
2
0
cot
1
lim=
x
x
xx
2
2
2
0sin
cos1
lim=
xx
xxx
x
22
222
0sin
cossin
lim
=
4
22
0
cos)1(1
lim
x
xx
x
=
4
2
0
)12)(cos1(
2
1
1
lim
x
xx
x
=
4
4
42
2
0
)(0
!4
)2(
!2
)2(
11)(1(
2
1
1
lim
x
x
xx
x
x
=
4
44242
0
))(0
24
16
2222(
2
1
1
lim
x
xxxxx
x
=
3
2
3
2
lim
4
4
0
x
x
x
3.求下列极限
(1))1(
ln
lim
n
n
n
n
n
解.
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
ln
1
lim)1(
ln
lim
xnn1令1
)1ln(
lim
0
x
x
x
(2)
nx
nx
ne
e
1
1
lim
解.
1
0
1
1
1
lim
nx
nx
ne
e
0
0
0
x
x
x
(3)
n
nn
n
ba
2
lim,其中a>0,b>0
解.
n
nn
n
ba
2
limabcnx/,/1x
c
x
x
x
x
xae
c
a
2ln)1ln(
lim
1
0
02
1
lim
=ab
a
b
acaaeaex
x
x
x
x
c
cc
x
c
1
ln
lim
2ln)1ln(
lim
00
4.设
0cos
1
01
0)cos1(
2
)(
0
2
2
xdtt
x
x
xx
x
xf
x
试讨论)(xf在0x处的连续性与可导性.
解.
2
0
2
0
0
2
00
cos
lim
1cos
1
lim
)0()(
lim)0('
x
xdtt
x
dtt
x
x
fxf
f
x
x
x
xx
0
2
2
1
lim
2
1cos
lim
2
0
2
0
x
x
x
x
xx
3
2
0
2
00
)cos1(2
lim
1)cos1(
2
lim
)0()(
lim)0('
x
xx
x
x
x
x
fxf
f
xxx
0
6
)1(cos2
lim
3
2sin2
lim
0
2
0
x
x
x
xx
xx
所以0)0('f,)(xf在0x处连续可导.
5.求下列函数的间断点并判别类型
(1)
12
12
)(
1
1
x
x
xf
解.1
12
12
lim)0(
1
1
0
x
x
x
f,1
12
12
lim)0(
1
1
0
x
x
x
f
所以x=0为第一类间断点.
(2)
1
1
sin
cos2
)2(
)(
2x
x
xx
xf
0
0
x
x
解.f(+0)=－sin1,f(－0)=0.所以x=0为第一类跳跃间断点;
1
1
sinlim)(lim
2
11
x
xf
xx
不存在.所以x=1为第二类间断点;
)
2
(
f不存在,而
2cos2
)2(
lim
2
x
xx
x
,所以x=0为第一类可去间断点;
x
xx
kx
cos2
)2(
lim
2
,(k=1,2,…)所以x=
2
k为第二类无穷间断点.
6.讨论函数
xe
x
x
xf
1
sin
)(
0
0
x
x
在x=0处的连续性.
解.当0时)
1
sin(lim
0x
x
x
不存在,所以x=0为第二类间断点;
当0,0)
1
sin(lim
0
x
x
x
,所以
1时,在x=0连续,1时,x=0为第一类跳跃间断点.
7.设f(x)在[a,b]上连续,且a
n
n
ccc
cxfcxfc
f
21
2211
)()(
)(.
证明:令M=)}({max
1
i
ni
xf
,m=)}({min
1
i
ni
xf
所以m
n
n
ccc
cxfcxfc
21
2211
)()(
M
所以存在(a
n
n
ccc
cxfcxfc
f
21
2211
)()(
)(
8.设f(x)在[a,b]上连续,且f(a)
证明:假设F(x)=f(x)－x,则F(a)=f(a)－a<0,F(b)=f(b)－b>0
于是由介值定理在(a,b)内至少存在一个,使f()=.
9.设f(x)在[0,1]上连续,且0f(x)1,试证在[0,1]内至少存在一个,使f()=.
证明:(反证法)反设0)()(],1,0[xxfxx.所以xxfx)()(恒大于0或恒小于0.不妨设
0)()(],1,0[xxfxx.令)(min
10
xm
x
,则0m.
因此mxxfxx)()(],1,0[.于是01)1(mf,矛盾.所以在[0,1]内至少存在一个,使f()=.
10.设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且f(a)
f()=g().
证明:假设F(x)=f(x)－g(x),则F(a)=f(a)－g(a)<0,F(b)=f(b)－g(b)>0
于是由介值定理在(a,b)内至少存在一个,使f()=.
11.证明方程x5－3x－2=0在(1,2)内至少有一个实根.
证明:令F(x)=x5－3x－2,则F(1)=－4<0,F(2)=24>0
所以在(1,2)内至少有一个,满足F()=0.
12.设f(x)在x=0的某领域内二阶可导,且0
)(3sin
lim
23
0
x
xf
x
x
x
,求)0(''),0('),0(fff及
2
0
3)(
lim
x
xf
x
.
解..所以
0)(
3sin
lim
0
xf
x
x
x
.f(x)在x=0的某领域内二阶可导,所以)('),(xfxf在x=0连续.所以f(0)=－3.因为
0
)(
3sin
lim
2
0
x
xf
x
x
x
,所以0
3)(3
3sin
lim
2
0
x
xf
x
x
x
,所以
2
0
3
0
2
0
2
03
3cos33
lim
3sin3
lim
3sin
3
lim
3)(
lim
x
x
x
xx
x
x
x
x
xf
xxxx
=
2
9
2
3sin3
lim
0
x
x
x
0
2
9
0
3)(
lim
3)(
lim
0
)0()(
lim)0('
2
000
x
xf
x
x
xf
x
fxf
f
xxx
由
2
93)(
lim
2
0
x
xf
x
,将f(x)台劳展开,得
2
9
3)(0)0(''
!2
1
)0(')0(
lim
2
22
0
x
xxfxff
x
,所以
2
9
)0(''
2
1
f,于是
9)0(''f.
2导数与微分
一.填空题
1.设)('
3
1
)()(
lim
0
00
0
xf
x
xfxkxf
x
,则k=________.
解.)('
3
1
)()(
lim
0
00
0
xf
xk
xfxkxf
k
x
,所以)('
3
1
)('
00
xfxkf
所以
3
1
k
2.设函数y=y(x)由方程0)cos(xyeyx
确定,则
dx
dy
______.
解.0sin)'()'1(xyxyyyeyx
,所以
xyxe
exyy
y
yx
yx
sin
sin
'
3.已知f(－x)=－f(x),且kxf)('
0
,则)('
0
xf______.
解.由f(－x)=－f(x)得)(')('xfxf,所以)(')('xfxf
所以kxfxf)(')('
00
4.设f(x)可导,则
x
xnxfxmxf
x
)()(
lim00
0
_______.
解.
x
xnxfxfxfxmxf
x
)()()()(
lim0000
0
=
xm
xfxmxf
m
x
)()(
lim00
0
+
xn
xfxnxf
n
x
)()(
lim00
0
=)(')(
0
xfnm
5.
x
x
xf
1
1
)(,则)()(xfn
=_______.
解.
11
1
2)1(
!12)1(
)1(
11
)('
xx
xx
xf,假设
1
)(
)1(
!2)1(
k
k
k
x
k
f,则
11
1
)1(
)1(
)!1(2)1(
k
k
k
x
k
f,所以
1
)(
)1(
!2)1(
n
n
n
x
n
f
6.已知
xx
f
dx
d11
2
,则
2
1
'f_______.
解.
xxx
f
121
'
32
,所以
2
1
'
2
2
x
x
f
.令x2=2,所以1
1
'
2
x
f
7.设f为可导函数,)]}([sinsin{xffy,则
dx
dy
_______.
解.)]}([sincos{)]([sin')(cos)('xffxffxfxf
dx
dy
8.设y=f(x)由方程1)cos(2exyeyx
所确定,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的法线方程为_______.
解.上式二边求导0)sin()'()'2(2xyxyyyeyx
.所以切线斜率
2)0('yk.法线斜率为
2
1
,法线方程为
xy
2
1
1,即x－2y+2=0.
二.选择题
1.已知函数f(x)具有任意阶导数,且
2)]([)('xfxf,则当n为大于2的正整数时,f(x)的n阶导数是
(a)
1)]([!nxfn(b)
1)]([nxfn(c)
nxf2)]([(d)
nxfn2)]([!
解.
3)]([!2)(')(2)(''xfxfxfxf,假设)()(xfk
=
1)]([!kxfk,所以
)()1(xfk
=
2)]([)!1()(')]([!)1(kkxfkxfxfkk,按数学归纳法
)()(xfn
=
1)]([!nxfn对一切正整数成立.(a)是答案.
2.设函数对任意x均满足f(1+x)=af(x),且)0('fb,其中a,b为非零常数,则
(a)f(x)在x=1处不可导(b)f(x)在x=1处可导,且)1('fa
(c)f(x)在x=1处可导,且)1('fb(d)f(x)在x=1处可导,且)1('fab
解.b=
0
)0()(
lim)0('
0
x
fxf
f
x
=)1('
1
)1(
1
)1(
1
lim
0
f
ax
f
a
xf
a
x
,所以)1('fab.(d)是答案
注:因为没有假设)(xf可导,不能对于)()1(xafxf二边求导.
3.设||3)(23xxxxf,则使)0()(nf存在的最高阶导数n为
(a)0(b)1(c)2(d)3
解.
3
3
2
4
)(
x
x
xf
0
0
x
x
.
x
x
xf
12
24
)(''
0
0
x
x
24
024
lim
0
)0('')(''
lim)0('''
00
x
x
x
fxf
f
xx
12
012
lim
0
)0('')(''
lim)0('''
00
x
x
x
fxf
f
xx
所以n=2,(c)是答案.
4.设函数y=f(x)在点x0处可导,当自变量x由x0增加到x0+x时,记y为f(x)的增量,dy为f(x)的微分,
x
dyy
x
0
lim等于
(a)－1(b)0(c)1(d)
解.由微分定义y=dy+o(x),所以0
)(
limlim
00
x
xo
x
dyy
xx
.(b)是答案.
5.设
bax
x
x
xf
1
sin
)(
2
0
0
x
x
在x=0处可导,则
(a)a=1,b=0(b)a=0,b为任意常数(c)a=0,b=0(d)a=1,b为任意常数
解.在x=0处可导一定在x=0处连续,所以
)(lim
1
sinlim
0
2
0
bax
x
x
xx
,所以b=0.
)0(')0('ff,
x
ax
x
x
x
xx
0
2
0
lim
1
sin
lim,所以0=a.(c)是答案.
三.计算题
1.')]310ln[cos(2yxy，求
解.)310tan(6
)310cos(
6)310sin(
'2
2
2
xx
x
xx
y
2.已知f(u)可导,')][ln(2yxaxfy，求
解.'y
22
2
2
2
1
1
)][ln('
xa
x
xax
xaxf
=
2
2)][ln('
xa
xaxf
3.已知
2
00
sincos2
2ytdtdtexy
t,求'y.
解.
22cos'2cos2'2yyyxxyey
2
2
cos2
cos2
'
2yye
xx
y
y
4.设y为x的函数是由方程
x
y
yxarctanln22确定的,求'y.
解.
2
2
2
2222
1
'
2
'22
x
y
x
yxy
yxyx
yyx
yxyyyx'',所以
yx
yx
y
'
四.已知当x0时,f(x)有定义且二阶可导,问a,b,c为何值时
cbxax
xf
xF
2
)(
)(
0
0
x
x
二阶可导.
解.F(x)连续,所以)(lim)(lim
00
xFxF
xx
,所以c=f(－0)=f(0);
因为F(x)二阶可导,所以)('xF连续,所以b=)0(')0('ff
,且
)0('2
)('
)('
fax
xf
xF
0
0
x
x
)0(''F存在,所以)0('')0(''
FF,所以
a
x
ffax
x
fxf
xx
2
)0(')0('2
lim
)0(')('
lim
00
,所以
)0(''
2
1
fa
五.已知)0(
1
)()(
2
2
nf
x
x
xf，求
.
解.
xx
xf
1
1
2
1
1
1
2
1
1)(
11
)(
)1(
)1(
2
1
)1(
!
2
1
)(
n
n
n
n
xx
n
xf
0)0()12(kf,k=0,1,2,…
!)0(2nfk,k=0,1,2,…
六.设xxyln,求)1()(nf.
解.使用莱布尼兹高阶导数公式
1
21)1()()(
)!2(
)1(
)!1(
)1()(ln)(ln)(
n
n
n
nnnn
x
n
n
x
n
xxnxxxf
=
1
2
11
2
1
)!2()1(
)1(
)!2()1(
n
n
nn
n
x
n
x
n
x
n
n
所以)!2()1()1(2)(nfnn
3一元函数积分学(不定积分)
一.求下列不定积分:
1.
dx
x
x
x1
1
ln
1
1
2
解.
dx
x
x
x1
1
ln
1
1
2
c
x
x
x
x
d
x
x
2
1
1
ln
4
1
1
1
ln
1
1
ln
2
1
2.c
x
x
x
x
d
x
x
dx
x
x
x
2
21
1
arctan
2
1
1
1
arctan
1
1
arctan
1
1
arctan
1
1
3.
dx
x
x
x
xx
cos1
sin1
)cos1(
1sincos
2
解.c
x
x
x
x
d
x
x
dx
x
x
x
xx
2
2cos1
sin1
2
1
cos1
sin1
cos1
sin1
cos1
sin1
)cos1(
1sincos
4.
)1(8xx
dx
解.方法一:令
t
x
1
,ct
t
dtt
dt
tt
t
xx
dx
)1ln(
8
1
1
1
11
1
)1(
8
8
7
8
2
8
=c
x
8
1
1ln
8
1
方法二:
dx
xx
x
xx
dxx
xx
dx
)
1
11
(
)1()1(88
7
88
7
8
=cxx
x
xd
x
dx
)1ln(
8
1
||ln
1
)1(
8
1
8
8
8
=c
x
8
1
1ln
8
1
5．dx
xx
xxxx
dx
xx
x
cossin1
2
1
)cos(sin
2
1
)cossin1(
2
1
cossin1
sin1
dx
xx
dx
xx
xx
dx
cossin1
1
2
1
cossin1
sincos
2
1
2
1
dx
xxx
xx
xxd
x
2
cos2
2
cos
2
sin2
1
2
1
cossin1
)cossin1(
2
1
2
1
2
2
tan
1
2
tan
1
2
1
|cossin1|ln
2
1
2
1x
d
x
xxx
c
x
xxx|1
2
tan|ln
2
1
|cossin1|ln
2
1
2
1
二.求下列不定积分:
1.
22)1(22xxx
dx
解.
1)1()1(
)1(
22)1(2222xx
xd
xxx
dx
txtan1令
tt
t
dt
ctan
cos
2
2
=
c
x
xx
c
tt
tdt
1
22
sin
1
sin
cos2
2
2.
241xx
dx
解.令x=tant,
c
ttt
td
t
td
dt
t
t
tt
t
dt
xx
dx
sin
1
sin3
1
sin
sin
sin
sin
sin
cos
ctan
cos
13244
3
4
2
24
=c
x
x
x
x
2
3
211
3
1
3.
221)12(xx
dx
解.令txtan
t
td
dt
tt
t
dt
tt
t
xx
dx
2222
2
22sin1
sin
cossin2
cos
c)1tan2(
c
1)12(
=c
x
x
ct
21
arctansinarctan
4.
22
2
xa
dxx
(a>0)
解.令taxsin
ctatadt
t
a
ta
tdtata
xa
dxx
2sin
4
1
2
1
2
2cos1
cos
cossin
222
22
22
2
=cxa
a
x
a
xa
22
2
2
arcsin
2
5.dxx32)1(
解.令txsin
dt
tt
dt
t
tdtdxx
4
2cos2cos21
4
)2cos1(
cos)1(
22
432
=ctttdtttt4sin
32
1
2sin
4
1
8
3
)4cos1(
8
1
2sin
4
1
4
1
=cttx)2cos
4
1
1(2sin
4
1
arcsin
8
3
=c
t
ttx
)
4
sin214
(cossin2
4
1
arcsin
8
32
=cxxxx)25(1
8
1
arcsin
8
3
22
6.
dx
x
x
4
21
解.令
t
x
1
dtttdt
t
t
t
t
dx
x
x
2
2
4
2
2
4
2
1
1
1
1
1
utsin令uduu2cossin
=c
x
x
cu
3
32
3
3
)1(
cos
3
1
7.
dx
xx
x
1
1
22
解.令tdttdxtxtanc,c
cttdtttdtt
tt
t
dx
xx
x
sin)cos1(tanc
tanc
1c
1
1
2
22
c
x
x
x
11
arccos
2
三.求下列不定积分:
1.
dx
ee
ee
xx
xx
124
3
解.
cee
ee
eed
dx
ee
ee
dx
ee
ee
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
)arctan(
1)(
)(
1122224
3
2.
)41(2xx
dx
解.令
xt2,
2lnt
dt
dx
c
t
t
dt
tttt
dtdx
xx
2ln
arctan
2ln
1
1
11
2ln
1
2ln)1()41(22222
=cxx)2arctan2(
2ln
1
四.求下列不定积分:
1.
dx
x
x
100
5
)2(
解.
dxxx
x
x
xdxdx
x
x
994
99
5
995
100
5
)2(
99
5
)2(99
)2(
99
1
)2(
=
dxxx
x
x
x
x
983
98
4
99
5
)2(
9899
45
)2(9899
5
)2(99
=
96
2
97
3
98
4
99
5
)2(96979899
345
)2(979899
45
)2(9899
5
)2(99
x
x
x
x
x
x
x
x
c
xx
x
9495)2(9596979899
2345
)2(9596979899
2345
2.
41xx
dx
解.
22
2
4
4
4
2
4)(1
2
1
111
1
/1
1t
dt
t
tdt
t
t
t
dt
t
tx
xx
dx
令
c
x
x
cuudu
u
u
ut
2
42
2
1
ln
2
1
|ctan|ln
2
1
c
c
2
1
tan令
五.求下列不定积分:
1.xdxx2cos
解.xxdxdxxxxdxx2sin
4
1
4
1
)2cos1(
2
1
cos22
xdxxxx2sin
4
1
2sin
4
1
4
1
2
cxxxx2cos
8
1
2sin
4
1
4
1
2
2.xdx3c
解.xdxxxxxxxdxdxtanctantanctancc3
=xdxxxxxxdxxxx32c|tanc|lntancc)1(ctanc
cxxxxxdx|tanc|ln
2
1
tanc
2
1
c3
3.dx
x
x
2
3)(ln
解.dx
x
x
x
xx
dxdx
x
x
2
2
33
2
3)(ln3
)(ln
11
)(ln
)(ln
dx
x
x
x
x
x
x
2
23ln6)(ln3)(ln
dx
xx
x
x
x
x
x
2
236ln6)(ln3)(ln
c
xx
x
x
x
x
x
6ln6)(ln3)(ln23
4.dxx)cos(ln
解.dxxxxxdxxxxdxx)cos(ln)]sin(ln)[cos(ln)sin(ln)cos(ln)cos(ln
cxx
x
dxx)]sin(ln)[cos(ln
2
)cos(ln
5.dx
xx
x
x
xddx
xx
x
x
dx
x
x
x
2
sin
8
1
2
sin
8
1
2
sin
8
1
2
cos
2
sin
2
cos
8
1
sin
2
cos
222
33
4
3
4
c
xx
x
x
d
xx
x
2
cot
4
1
2
sin
8
1
22
sin
4
1
2
sin
8
1
222
六.求下列不定积分:
1.
dx
x
xxx
22
2
)1(
)1ln(
解.
2
2
22
2
1
1
)1ln(
2
1
)1(
)1ln(
x
dxxdx
x
xxx
=
dx
x
xx
xx
2
22
2
1
1
1
1
2
1
1
1
)1ln(
2
1
txtan令tdt
ttx
xx
2
22
2
c
c
1
tan1
1
2
1
)1(2
)1ln(
=dt
t
t
x
xx
22
2
sin21
cos
2
1
)1(2
)1ln(
=
t
td
x
xx
22
2
sin21
sin2
22
1
)1(2
)1ln(
=c
t
t
x
xx
sin21
sin21
ln
24
1
)1(2
)1ln(
2
2
=c
xx
xx
x
xx
21
21
ln
24
1
)1(2
)1ln(
2
2
2
2
2.
dx
x
xx
21
arctan
解.
dx
x
x
xxxxddx
x
xx
2
2
22
21
1
arctan11arctan
1
arctan
=cxxxxdx
x
xx
)1ln(arctan1
1
1
arctan122
2
2
3.dx
e
e
x
x
2
arctan
解.dx
e
e
eeedeedx
e
e
x
x
xxxxx
x
x
2
222
212
1
arctan
2
1
arctan
2
1arctan
dx
e
e
ee
x
x
xx
2
2
12
1
arctan
2
1
dx
ee
ee
xx
xx
)1(
1
2
1
arctan
2
1
2
2
cxeeedx
e
e
e
eexxx
x
x
x
xx
)arctanarctan(
2
1
)
1
1
(
2
1
arctan
2
1
2
2
2
七.设
xexx
xx
xf
)32(
3)1ln(
)(
2
2
0
0
x
x
,求dxxf)(.
解.
dxexx
dxxx
dxxf
x)32(
)3)1ln((
)(
2
2
1
2
2222
)14(
3)]1ln([
2
1
)1ln(
2
1
cexx
cxxxxx
x
0
0
x
x
考虑连续性,所以
c=－1+c1,c1=1+c
dxxf)(
cexx
cxxxxx
x1)14(
3)]1ln([
2
1
)1ln(
2
1
2
2222
0
0
x
x
八.设xbxaefxcossin)(',(a,b为不同时为零的常数),求f(x).
解.令txetxln，,)cos(ln)sin(ln)('tbtatf,所以
dxxbxaxf)]cos(ln)sin(ln[)(
=cxabxba
x
)]cos(ln)()sin(ln)[(
2
九.求下列不定积分:
1.dxxxx)32(332
解.
cxddxx
xx
xxxx
3ln
3
)3(3)32(3
3
233
2
22
2.dxxxx)13()523(2
3
2
解.)523()523(
2
1
)13()523(2
2
3
2
2
3
2xxdxxdxxxx
cxx2
5
2)523(
5
1
x
xx
2
2
1
)1ln(
解.
cxxxxdxxdx
x
xx
)1(ln
2
1
)1ln()1ln(
1
)1ln(
2222
2
2
4.
)11ln()11(222xxx
xdx
解.cx
x
xd
xxx
xdx
|)11ln(|ln
)11ln(
)11ln(
)11ln()11(
2
2
2
222
十.求下列不定积分:
1.
dx
x
xx
)1(
arctan
2
解.
122
2222
)1(arctan
2
1
)1(
)1(
arctan
2
1
)1(
arctan
xxdxd
x
x
dx
x
xx
dx
xx
x
xd
xx
x
22222)1(
1
2
1
1
arctan
2
1
arctan
1
1
2
1
1
arctan
2
1
dt
t
x
x
tdt
x
x
tx
2
2cos1
2
1
1
arctan
2
1
cos
2
1
1
arctan
2
1
tan
2
2
2
令
cttx
x
xaex
ctt
x
x
cossin
4
1
arctan
4
1
1
tan
2
1
2sin
8
1
4
1
1
arctan
2
1
22
c
x
x
x
x
xaex
221
4
1
arctan
4
1
1
tan
2
1
2.
dx
x
x
1
arcsin
解.令txt
x
x
2tan,
1
arcsin
则
ctttttdttttdtdx
x
x
tantantantantan
1
arcsin2222
cx
x
x
xc
x
x
x
x
x
x
1
arcsin)1(
1
arcsin
1
arcsin
3.
dx
x
x
x
x
2
2
21
1arcsin
解.
dttttdt
t
t
t
t
txdx
x
x
x
x
)1(csccos
cos
sin1
sin
sin
1
1arcsin
2
2
2
2
2
2
令
cttdtttdtttdtt2
2
1
cotcotcot
ctttt2
2
1
|sin|lncot
cxx
x
x
x
2
2
)(arcsin
2
1
||ln
1
arcsin
xx
x
)1(
arctan
22
解.
dtttdtt
tt
t
txdx
xx
x
)1(cscc
ctan
tan
)1(
arctan
22
2222
令
222
2
1
cotcot
2
1
cotcsctdtttttdtdttdttt
cx
x
x
x
x
ctttt
2
2
2)(arctan
2
1
|
1
|ln
arctan
2
1
|sin|lncot
cx
x
x
x
x
2
2
2
)(arctan
2
1
1
ln
2
1arctan
十一.求下列不定积分:
1.dxxx234
解.dtttdtttttxdxxx23323cossin32cos2cos2sin8sin24令
ctttddttt5322cos
5
32
cos
3
32
coscos)cos1(32
cxx2
5
2
2
3
2)4(
5
1
)4(
3
4
2.
x
ax22
解.
dt
t
t
adttta
ta
ta
tax
x
ax
2
222
cos
cos1
tanc
c
tan
c令
c
x
a
aaxcattaarccostan22
e
ee
x
xx
21
)1(
解.udu
u
u
utdt
t
t
t
dt
t
tt
tedx
e
ee
x
x
xx
cos
cos
sin1
sin
1
1
1
)1(
1
)1(
222
令令
ceecuuxx21arcsincos
4.
dx
xa
x
x
2
(a>0)
解.
dx
xa
x
x
2
xu令
du
ua
u
2
4
2
2tausin2令tdta42sin8
=
dtttadt
t
a)2cos2cos21(2
4
)2cos1(
822
2
2
=ct
a
tatadt
t
atata
4sin
4
2sin23
2
4cos1
22sin22
4
22222
=ctttattata)sin21(cossincossin432222
=cttattatacossin2cossin333222
=c
a
xa
a
x
a
x
a
a
xa
a
x
a
a
x
a
2
2
22
2
2
2
2
3
2
arcsin3222
=cxax
xa
a
x
a
)2(
2
3
2
arcsin32
十二.求下列不定积分:
1.
xx
dx
cos1sin
解.
x
xd
xx
xd
xx
dxx
xx
dx
2
22cos1
cos1
2
cos1sin
)cos1(
cos1sin
sin
cos1sin
)2(
2
)1(1
2cos1
2222uu
du
u
du
ux令
c
u
u
u
du
uu
|
2
2
|ln
22
11
)
2
11
(
22
c
x
x
x
|
cos12
cos12
|ln
22
1
cos1
1
2.
dx
x
x
cos2
sin2
解.
x
xd
dx
x
dx
x
x
cos2
)cos2(
cos2
1
2
cos2
sin2
t
x
2
tan令
|cos2|ln
3
2
2|cos2|ln
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
x
t
dt
x
t
t
t
dt
=cx
x
cx
t
|cos2|ln)
2
(tan
3
1
arctan
3
4
|cos2|ln
3
arctan
3
4
3.
dx
xx
xx
cossin
cossin
解.
dx
xx
xx
dx
xx
xx
cossin
1cossin21
2
1
cossin
cossin
=
dx
xx
dxxxdx
xx
x
cossin
1
2
1
)cos(sin
2
1
cossin
1cos)(sin
2
12
=
)
4
sin(
)
4
(
4
2
)cos(sin
2
1
x
xd
xx
=c
x
xx|)
82
tan(|ln
4
2
)cos(sin
2
1
十三.求下列不定积分:
xx
x
1
解.ct
t
td
dt
t
t
txdx
xx
x
3
3
3
3
2
1
3
4
1
)1(
3
2
1
2
1
令
cx2
3
1
3
4
2.
dx
e
e
x
x
1
1
解.
dttdtt
t
t
tedx
e
e
dx
e
e
x
x
x
x
x
)1(ctan
tan
1c
c
1
1
1
1
2
令
c
e
eecttt
x
xx
1
arccos)1ln(|tanc|ln2
x
xx
1arctan1
解.令ttdxtxxtxttanc2,c,1tan,1arctan22
dt
t
t
tdtttdttt
t
tt
dx
x
xx
2
2
22
2cos
cos1
2tan2tanc2
c
tan
1arctan1
22
2
tan2tan2tan22
cos
2tdttttttdtdttdt
t
t
ctttt2|cos|ln2tan2
cxxxx2)1(arctan||ln1arctan12
4一元函数积分学(定积分)
一．若f(x)在[a，b]上连续,证明:对于任意选定的连续函数(x),均有0)()(b
a
dxxxf,则f(x)0.
证明:假设f()0,a<
f(x)>0.令m=)(minxf
x
.按以下方法定义[a，b]上(x):在[－,+]上(x)=
22)(x,其它地方(x)
=0.所以
0
2
)()()()(
2
mdxxxfdxxxfb
a
.
和0)()(b
a
dxxxf矛盾.所以f(x)0.
二.设为任意实数,证明:
2
0)(tan1
1
dx
x
I=
4)(cot1
1
2
0
dx
x
.
证明:先证:
4)(cos)(sin
)(sin
2
0
dx
xfxf
xf
=
2
0)(cos)(sin
)(cos
dx
xfxf
xf
令t=x
2
,所以
2
0)(cos)(sin
)(sin
dx
xfxf
xf
0
2
)(
)(sin)(cos
)(cos
td
tftf
tf
=
2
0)(sin)(cos
)(cos
dt
tftf
tf
2
0)(sin)(cos
)(cos
dx
xfxf
xf
于是
2
0)(cos)(sin
)(sin
2
dx
xfxf
xf
2
0)(cos)(sin
)(sin
dx
xfxf
xf
2
0)(sin)(cos
)(cos
dx
xfxf
xf
=
2)(cos)(sin
)(cos)(sin
2
0
2
0
dxdx
xfxf
xfxf
所以
4)(cos)(sin
)(sin
2
0
dx
xfxf
xf
=
2
0)(cos)(sin
)(cos
dx
xfxf
xf
.
所以
2
0)(tan1
1
dx
x
I
4)(sin)(cos
)(cos
cos
sin
1
1
2
0
2
0
xx
x
dx
x
x
同理
4)(cot1
1
2
0
dx
x
I.
三．已知f(x)在[0，1]上连续,对任意x,y都有|f(x)－f(y)|
n
M
n
k
f
n
dxxf
n
k
2
1
)(
1
1
0
证明:
n
k
n
k
n
k
dxxfdxxf
1
1
1
0
)()(,
n
k
n
k
f
n
1
)(
1
dx
n
k
f
n
k
n
k
n
k
1
1
)(
n
M
n
M
dxx
n
k
M
dx
n
k
xMdx
n
k
fxf
dx
n
k
fxf
n
k
f
n
dxxf
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
2
1
2
)()()(
|)()(|)(
1
)(
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
四.设4
0
tan
xdxIn
n
,n为大于1的正整数,证明:
)1(2
1
)1(2
1
n
I
nn
.
证明:令t=xtan,则
1
0
2
4
01
tandt
t
t
xdxI
n
n
n
因为
22
2
'
2)1(
1
1t
t
t
t
>0,(0
2
1
11
1
122
t
t
于是
1
0
1
1
0
2
1
02
1
12
1
dttdt
t
t
dttn
n
n
立即得到
)1(2
1
2
1
)1(2
1
nn
I
nn
.
五.设f(x)在[0,1]连续,且单调减少,f(x)>0,证明:对于满足0<<<1的任何,,有
dxxfdxxf)()(
0
证明:令xdttfdttfxxF
)()()(
0
(x),0)()(
0
dttfF.
)()()('
0
xfdttfxF
0
0)]()([dtxftf,(这是因为t,x,且f(x)单减).
所以0)()(FF,立即得到
dxxfdxxf)()(
0
六.设f(x)在[a,b]上二阶可导,且)(''xf<0,证明:
2
)()(
ba
fabdxxfb
a
证明:x,t[a,b],
2)(
!2
)(''
))((')()(tx
f
txtftfxf
))((')(txtftf
令
2
ba
t
,所以
22
'
2
)(
ba
x
ba
f
ba
fxf
二边积分
b
a
b
a
b
a
dx
ba
x
ba
fdx
ba
fdxxf
22
'
2
)(
=
2
)(
ba
fab.
七.设f(x)在[0,1]上连续,且单调不增,证明:任给(0,1),有
1
00
)()(dxxfdxxf
证明:方法一:令xxdttfdttfxF
00
)()()(
(或令xdttfdttfxxF
00
)()()(
)
0)()()('xfxfxF,所以F(x)单增;
又因为F(0)=0,所以F(1)F(0)=0.即
0)()(
1
0
1
0
dttfdttf,即
1
00
)()(dxxfdxxf
方法二:由积分中值定理,存在[0,],使)()(
0
fdxxf;
由积分中值定理,存在[,1],使)1)(()(
1
fdxxf
因为)()(,ff所以.
所以
)1)(()()()()(2
1
0
1
0
ffdxxfdxxfdxxf
0
2)()()1)(()(dxxffff
八.设f(x)在[a,b]上连续,)('xf在[a,b]内存在而且可积,f(a)=f(b)=0,试证:
b
a
dxxfxf|)('|
2
1
|)(|,(a
证明:|)('|)('|)('|xfxfxf,所以
x
a
x
a
dttfafxfdttf|)('|)()(|)('|,
即x
a
x
a
dttfxfdttf|)('|)(|)('|;
b
x
b
x
dttfxfbfdttf|)('|)()(|)('|
即b
x
b
x
dttfxfdttf|)('|)(|)('|
所以b
a
b
a
dttfxfdttf|)('|)(2|)('|
即b
a
dxxfxf|)('|
2
1
|)(|,(a
九.设f(x)在[0,1]上具有二阶连续导数)(''xf,且0)(0)1()0(xfff，,试证:
4
)(
)(''1
0
dx
xf
xf
证明:因为（0，1）上f(x)0,可设f(x)>0
因为f(0)=f(1)=0
x0(0,1)使f(x0)=
10
max
x
(f(x))
所以dx
xf
xf
1
0)(
)(''
>dxxf
xf
1
0
0
)(''
)(
1
（1）
在（0，x0）上用拉格朗日定理
0
0
(
)('
x
xf
f
）
),0(
0
x
在（x0,1）上用拉格朗日定理
0
0
1
)(
)('
x
xf
f
)1,(
0
x
所以
)(4
)1(
)(
)(')(')('')('')(''
0
00
0
1
0
xf
xx
xf
ffdxxfdxxfdxxf
（因为ab
ba
2)
2
(）
所以1
0
0
4)(''
)(
1
dxxf
xf
由（1）得
1
0
4
)(
)(''
dx
xf
xf
十.设f(x)在[0,1]上有一阶连续导数,且f(1)－f(0)=1,试证:
1)]('[1
0
2dxxf
证明:1
0
2)]('[dxxf1))0()1(()1)('(1)]('[22
1
0
1
0
2
1
0
2ffdxxfdxdxxf
十一.设函数f(x)在[0,2]上连续,且2
0
)(dxxf=0,2
0
)(dxxxf=a>0.证明:[0,2],使|f()|a.
解.因为f(x)在[0,2]上连续,所以|f(x)|在[0,2]上连续,所以[0,2],取使|f()|=max|f(x)|(0x2)使|f()|
|f(x)|.所以
|)(||1||)(||)(||1||)()1(|2
0
2
0
2
0
fdxxfdxxfxdxxfxa
5一元函数积分学(广义积分)
一.计算下列广义积分:
(1)
2
0
3
1)1(
dx
e
e
x
x
(2)
0
22)4)(1(
1
dx
xx
(3)
2
3
2)1(x
dx
(4)1
0
)sin(lndxx(5)
1
2
21
1
dx
xx
(6)dx
x
x
0
2
3
2)1(
arctan
解.
(1)
3
2
2
2
3
1
0
2
0
3
1
)1(
2
3
)1(
)1(
lim
)1(
edx
e
ed
dx
e
e
x
x
x
x
(2)
124
1
1
1
3
1
lim
)4)(1(
1
0
22
0
22
b
b
dx
xx
dx
xx
(3)
2
3
2)1(x
dx
因为1
)1(
1
lim
2
3
2
3
x
x
x
,所以
0
2
3
2)1(x
dx
积分收敛.所以
2
3
2)1(x
dx
=2tx
x
dx
tan
)1(0
2
3
2
令2cos2
c
c
22
0
2
0
3
2
tdtdt
t
t
(4)
2
1
1
))cos(ln)sin(ln(
2
1
lim)sin(lnlim)sin(ln
0
1
0
1
0
xxxxdxxdxx
(5)
3tanc
tanc
1
1
3
2
1
2
2
dt
tt
tt
dx
xx
(6)1
2
cos
c
c
)1(
arctan
2
0
2
0
3
2
0
2
3
2
tdttdt
t
tt
dx
x
x
6微分中值定理
一.设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且1)('xf,证明:在(0,1)
内有且仅有一个x,使f(x)=x.
证明:由条件知0
所以存在(0,1),使F()=0.假设存在1,2(0,1),不妨假设2<1,满足f(1)=1,f(2)=2.于是1
－2=f(1)－f(2)=))(('
21
f.(2<<1).所以1)('f,矛盾.
二.设函数f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且)0()(3
1
3
2
fdxxf.证明:在(0,1)内存在一个,使0)('f.
证明:)()
3
2
1)((3)(3)0(
11
1
3
2
ffdxxff,其中1满足1
3
2
1
.
由罗尔定理,存在,满足0<<1,且0)('f.
三．设函数f(x)在[1,2]上有二阶导数,且f(1)=f(2)=0,又F(x)=(x－1)2f(x),证明:在(1,2)内至少存在一个,使
0)(''F.
证明:由于F(1)=F(2)=0,所以存在1,1<1<2,满足0)('
1
F.所以0)(')1('
1
FF.所以存在,满足1<<
1,且0)(''F.
四.设f(x)在[0,x](x>0)上连续,在(0,x)内可导,且f(0)=0,试证:在(0,x)内存在一个,使
)(')1ln()1()(fxxf.
证明:令F(t)=f(t),G(t)=ln(1+t),在[0,x]上使用柯西定理
)('
)('
)0()(
)0()(
G
F
GxG
FxF
,(0,x)
所以)(')1(
)1ln(
)(
f
x
xf
,即)(')1ln()1()(fxxf.
五.设f(x)在[a,b]上可导,且ab>0,试证:存在一个(a,b),使
1)](')([
)()(
1
n
nn
fnf
bfaf
ab
ab
证明:不妨假设a>0,b>0.令)()(xfxxFn.在[a,b]上使用拉格朗日定理
))]((')([)()(1abffnafabfbnnnn
六.设函数f(x),g(x),h(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,证明:存在一个(a,b),使
0
)(')(')('
)()()(
)()()(
hgf
bhbgbf
ahagaf
证明:令
)()()(
)()()(
)()()(
)(
xhxgxf
bhbgbf
ahagaf
xF,则F(a)=F(b)=0,所以存在一个(a,b),使
0
)(')(')('
)()()(
)()()(
)('
hgf
bhbgbf
ahagaf
F
七.设f(x)在[x1,x2]上二阶可导,且0
)(')(
)()(
1
21
21
21
ff
xfxf
ee
ee
xx
xx
证明:令
xxexGxfexF)()()(，,在[x1,x2]上使用柯西定理.在(x1,x2)内至少存在一个,满足
)()(
)()(
12
12
xGxG
xFxF
)(')(
)()(
1
21
21
21
ff
xfxf
ee
ee
xx
xx
.
八.若x1x2>0,证明:存在一个(x1,x2)或(x2,x1),使
)()1(
2121
12xxeexexxx
证明:不妨假设0
x
xG
x
e
xF
x1
)()(，,在[x1,x2]上使用柯西定理.在(x1,x2)内至少存在一个,满足
2
2
12
12
12
12
111
)()(
)()(
12
ee
xx
x
e
x
e
xGxG
xFxF
xx
立即可得)()1(
2121
12xxeexexxx.
九.设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,g(x)0,试证:至少存在一个(a,b),使
)()(')()('fggf
证明:令
)(
)(
)(
xg
xf
xF,所以F(a)=F(b)=0.由罗尔定理至少存在一个(a,b),使
0)('F,
于是)()(')()('fggf.
十.设f(x)在[a,b]上连续)0(ba,在(a,b)内可导,证明在(a,b)存在
ab
f
f
)('
)(',
2
使.
解.对
x
xGxf
1
)()(及使用柯西定理:
)),((),('
1
)('
11
)()(
2
2
baf
f
ba
afbf
所以
ab
f
ab
afbf)(')()(2
对左端使用拉格朗日定理:
)),((,
)(')()(
)('
2
ba
ab
f
ab
afbf
f
即)),(,(,
)('
)('
2
ba
ab
f
f
7一元微积分的应用
一.选择题
1.设f(x)在(－,+)内可导,且对任意x1,x2,x1>x2时,都有f(x1)>f(x2),则
(a)对任意x,0)('xf(b)对任意x,0)('xf
(c)函数f(－x)单调增加(d)函数－f(－x)单调增加
解.(a)反例:
3)(xxf,有0)0('f;(b)反例:
3)(xxf;(c)反例:
3)(xxf,
3)(xxf单调减少;排除(a),
(b),(c)后,(d)为答案.具体证明如下:
令F(x)=－f(－x),x1>x2,－x1<－x2.所以F(x1)=－f(－x1)>－f(－x2)=F(x2).
2.曲线
)2)(1(
1
arctan
2
1
2
xx
xx
eyx
的渐近线有
(a)1条(b)2条(c)3条(d)4条
解.
4
,
4)2)(1(
1
arctanlim
2
1
2
y
xx
xx
ex
x
所以为水平渐近线;
0,
)2)(1(
1
arctanlim
2
1
0
2
x
xx
xx
ex
x
所以为铅直渐近线;
,
)2)(1(
1
arctanlim
2
1
1
2
xx
xx
ex
x
)2)(1(
1
arctanlim
2
1
2
2
xx
xx
ex
x
所以只有二条渐近线,(b)为答案.
3.设f(x)在[－,+]上连续,当a为何值时,
dxnxaxfaF2]cos)([)(的值为极小值.
(a)
nxdxxfcos)((b)
nxdxxfcos)(
1
(c)
nxdxxfcos)(
2
(d)
nxdxxfcos)(
2
1
解.
dxnxaxfaF2]cos)([)(
dxxfnxdxxfanxdxa)(cos)(2cos222
dxxfnxdxxfaa)(cos)(222
为a的二次式.
所以当a=
nxdxxfcos)(
1
,F(a)有极小值.
4.函数y=f(x)具有下列特征:
f(0)=1;0)0('f,当x0时,0)('xf;
0
0
)(''xf
0
0
x
x
,则其图形
(a)(b)(c)(d)
1111
解.(b)为答案.
5.设三次函数dcxbxaxxfy23)(,若两个极值点及其对应的两个极值均为相反数,则这个函数的图形是
(a)关于y轴对称(b)关于原点对称(c)关于直线y=x轴对称(d)以上均错
解.假设两个极值点为x=t及x=－t(t0),于是f(t)=－f(－t).所以
dctbtatdctbtat2323
,所以b+d=0
023)('2cbxaxxf的根为x=t,所以b=0.于是d=0.所以
cxaxxf3)(
为奇函数,原点对称.(b)为答案.
6.曲线)2)(1(xxxy与x轴所围图形面积可表示为
(a)2
0
)2)(1(dxxxx(b)1
0
)2)(1(dxxxx2
1
)2)(1(dxxxx
(c)1
0
)2)(1(dxxxx2
1
)2)(1(dxxxx(d)2
0
)2)(1(dxxxx
解.
012
由图知(c)为答案.
二.填空题
1.函数
xdt
t
xF
1
1
2)((x>0)的单调减少区间______.
解.0
1
2)('
x
xF,所以0
4
1
.
2.曲线xxy3
与其在
3
1
x处的切线所围成的部分被y轴分成两部分,这两部分面积之比是________.
解.13'2xy,所以切线的斜率为k=
3
2
1
9
1
3
切线方程:
27
2
3
2
xy,曲线和切线的交点为
3
2
x.(解曲线和切线的联立方程得0
27
2
3
3
x
x,
3
1
x为其解,所
以可得0)
3
2
()
3
1
(2xx,解得
3
2
x.)
比值为
1
8
108
1
27
2
)
27
2
3
2
(
)
27
2
3
2
(
3
1
0
3
0
3
2
3
dxxx
dxxxx
3.二椭圆1
2
2
2
2
b
y
a
x
,1
2
2
2
2
a
y
b
x
(a>b>0)之间的图形的面积______.
解.
二椭圆的第一象限交点的x坐标为
22ba
ab
x
.所以所求面积为
2222
00
22224ba
ab
ba
ab
dxxb
b
a
dxxa
a
b
abs
=
2222
0
22
2
0
22
2
2
arcsin
22
arcsin
2
4ba
ab
ba
ab
xb
x
b
xb
b
a
xa
x
a
xa
a
b
ab
=
)(2
arcsin
2)(2
arcsin
2
4
22
22
22
22
22
22ba
ba
ba
aab
ba
ba
ba
bab
ab
2222
arcsinarcsin2
ba
a
ba
b
abab
22
arcsin
ba
a
令
2
2abab=4ab
=
b
a
abarctan4
4.x2+y2=a2绕x=－b(b>a>0)旋转所成旋转体体积_______.
解.
－ba
由图知
adybyabyaV
0
222222])()[(2
=
2
0
2
2
0
22
0
22
2
2cos1
8cos842
dt
t
batdtbadyyaba
=
2222
4
8
baba
(5)求心脏线=4(1+cos)和直线=0,=
2
围成图形绕极轴旋转所成旋转体体积_____.
解.极坐标图形绕极旋转所成旋转体体积公式
dVsin)(3
所以
2
0
33sin)cos1(64
3
2
sin)(
3
2
ddV
=
16016
3
32
3
32
0
2
)cos1(
4
1
3
128
4
三.证明题
1.设f(x)为连续正值函数,证明当x0时函数
x
x
dttf
dtttf
x
0
0
)(
)(
)(单调增加.
证明.0
)(
)()()(
)(
)()()(
)('
2
0
0
2
0
00
x
x
x
xx
dttf
dttftxxf
dttf
dtttfdttfxxf
x
上述不等式成立是因为
f(x)>0,t
2.设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内0)(''xf,证明
ax
afxf
x
)()(
)(在(a,b)内单增.
证明.假设a
)()(
)(
1
1
1
1
f
ax
afxf
x
(a<1
ax
afxfxfxf
ax
afxf
x
2
112
2
2
2
)()()()()()(
)(
ax
axfxxf
2
11122
))(('))(('
)()('
))(('
11
2
1121xf
ax
axxxf
不等式成立是因为1
12
ff.
3.设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导且0)('xf,求证:
x
a
dttf
ax
xF)(
1
)(
在(a,b)内也0)('xF.
证明:因为0)('xf,所以f(x)单减.
)(
1
)(
)(
1
)('
2
xf
ax
dttf
ax
xFx
a
=
x
a
dttf
ax
)(
)(
1
2
+
x
a
dtxf
ax
)(
)(
1
2
=
x
a
dttfxf
ax
0)]()([
)(
1
2
4.设f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>0,又x
b
x
a
dt
tf
dttfxF
)(
1
)()(.证明:
i.,2)('xFii.F(x)=0在(a,b)内有唯一实根.
证明.i.2
)(
1
)(2
)(
1
)()('
xf
xf
xf
xfxF
ii.F(a)=a
b
dt
tf)(
1
,F(b)=b
a
dttf)(.因为f(x)>0,所以F(a)和F(b)异号,所以在(a,b)中存在,使得F()=0.又
因为2)('xF,F(x)单增,所以实根唯一.
5.证明方程xx1tan在(0,1)内有唯一实根.
证明.令xxxF1tan)(.F(0)=－1<0,F(1)=tan1>0,
所以在(0,1)中存在,使F()=0.
又因为01
cos
1
)('
2
x
xF(0
6.设a1,a2,…,an为n个实数,并满足0
12
)1(
3
1
2
1
n
a
a
an
n.证明:方程
0)12cos(3coscos
21
xnaxaxa
n
在(0,2
)内至少有一实根.
证明.令)(xF
12
)12sin(
3
3sin
sin
21
n
xn
a
x
axa
n
则F(0)=0,
2
F0
12
)1(
3
1
2
1
n
a
a
an
n.所以由罗尔定理存在(0<<
2
),使0)('F.即
0)12cos(3coscos
21
naaa
n
四.计算题
1.在直线x－y+1=0与抛物线542xxy的交点上引抛物线的法线,试求由两法线及连接两交点的弦所围成的三角形的面积.
解.由联立方程
54
01
2xxy
yx
解得交点坐标)2,1(),(
33
yx,)5,4(),(
22
yx
由42'xy求得二条法线的斜率分别为
2
1
1
x
k,
4
1
4
x
k.相应的法线为
)1(
2
1
2xy,)4(
4
1
5xy.解得法线的交点为)
2
9
,6(),(
11
yx.
已知三点求面积公式为
3232
3131
2
1
yyxx
yyxx
S
所以
4
15
33
2
5
5
2
1
2
1
3232
3131
yyxx
yyxx
S.
2.求通过点(1,1)的直线y=f(x)中,使得2
0
22)]([dxxfx为最小的直线方程.
解.过点(1,1)的直线为
y=kx+1－k
所以
F(k)=2
0
22)]1([dxkkxx
=2
0
22234])1()1(2)22(2[dxkxkkxkkkxx
=
2
0
223
2
4
5
)1()1(
3
22
4
2
5
xkxkkx
kk
x
kx
=
22)1(2)1(4)22(
3
8
8
5
32
kkkkkk
0
3
8
3
4
)1(4)84()22(
3
8
8)('kkkkkF
k=2
所求直线方程为y=2x－1
3.求函数2
0
)2()(x
tdtetxf的最大值与最小值.
解.0)2(2)('222xexxxf,解得
x=0,x=2
0)0(f,
2
2
0
1)2()2(edtetft
,
0
)2()(dtetft
=1
所以,最大值
21)2(ef,最小值0)0(f.
4.已知圆(x－b)2+y2=a2,其中b>a>0,求此圆绕y轴旋转所构成的旋转体体积和表面积.
解.体积
2
2
2222cos)sin(4sin)(22
tdtatabtabxdxbxaxVab
ab
令
=
222
2
0
222
4
8cos8babadttba
表面积:y=f(x)绕x轴旋转所得旋转体的表面积为
S=b
a
dxxfxf)('1)(22
(x－b)2+y2=a2绕y轴旋转相当于(y－b)2+x2=a2绕x轴旋转.该曲线应分成二枝:
22xaby
所以旋转体的表面积
a
a
a
a
dx
xa
a
xabdx
xa
a
xabS
22
22
22
22)(2)(2
=abdtab
xa
dx
aba
a
2
2
0
22
484
.
8多元函数微分学
一.考虑二元函数的下面4条性质
(I)),(yxf在点),(
00
yx处连续;(II)),(yxf在点),(
00
yx处的两个偏导数连续;
(III)),(yxf在点),(
00
yx处可微;(IV)),(yxf在点),(
00
yx处的两个偏导数存在;
若用QP表示可由性质P推出性质Q,则有
(A))I()III()II((B))I()II()III(
(C))I()IV()III((D))VI()I()III(
解.),(yxf在点),(
00
yx处的两个偏导数连续,则),(yxf在点),(
00
yx处可微,),(yxf在点),(
00
yx处可微,则),(yxf在
点),(
00
yx处连续.所以)I()III()II(.(A)为答案.
二.二元函数
)0,0(),(,0
)0,0(),(,
),(22
yx
yx
yx
xy
yxf在点(0,0)处
(A)连续,偏导数存在;(B)连续,偏导数不存在;
(C)不连续,偏导数存在;(D)不连续,偏导数不存在.
解.
1,
2
1
0,0
1)1(
limlim),(lim
222
2
0
22
0
0
0
0k
k
k
k
xk
kx
kxy
yx
xy
yxf
x
y
x
y
x
令
所以),(lim
0
0
yxf
y
x
不存在,所以),(yxf在点(0,0)处不连续,排除(A),(B);
0
0
0
0
lim
)0,0()0,0(
lim)0,0('
22
00
x
x
x
x
fxf
f
xx
x
0
0
0
0
lim
)0,0()0,0(
lim)0,0('
22
00
y
y
y
y
fyf
f
yy
y
.(C)为答案.
三.设f,g为连续可微函数,)(),(xyxgvxyxfu，,求
x
v
x
u
.
解.yff
x
u
''
21
,)1('yg
x
v
.所以
)''(')1(
21
yffgy
v
v
x
u
四.设
y
z
yzx22
,其中为可微函数,求
y
z
.
解.原式两边对y求导.
2
'2
y
zy
y
z
y
z
y
y
z
y
z
z
.所以
y
z
yyz
y
z
z
y
z
y
y
z
'2
'
五.设
x
u
zxttxyzyxfu
，求，，又),(),(),,(.
解.由上述表达式可知x,z为自变量,所以
'''''''''''''
xtyxyxxtxyxyx
fffff
x
y
ff
x
u
六.求下列方程所确定函数的全微分:
yxf，求0),,(;
fz，求，)(.
解.1.0)1('''
321
x
z
f
x
z
ff,所以
''
''
32
31
ff
ff
x
z
0)1('''
231
y
z
f
y
z
ff,所以
''
''
32
21
ff
ff
y
z
所以
''
)''()''(
32
2131
ff
dyffdxff
dy
y
z
dx
x
z
dz
2.
x
z
f
x
z
xzf
x
z
')('
21
,所以
''1
'
21
1
fxf
zf
x
z
)1(''
21
y
z
f
y
z
xf
y
z
,所以
''1
'
21
2
fxf
f
y
z
所以
''1
''
21
21
fxf
dyfdxzf
dy
y
z
dx
x
z
dz
七.设),sin(22yxyefzx,其中f具有二阶连续偏导数,求
yx
z
2
.
解.),sin('2sin),sin('22
2
22
1
yxyexfyeyxyef
x
z
xxx
)''2cos''(2'cos)''2cos''(sin
221211211
2
yfyefxyfeyfyefye
yx
z
xxxx
=yefxyffyxyyexxefxxxcos'''4'')cossin(2cossin''
12212
2
11
八.已知''''),2(
yyxx
zz
y
x
xfz，，求.
解.),2('
1
),2('2'
21y
x
xf
yy
x
xfz
x
)''
1
,''2(
1
''
2
''4''
22121211
f
y
f
y
f
y
fz
xx
=''
1
''
4
'4
22
2
1211
f
y
f
y
f
),2(''
2
2y
x
xf
y
x
z
y
'''
2
'
22
4
2
2
3
f
y
x
f
y
x
z
yy
九.已知'','',''),ln(
yyxyxx
zzzyxyxfz，求.
解.),ln('),ln('ln'
21
yxyxfyxyxyfz
x
''ln'')''ln''(ln''
22121211
fyffyfyz
xx
=''ln''2ln''
2212
2
11
fyfyf
'''')''''(ln'
1
''
221212111
f
y
x
ff
y
x
fyf
y
z
xy
='
1
'''')ln(''
ln
1221211
f
y
ffy
y
x
f
y
yx
),ln(),ln(''
21
yxyxfyxyxf
y
x
z
y
'''')''''('''
221212111
2
ff
y
x
ff
y
x
y
x
f
y
x
z
yy
='''''
2
''
1
2
221211
2
2
f
y
x
ff
y
x
f
y
x
十.设
0
0
)()(
32
2
zzyx
zzyx
xzzxyy，由，确定,求
dx
dz
dx
dy
，.
解.以上两式对x求导,得到关于
dx
dz
dx
dy
，的方程组
0321
021
dx
dz
z
dx
dz
dx
dy
y
dx
dz
z
dx
dz
dx
dy
1)31(2
1)21(
dx
dz
z
dx
dy
y
dx
dz
z
dx
dy
由克莱姆法则解得
yzyz
zz
dx
dy
4231
32
2
2
,
yzyz
y
dx
dz
4231
12
2
十一.设
2
2
2
2
2
2
22)()(
y
z
y
yx
z
xy
x
z
x
x
y
x
y
xfz
，求
解.)(')(')())(('))((')(
222x
y
x
y
x
y
f
x
y
x
y
f
x
y
x
y
x
y
x
y
xf
x
y
f
x
z
)('')('2)('')(')('
4
2
34
2
222
2
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
f
x
y
x
y
f
x
y
x
y
f
x
y
x
z
='''2''
4
2
33
2
x
y
x
y
f
x
y
)('')('
1
)('')('
1
)('
1
322
2
x
y
x
y
x
y
xx
y
f
x
y
x
y
f
xx
y
f
xyx
z
'''
1
''
322
x
y
x
f
x
y
)('
1
)('
x
y
xx
y
f
y
z
''
1
''
1
22
2
x
f
xy
z
于是
2
2
2
2
2
2
22
y
z
y
yx
z
xy
x
z
x
='''
2
''
2
22
x
y
x
y
f
x
y
x+y=4
x+y=0
D
''
2
'
2
''2
2
22
x
y
x
y
f
x
y
''
2
f
x
y
''
2
2
x
y
=0
十二.设)](,[2xyyxfz,其中f(u,v)具有二阶连续偏导数,)(u二阶可导,求
yx
z
2
.
解.)(')](,[')](,['22
2
2
1
xyxyyxyfxyyxxf
x
z
''']'''''[''']'''''[2
2221221211
2
xyfxffyfxffx
yx
z
='')'(''')2(''2')'''(
22
2
12
2
112
fxyfyxxffxy
十三.设)())(,())(,())(),(,(xzxyxQxyxPxzxyxF,其中出现的函数都是连续可微的,试计算
z
F
dx
d
y
F
.
解.''
yy
zQp
y
F
,))(,(xyxQ
z
F
所以'''
xyx
yQQ
z
F
dx
d
于是')'('''''''
yxxyxyxyy
QyzQpyQQzQp
z
F
dx
d
y
F
9二重积分
一.比较积分值的大小:
1.设,
41
D
dxdy
yx
I,
42
D
dxdy
yx
I
D
dxdy
yx
I3
34
其中}2)1()1(|),{(22yxyxD,则下
列结论正确的是
(A)
321
III(B)
132
III(C)
231
III(D)
123
III
解.区域D位于直线04yxyx及
之间,所以1
4
0
yx
所以
3
444
yxyxyx
所以
321
III.(A)为答案.
2.设32,1,)(22，idxdyeI
i
D
yx
i
,其中:}|),{(222
1
ryxyxD,}2|),{(222
2
ryxyxD,
}||,|||),{(
3
ryrxyxD则下列结论正确的是
(A)
321
III(B)
132
III(C)
231
III(D)
123
III
解.因为0,)(
231
22yxeDDD且,所以
231
III,(C)为答案.
3.设,cos22
1
D
yxI,)cos(22
2
D
yxI
D
yxI222
3
)cos(其中}1|),{(22yxyxD,则下
列结论正确的是
(A)
321
III(B)
132
III(C)
231
III(D)
123
III
解.在区域D中,
2222222)cos()cos(cos0yxyxyx,所以
321
III.(A)为答案.
二.将二重积分
D
dyxfI),(化为累次积分(两种形式),其中D给定如下:
1.D:由xy82与yx82所围之区域.
2.D:由x=3,x=5,x－2y+1=0及x－2y+7=0所围之区域.
3.D:由122yx,yx及x>0所围之区域.
4.D:由|x|+|y|1所围之区域.
解.1.4
0
8
82
0
2
2
),(),(),(y
y
x
x
D
dxyxfdydyyxfdxdyxfI
2.
5
3
2
7
2
1
),(),(
x
x
D
dyyxfdxdyxfI
6
5
5
72
5
3
5
3
3
2
12
3
),(),(),(
y
ydxyxfdydxyxfdydxyxfdy
3.2
2
2
0
1),(),(x
x
D
dyyxfdxdyxfI
1
2
2
1
0
2
2
00
2),(),(yydxyxfdydxyxfdy
4.
1
0
1
11
1
1
),(),(),(0x
x
x
x
D
dyyxfdxdyyxfdxdyxfI
1
0
1
1
0
1
1
1
),(),(y
y
y
y
dxyxfdydxyxfdy
三.改变下列积分次序:
1.
axa
a
xa
dyyxfdx
0
2
22
22),(2.
3
1
2
3
0
1
00
),(),(2
x
xdyyxfdxdyyxfdx
3.
2221
0
20
1
),(),(x
x
x
x
dyyxfdxdyyxfdx
解:1.
a
a
ya
a
ya
aya
axa
a
xa
dxyxfdydxyxfdydyyxfdx
2
0
2
020
2
2222
2
22
22),(),(),(
2.
y
y
x
xdxyxfdydyyxfdxdyyxfdx231
0
3
1
2
3
0
1
00
),(),(),(2
3.
2221
0
20
1
),(),(x
x
x
x
dyyxfdxdyyxfdx
=
y
y
y
y
dxyxfdydxyxfdy2
2
2
0
1
0
),(),(
四.将二重积分
D
dyxfI),(化为极坐标形式的累次积分,其中:
1.D:a2x2+y2b2,y0,(b>a>0)
2.D:x2+y2y,x0
3.D:0x+y1,0x1
解.1.b
a
D
dfddyxfI
)sin,cos(),(
0
2.
sin
0
2
0
)sin,cos(),(dfddyxfI
D
3.
cos
1
0
0
4
)sin,cos(),(dfddyxfI
D
+
sincos
1
0
2
0
)sin,cos(dfd
五.求解下列二重积分:
1.4
2
22
12
sin
2
sin
x
x
x
dy
y
x
dxdy
y
x
dx
2.
x
y
dyedx
0
2
1
0
2
3.
D
dxdy
x
y
6
,D:由y=x4－x3的上凸弧段部分与x轴所形成的曲边梯形
4.
D
dxdy
yx
xy
22
,D:yx及1x2+y22
解.
1.2
1
2
2
1
4
2
22
12
cos
2
2
sin
2
sin
2
sin2dy
y
y
y
x
ydx
y
x
dydy
y
x
dxdy
y
x
dxy
yx
x
x
=2
1
2
2
12
sin
4
2
cos
2y
yddy
y
y
=2
1
222
sin
4
1
2
2
sin
4
dy
yy
y
=)2(
4
1
2
2
cos
84
332
y
2.11
0
2
2
1
0
2
1
0
2
0
2
1
02
2222
y
yyy
x
y
dyeydyedxdyedyedx
=1
0
2
1
0
2
22yy
ydedye=2
1
1
0
22
1
0
2
222
0
1
edyeyedye
yyy
3.
D
dxdy
x
y
6
,D:由
34xxy的上凸弧段部分与x轴所形成的曲边梯形.
解.
2334'xxy,0)12(6612''2xxxxy.解得
2
1
0x.此时图形在x轴下方.所以
48
7)(
2
1
2
1
2
1
0
6
234
2
1
0
0
6
2
2
1
0
0
66
34
34
dx
x
xx
dx
x
y
dy
x
y
dxdy
x
y
xx
xx
D
4.
D
dxdy
yx
xy
22
,D:yx及1x2+y22.
解.使用极坐标变换
4
5
4
2
1
222
sincos
dddxdy
yx
xy
D
2
1
4
5
4
2sin
2
1
dd=0
六.计算下列二重积分:
1.
D
dxdy
b
y
a
x22
1,D:1
2
2
2
2
b
y
a
x
.
解.令cosax,sinby.雅可比行列式为
ab
bb
aa
yy
xx
yx
cossin
sincos
''
''
),(
),(
ababdabddxdy
b
y
a
x
D
3
2
)1(
3
1
211
1
0
2
3
2
2
0
1
0
2
22
2.
D
dxdyyx)ln(22
,D:1222yx,并求上述二重积分当
0时的极限.
解.1
22
1
2
2
0
22lnln)ln(
ddddxdyyx
D
=)1ln()ln(222
1
222
所以
0
lim
D
dxdyyx)ln(22
.
3.
xady
yxxa
yf
dx
00))((
)('
解.
a
y
axa
yxxa
dx
dyyfdy
yxxa
yf
dx
))((
)('
))((
)('
000
=
a
y
aa
y
a
ya
x
ya
ya
xd
dyyf
xx
ya
ay
dx
dyyf
)
2
(
4
)(
)
2
(
)('
2
2
)('
2
0
2
0
=
aafafdyyfdy
y
a
ya
ya
x
yf
00
))0()(()('
2
2
arcsin)('
4.
D
dxdy
yx
yx
22
22
1
1
,D:x2+y21,x0,y0.
解.
D
dxdy
yx
yx
22
22
1
1
1
0
2
2
1
1
41
1
,
dt
t
t
xdd
D
u
t
t
1
1
令
1
0
22
2
)1(
du
u
u
tanu令
d4
0
4
22
c
ctan
=)2(
8
sin4
0
2
d.
七.求证:2
1
)(2ln)(duufdxdyxyf
D
,其中D是由xy=1,xy=2,y=x及y=4x(x>0,y>0)所围成之区域.
证明:令u=xy,y=vx.即
v
u
x,uvy.
vvu
yx
2
1
),(
),(
.所以
2
1
2
1
4
1
)(2ln
2
1
)(
2
1
)()(
,
duufdv
v
duufdudv
v
ufdxdyxyf
vu
DD
八.求证:
2
2
2
1
)(2)(
22
duufudxdyyxf
yx
证明:令yxu,yxv.
2
1
''
''
1
),(
),(
yx
yx
vv
uu
vu
yx
.所以
dudvufdudvufdxdyyxfu
vuyx
2
2
2
0
21
2
2222
)(
2
1
)()(
=
2
2
2)(2duufu
九.设f(t)是半径为t的圆周长,试证:
a
t
ayx
yx
dtetfdydxe
0
22
2
222
22
)(
2
1
2
1
证明:左=
a
ayx
yx
deddydxe
0
2
2
0
2
2
222
22
2
1
2
1
ade
0
2
2
2
2
1
adef
0
2
2
)(
2
1
=右
十.设m,n均为正整数,其中至少有一个是奇数,证明:
0
222
dydxyx
ayx
nm
证明:区域D既对x轴对称,又对y轴对称.
当m为奇数时
nmyx为对于x的奇函数,所以二重积分为0;
当n为奇数时
nmyx为对于y的奇函数,所以二重积分为0.
十一.设平面区域}11,1|),{(3xyxyxD,)(xf是定义在)1(],[aaa上的任意连续函数试求:
D
dxdyxfxxfxyI)]()1()()1[(2
解.作曲线如图.令LyyxyD,1),0(:3
1
围成;
LxyxyD,1),0(:3
2
围成.
1
D按y轴对称,
2
D按x轴对称.
令)]()1()()1[(2),(xfxxfxyyxf
显然),()]()1()()1[(2),(yxfxfxxfxyyxf
所以0),(
2
D
dyxf
又因为),()]()1()()1[(2),(yxfxfxxfxyyxf
L
3xy
所以0),(
1
D
dyxf
0),(),()]()1()()1[(2
21
DDD
dyxfdyxfdxdyxfxxfxyI
10无穷级数
一.填空题
(1)设有级数
1
2
1
n
n
n
x
a,若
3
1
lim
1
n
n
na
a
,则该级数的收敛半径为______.
解.收敛半径R=
3
2
2
||
2
||
lim
1
1
n
n
n
n
na
a
.答案为
3
2
.
(2)幂级数
1
12
)3(2
n
n
nn
x
n
的收敛半径为______.
解.1
3
||
)3(2
)3(2
1
lim
2
12
12
11
x
x
n
x
n
n
nn
n
nn
n
,所以3||x.收敛半径为3.
(3)幂级数
1
1
n
n
n
x
的收敛区间为______.
解.1
1
1
2
1
limlim1
n
n
a
a
n
n
n
n
,所以收敛半径为1.
当x=1时,得级数
1
1
1
n
n
发散,当x=－1时,得级数
1
1
)1(
n
n
n
收敛.于是收敛区域为[－1,1).
(4)幂级数
1
1
2
n
n
n
n
x
的收敛区间为______.
解.
2
1
2
1
2)1(
1
limlim
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
,所以收敛半径为2.
当x=2时,得级数
1
2
1
n
n
发散,当x=－2时,得级数
1
1
2
)1(
n
n
n
收敛.于是收敛区域为[－2,2).
(5)幂级数
1
)1(
n
nxn的和函数为______.
解.
2
2
2
'
2
'
2
1222
1
)1(1
)1()1(
nn
nn
n
n
x
x
x
x
xxxxnxxn.该等式在(－1,1)中成立.当x=1时,得
到的数项级数的通项不趋于0.所以
2
2
1
)1(
)1(
x
x
xn
n
n
,(－1,1).
二.单项选择题
(1)设
1
),2,1(0
n
nn
ana，且收敛,常数)
2
,0(
,则级数
1
2
)tan()1(
n
n
na
n
n
(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与有关
解.因为
1n
n
a收敛,所以
1
2
n
n
a收敛.
n
n
na
a
n
n
2
2
)(tan
lim.所以
1
2
)tan(
n
n
a
n
n
和
1
2
n
n
a有相同的敛散性.所以原级数
绝对收敛.
(2)设)
1
1ln()1(
n
un
n
,则
(A)
1n
n
u与
1
2
n
n
u都收敛.(B)
1n
n
u与
1
2
n
n
u都发散.(C)
1n
n
u收敛,而
1
2
n
n
u发散.(D)
1n
n
u发散,
1
2
n
n
u收敛.
解.由莱布尼兹判别法
1n
n
u收敛,
1
2
1
2)
1
1(ln
nn
nn
u.因为1
)
1
1(ln
lim
2
n
n
n
,
1
1
n
n
发散,所以
1
2
n
n
u发散.
(C)是答案.
(3)下列各选项正确的是
(A)若
1
2
n
n
u与
1
2
n
n
v都收敛,则
1
2)(
n
nn
vu收敛
(B)若||
1
n
n
n
vu
收敛,则
1
2
n
n
u与
1
2
n
n
v都收敛
(C)若正项级数
1n
n
u发散,则
n
u
n
1
(D)若级数
1n
n
u收敛,且),2,1(nvu
nn
,则级数
1n
n
v收敛.
解.)(22)(2222
nnnnnn
n
nn
vuvvuuvu.所以(A)是答案.
(4)设为常数,则级数
1
2
1sin
n
n
n
n
(A)绝对收敛.(B)发散.(C)条件收敛.(D)敛散性与取值有关.
解.
1
2
sin
n
n
n
绝对收敛,
1
1
n
n
发散,所以
1
2
1sin
n
n
n
n
发散.(B)是答案
三.判断下列级数的敛散性:
(1)
1
1
sin
)2ln(
1
n
nn
解.因为1
ln
1
1
sin
)2ln(
1
lim
nn
nn
n
,所以
1
1
sin
)2ln(
1
n
nn
和
1
ln
1
n
nn
有相同的敛散性.又因为
2ln
1
dx
xx
发散,由积分
判别法知
1
ln
1
n
nn
发散.所以原级数发散.
(2))0(
)1)()(1(
1
1
a
nanana
n
解.因为
1
1
)1)()(1(
1
lim
3
n
nanana
n
,所以)0(
)1)()(1(
1
1
a
nanana
n
和
1
3
1
n
n
有相同的敛散性.
1
3
1
n
n
收敛,所以原级数收敛.
(3)
1
!3
n
n
n
n
n
解.1
3
!3
)1(
)!1(3
limlim
1
1
1
e
n
n
n
n
u
u
n
n
n
n
n
n
n
n
,所以级数发散.
(4)
1
2
)/1(
n
nnn
n
解.10
/1
)(
lim
)/1(
lim
22
nn
n
nn
nn
n
n
n
n
,所以级数收敛.
(5)
1
2
)!2(
)!(
n
n
n
解.1
4
1
)12)(22(
)1(
lim
)!2(
!!
)!22(
)!1()!1(
limlim
2
1
nn
n
n
nn
n
nn
u
u
nn
n
n
n
，所以级数收敛.
(6)
1
)
ln
1(
n
n
n
n
解.考察极限
y
yy
ny
n
n
n
y
y
n
n
1
0
)ln1(
lim1
1
)
ln
1(
lim
令
令
y
yy
u
y1)ln1(
,
y
yyyy
u
ln)ln1ln(
ln
1
1ln
ln1
1ln
lim
ln)ln1ln(
limlimlnlnlim
0000
y
yy
y
y
yyyy
uu
yyyy
=0
ln1
ln1lnln1ln
lim
2
0
yy
yyyyyy
y
所以1lim0
0
eu
y
,即原极限为1.原级数和
1
1
n
n
有相同的敛散性.原级数发散.
四.判断下列级数的敛散性
(1)
1
13
12
)1(
n
n
n
n
n
解.因为
3
2
13
12
lim
n
n
nn
n
,所以
1
13
12
n
n
n
n
收敛,原级数绝对收敛.
(2)
1
11)1(
1
)1(
n
n
nn
n
解.0
11)1(
1
lim
nn
n
n
,令
11)1(
1
)(
xx
x
xf
当x>0时,0
]11)1[(
1
12
1
)1(
)('
2
2
xx
x
x
xf,所以数列
11)1(
1
nn
n
单减.根据莱布尼兹判别法级数收敛.
因为1
1
11)1(
1
lim
n
nn
n
n
,而
1
1
n
n
发散,所以
1
11)1(
1
n
nn
n
发散.原级数条件收敛.
(3)
1
)sin(
n
n
n
解.
11
sin)1()sin(
n
n
n
nn
n
.
因为
n
n
n1
sin
lim,又因为
1
1
)1(
n
n
n
,条件收敛,所以原级数条件收敛.
(4)
1
1
1
tan)1(
n
n
nn
解.
n
lim
nn
nn
1
1
tan
=1,
1
1
n
nn
收敛,原级数绝对收敛.
五.求下列级数的收敛域:
(1)
1
2
)1(
)1(
n
n
nn
xx
解.11
)1(
|1|
lim2
2
xx
nn
xx
n
n
n
,01x
当x=－1,0时,都得数项级数
1
)1(
1
n
nn
,收敛,所以原级数的收敛域为[－1,0].
(2)
1
12
12
)1(
n
n
n
n
x
解.1||
12
||
lim2
12
x
n
x
n
n
n
,于是1||x.
当1x时,得
1
12
1
)1(
n
n
n
,收敛;当1x时,得
1
1
12
1
)1(
n
n
n
,收敛.于是原级数的收敛区域为[－1,1].
(3)
1
12
2
12
n
n
n
x
n
解.2||1
2
||
||
2
12
lim
2
12
x
x
x
n
n
n
n
n
，.当2x时,得数项级数
1
2
12
n
n
及
1
2
12
n
n
,通项都不趋于0,发散.
该级数的收敛区域为)2,2(.
(4)
1
2
9
)1(
n
n
n
n
x
解.1
9
|1|
9
|1|
lim
22
x
n
x
n
n
n
n
.当31x时得数项级数
1
1
n
n
,发散.该级数的收敛区域为(－2,4).
六.求下列级数的和:
(1)
1
12
1
12
)1(
n
n
n
n
x
解.1||
12
||
lim2
12
x
n
x
n
n
n
级数收敛,所以收敛半径为1.当1x时都得到交错级数.由莱布尼兹判别法知收敛.所以收敛区域
为[－1,1].令)(xs
1
12
1
12
)1(
n
n
n
n
x
.)('xs
2
1
221
1
1
)1(
x
x
n
nn
所以xdx
x
dxxsxsxxarctan
1
1
)(')(
0
2
0
,[－1,1].
(2)
1
)1(
n
nxnn
解.1||||)1(lim
xxnnn
n
n
收敛.当1x得
1
)1(
n
nn及
1
)1()1(
n
nnn都发散.所以收敛区域为(－1,1).
1
)1(
n
nxxnn
3
''
2
1
''
1
11
)1(
2
1
)1(
x
x
x
x
xxxxnn
nn
nn
积分二次,(－1,1)
(3)
1
2
)1(
n
n
n
n
x
解.1
2
|1|
2
|1|
lim
x
n
x
n
n
n
n
,所以当13x时收敛.
当1x时得数项级数
1
1
n
n
,发散;当3x时得数项级数
1
1
)1(
n
n
n
,收敛.于是收敛区域为[－3,1).
xx
n
n
x
n
n
n
n
n
n
dx
x
dx
x
dx
n
x
n
x
11
1
1
'
1
11
1
2
2
1
2
1
2
1
2
)1(
2
)1(
=
x
x
1
2
ln)1ln(2ln,[－3,1).
七.把下列级数展成x的幂级数:
(1)x
x
x
xfarctan
2
1
1
1
ln
2
1
)(
解.由第六题第3小题知
1
12
1
12
)1(arctan
n
n
n
n
x
x所以
xxxx
x
x
xfarctan
2
1
)]1ln()1[ln(
4
1
arctan
2
1
1
1
ln
2
1
)(
=
1
34
1
12
1
11
1
3412
)1(
2
1
)1(
4
1
n
n
n
n
n
nn
nn
n
n
x
n
x
n
x
n
x
,(－1,1)
(2)
xdx
x
x
xf
0
)1ln(
)(
解.
x
x)1ln(
=
1
1
1
1
1)1()1(
1
n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
x
,(－1,1]
1
2
1
0
1
1
1
0
)1()1(
)1ln(
)(
n
n
n
x
n
n
n
x
n
x
dx
n
x
dx
x
x
xf
由于
1
2
1
n
n
收敛,所以当1x时上述级数都收敛.所以
1
2
1
0
)1(
)1ln(
)(
n
n
n
x
n
x
dx
x
x
xf,[－1,1]
11常微分方程及差分方程简介
一.填空题
1.微分方程xxyycostan'的通解为_________.
解.先解xy
dx
dy
tan
xdx
y
dy
tan,解得xcycos
使用常数变易法.令xxcycos)(.所以
xcxcysincos''
代入原方程,得
xxcxcxccossinsincos'
1'c,所以
1
cxc.所以通解为
xcxycos)(
1
2.微分方程0)4(2dyxxydx的通解为________.
解.
y
dy
xx
dx
24
,于是
y
dy
dx
xx
4
11
4
1
.积分得
c
y
xxln|4|ln
4
1
||ln
4
1
.化简后得
xcyx
1
4)4(
3.微分方程xyy2''的通解为________.
解.特征方程012,=i
于是齐次方程通解为xcxcysincos
21
用算子法求非齐次方程特解xx
D
y2)2(
1
1
2
*
.所以
xxcxcy2sincos
21
4.微分方程
xeyyy2'2''的通解为________.
解.特征方程0222,=1i
于是齐次方程通解为)sincos(
21
xcxceyx
用算子法求非齐次方程特解
xxee
DD
y
22
1
2
*
.所以
xxexcxcey)sincos(
21
5.已知曲线)(xfy过点(0,
2
1
),且其上任一点(x,y)处的切线斜率为)1ln(2xx,则)(xf=_______.
解.由题设得微分方程:
2
1
)0(
)1ln(2
y
xx
dx
dy
.
)1()1ln(
2
1
)1ln(222xdxdxxxdy.所以
cxxxy)1(
2
1
)1ln()1(
2
1
222
.代入初始条件,得
cy
2
1
)0(
2
1
,于是c=0.得特解
]1)1)[ln(1(
2
1
22xxy
二.单项选择题
1.若函数)(xf满足关系式xdt
t
fxf2
0
2ln)
2
()(,则)(xf等于
(A)2lnxe(B)2ln2xe(C)2lnxe(D)2ln2xe
解.由原式两边求导,并以x=0代入原式,可得以下微分方程
2ln)0(
2
y
y
dx
dy
解得2ln2xey.(B)是答案.
2.微分方程1''xeyy的一个特解应具有形式(式中a、b为常数)
(A)baex(B)baxex(C)bxaex(D)bxaxex
解.将1xe看成
xe和1两个非齐次项.因为1是特征根,所以对应于
xe特解为
xaxe,对应于1的特解为b.因此原方程的特解为
baxex.(B)为答案.
三.解下列微分方程:
1.
1
)1()1(3
0|
22
x
y
yx
dx
dy
解.dxx
y
dy
2
2
)1(3
1
cxy3)1(arctan,c11arctan,1
4
c
所求特解为1
4
)1(arctan3
xy
2.0)1()1(2ydyxxdxy
解.
21)1(y
ydy
xx
dx
.两边积分立即可得
)1(
1
2
2
yc
x
x
3.1
1
yxdx
dy
解.令yxu,则
uudx
dy
dx
du1
1
1
11
所以cxyxcxudxudu2)(,2,22通解为
四.解下列微分方程:
1.
x
y
eyx
y
'
解.令
x
y
u.于是'',xuuyxuy.所以uexuuu'
,ue
dx
du
x
x
dx
dueu
cxeuln
,即0ln
cxex
y
xxdy22
解.
2
22
1
x
y
x
y
x
yxy
dx
dy
.(根式取负根式取正，00xx)
i)0x
令
x
y
u.于是'',xuuyxuy.所以
21'uuxuu
x
dx
u
du
21
,所以cxuulnln)1ln(2
c
x
uu
ln
1
ln
2
,得解
222cxyxy
ii)0x
令
x
y
u.于是'',xuuyxuy.所以
21'uuxuu
x
dx
u
du
21
,所以cxuuln||ln)1ln(2
cxuuln))(1ln(2,得解cyxy22
3.0cos)cos(dy
x
y
xdx
x
y
yx
x
y
x
y
x
y
x
y
x
x
y
yx
dx
dy
cos
cos1
cos
cos
令
x
y
u.于是'',xuuyxuy.所以
u
uu
xuu
cos
cos1
'
udx
du
x
cos
1
,
x
dx
uducos
两边积分,得cx
x
y
cxulnsinlnsin，即
五.解下列微分方程:
1.
xexyysincos'
解.这是一阶线性方程.
xexqxxpsin)(cos)(，
xxdxdxxpsincos)(
)()())((sinsinsinsin
)()(cxecdxeeecdxexqeyxxxx
dxxpdxxp
2.
x
xexyyx
1
22'
解.由原方程可得
x
xey
x
y
1
2
1
'.x
xexq
x
xp
1
2
)(
1
)(，
x
dx
x
dxxp
11
)(
2
)()())((
1111
)()(ceecdxeeecdxexqeyx
xxx
x
x
dxxpdxxp
3.)1(lnln'xaxyxxy
解.由原方程可得
xx
xax
y
xx
y
ln
)1(ln
ln
1
'
.
x
xa
xq
xx
xp
ln
)1(ln
)(
ln
1
)(
，
xdx
xx
dxxplnln
ln
1
)(
)
ln
)1(ln
())((lnlnlnln
)()(cdxe
x
xa
ecdxexqeyxx
dxxpdxxp
x
c
axcxax
x
cdxxa
xln
)ln(
ln
1
))1(ln(
ln
1
4.0sincossin'3xyxxy
解.由原方程可得
x
x
y
xx
y
cos
sin
cossin
1
'
2
.
x
x
xq
xx
xp
cos
sin
)(
cossin
1
)(
2
，
|tan|ln
cossin
1
)(xdx
xx
dxxp
))(()()(cdxexqeydxxpdxxp
xcxcxxcdx
xx
x
xtansin)cos(tan)
tan
1
cos
sin
(tan
2
六.解下列微分方程:
1.0)0(ctan'yxxyy，
解.这是一阶线性方程.xxqxxpc)(tan)(，
|cos|lntan)(xxdxdxxp
)(c)cosc(
cos
1
))(()()(cxxcxdxx
x
cdxexqeydxxpdxxp
ccy)0(0c)0(0,所以xxyc
2.1)0(cossincos'yxxxyy，
解.这是一阶线性方程.xxxqxxpcossin)(cos)(，
xxdxdxxpsincos)(
)sincos())((sinsin
)()(cdxexxecdxexqeyxx
dxxpdxxp
xxxxcexcexeesinsinsinsin1sin)(sin
21)0(1ccy，,所以
xexysin21sin
3.
4
)0(cos2sin'22
yyxeyxyx，
解.yxecxxyx2coscossin2'2,
2tan2'
cos
1
2
xxeyxy
y
令yutan,于是可得方程
22'xxexuu.所以
)
2
()())((
2
)()(2222c
x
ecdxexeecdxexqeuxxxx
dxxpdxxp
即)
2
1
(tan22cxeyx
.
cy)0(tan1,所以)1
2
1
(tan22xeyx
七.解下列方程:
1.02'22''yyy
解.特征方程为02222,2
2,1
.
通解为
xexccy2
21
)(
2.03'2''yyy
解.特征方程为0322,21
2,1
i.
通解为)2sin2cos(
21
xcxceyx
3.03'2''yyy
解.特征方程为0322,13
21
，.
通解为
xxececy
2
3
1
八.解下列方程:
1.
xexxyyy223)1(4'4''
解.特征方程为0442,2
2,1
齐次方程通解为
xexccy2
21
)(
非齐次方程特解为
xexx
D
y223
2
)1(
)2(
1
*
)1(
)22(
1
23
2
2xx
D
ex
xexxx22532)
2524
1
32
1
21
1
(
非齐次方程通解为
*yyyxexcc2
21
)(xexxx22532)
2524
1
32
1
21
1
(
2cos2'3''
解.特征方程为0232,12
21
，
齐次方程通解为
xxececy2
21
非齐次方程特解为xBxAy2sin2cos*
代入原方程解得
20
3
20
1
BA，.所以xxy2sin
20
3
2cos
20
1
*
非齐次方程通解为
*yyyxxecec2
21
)2sin32(cos
20
1
xx
3.
xxeyyy5'2''
解.特征方程为0122,1
2,1
齐次方程通解为
xexccy)(
21
非齐次方程特解为
xxxexx
D
exe
D
y3
226
5
)11(
1
55
)1(
1
*
非齐次方程通解为
*yyyxxexexcc3
216
5
)(
4.123'2''22xxyyy
解.特征方程为03222,
2
5
2
1
2,1
i
齐次方程通解为xcxcy
2
5
sin
2
5
cos
21
非齐次方程特解为)12)(
27
2
9
2
3
1
()12(
223
1
*222
2
xxDDxx
DD
y
27
25
9
2
3
1
2xx
非齐次方程通解为
*yyy
27
25
9
2
3
1
2
5
sin
2
5
cos2
21
xxxcxc
5.1'''2xyy
解.特征方程为02,10
21
，
齐次方程通解为
21
cecyx
非齐次方程特解为)(*2CBxAxxy
代入原方程解得31
3
1
CBA，，.所以xxxy3
3
1
*23
非齐次方程通解为
*yyy
21
cecxxxx3
3
1
23
12函数方程与不等式证明
一.证明不等式
2
1
1
11
2
1
1
ln)1(n
a
a
aa
n
annnn
.(a>1,n1)
证明:令
xaxf)(,在
nn
1
,
1
1
上使用拉格朗日定理
)1(
1
ln
)
1
11
)((')
1
1
()
1
(
1
11
nn
aaaa
nn
f
n
f
n
f
nn
即
)1(ln
1
11
nn
a
a
aann
所以
2
1
1
11
2
1
1
ln)1(n
a
a
aa
n
annnn
.(a>1,n1)
二.若a0,b0,0
pppbaba)(
证明:令
pppbxbxxf)()(
显然f(0)=0.当x0时,因为0
0)()('11pppxbxpxf
所以当x0时,f(x)单减,所以f(a)f(0)=0.所以
0)(pppbaba
即得
pppbaba)(
三.设函数f(x)在[0,1]上有连续导数,满足0)0(1)('0fxf且.求证
1
0
3
2
1
0
)()(dxxfdxxf
证明:令
xxdttfdttfxF
0
3
2
0
)()()(,显然F(0)=0.因为0)0(1)('0fxf且,所以当x>0时f(x)>0.
)()()(2)('3
0
xfdttfxfxFx
=
)()(2)(2
0
xfdttfxfx
(1)
令)()(2)(2
0
xfdttfxx,显然(0)=0.
0))('1)((2)(')(2)(2)('xfxfxfxfxfx
所以当x>0时,(x)>0.由(1)知0)('xF(x>0).当x>0时F(x)F(0)=0.所以F(1)F(0)=0.立即得到
1
0
3
2
1
0
)()(dxxfdxxf
四.求证
ppppbaba|)||(|2||||1
,(0
求证:先证当0x1,0
1)1(21pppxx
令
ppxxxF)1()(
11)1()('ppxppxxF.)('xF0得
2
1
x.1)0()1(2)
2
1
(1FFFp，.所以
为最小值为最大值，1)0()1(2)
2
1
(1FFFp
.所以当0x1,0
1)1(21pppxx
2令
||||
||
ba
a
x
,则
||||
||
1
ba
b
x
.代入上述结论,立即得到
1
|)||(|
||
|)||(|
||
21
p
p
p
p
p
ba
b
ba
a
即
pppppbababa|)||(|2|||||)||(|1
,(0
五.求证:若x+y+z=6,则12222zyx,(x0,y0,z0).
证明：方法1:
xzyzxyzyx222)(2222
)(236
222)(
222
2222
zyx
xzyzxyzyxzyx
所以36)(3222zyx,12222zyx
方法2:
解以下条件极值问题:
6
),,(222
zyx
zyxzyxs
条件：
令F(x,y,z,)=x2+y2+z2－(x+y+z－6)
02'xF
x
,02'yF
y
,02'zF
z
解得x=y=z=2.只有一个驻点,当x=y=z=2时达到最小值12.所以
12222zyx,(x0,y0,z0)
六.证明:1若f(x)在[a,b]上是增加的，且在其上0)(''xf，则
2
)()(
)()()()(
bfaf
abdxxfafabb
a
2若f(x)在[a,b]上是增加的，且在其上0)(''xf，则
2
)()(
)()()()(
bfaf
abdxxfbfabb
a
证明：1方法1:因为f(x)是增加的,所以对于[a,b]中的一切x,有f(x)>f(a),所以
))(()(abafdxxfb
a
令
2
)()(
)()()(
xfaf
axdttfxFx
a
2
)('
)(
2
)()(
2
)('
)(
2
)()(
)()('
xf
ax
afxfxf
ax
xfaf
xfxF
ax
xfaxf
(
2
)('
2
))(('
)()xa
=0)](')(')[(
2
1
xffax(因为0)(''xf)
所以F(x)单增.又因为F(a)=0,所以F(b)>F(a)=0.立即可得
2
)()(
)()(
bfaf
abdxxfb
a
方法2:将f(x)台劳展开
t,x,
2)(
!2
)(''
))((')()(xt
f
xtxfxftf
所以
2
1)(
!2
)(''
))((')()(xa
f
xaxfxfaf
2
2)(
!2
)(''
))((')()(xb
f
xbxfxfbf
2
2
2
1)(
!2
)(''
)(
!2
)(''
)('2))((')(2)()(xb
f
xa
f
xxfbaxfxfbfaf
上式二边积分得b
a
b
a
dxxfbadxxfabafbf)(')()(2)))(()((
dxxb
f
xa
f
dxxxfb
a
b
a
2
2
2
1)(
!2
)(''
)(
!2
)(''
)('2
所以
b
a
b
a
dxxf
a
b
xxfafbfbadxxfabafbf)(2)(2))()()(()(2)))(()((
)(2)(2)()()()()(4aafbbfabfbbfaafbafdxxfb
a
))()()(()(4bfafabdxxfb
a
于是b
a
dxxfafbfab)(4))()()((2
即
b
a
dxxfafbf
ab
)())()((
2
2证法同1.
注:无论方法1,2,右边的不等式都不需要f(x)单增的条件.
七.证明:1
n
xxx
n
xxx
nn
22
2
2
121
2n
n
nxxx
n
xxx
21
21
证明:1方法一:先证
n
k
k
n
k
k
n
k
kk
baba
1
2
1
2
2
1
由02)(
1
2
1
2
1
2
1
2
n
k
k
n
k
kk
n
k
k
n
k
kk
bxbaxabxa
得到
n
k
k
n
k
k
n
k
kk
baba
1
2
1
2
2
1
上述不等式中令
n
bxa
kkk
1
，,得到
n
nx
n
x
n
k
k
n
k
k1
1
2
2
1
即
n
xxx
n
xxx
nn
22
2
2
121
.
方法二:令
2)(xxf,
n
ppp
n
1
21
因为02)(''xf
所以)()()(
1111nnnn
xfpxfpxpxpf
即
n
xx
n
xx
nn
22
1
2
1)(
即
n
xxx
n
xxx
nn
22
2
2
121
2取f(x)=lnx,0
1
)(''
2
x
xf.令p1=p2=…=pn=1/n.
所以n
nn
nxxx
n
x
nn
xx
11
1lnln
1
ln
1
ln
立即得到n
n
nxxx
n
xxx
21
21
.
八.设],[)(''bacxf,且0)()(bfaf,求证:
|)(''|max
12
)(
)(
3
xf
ab
dxxf
bxa
b
a
证明:方法1:b
a
b
a
xdfbxaxdxbxaxxf)('))((
2
1
))()((''
2
1
=dxbaxxf
a
b
xfbxax)2)(('
2
1
)('))((
2
1
=b
a
b
a
dxxf
a
b
baxxfxdfbax2)(
2
1
)2)((
2
1
)()2(
2
1
=b
a
dxxf)(
所以|b
a
dxxf)(|=b
a
b
a
dxbxaxxfdxbxaxxf|))()((''|
2
1
))()((''
2
1
b
a
bxa
dxxbaxxf))((|)(''|max
2
1
=|)(''|max
12
)(3
xf
ab
bxa
方法2：t,x,
2)(
!2
)(''
))((')()(xt
f
xtxfxftf
所以0=
2)(
!2
)(''
))((')()(xa
f
xaxfxfaf
2)(
!2
)(''
))((')(xa
f
axxfxf
b
a
b
a
b
a
dxax
f
dxaxxfdxxf2)(
!2
)(''
))((')(
=b
a
b
a
dxaxfdxxf
a
b
axxf2))((''
2
1
)())((
所以b
a
b
a
dxaxfdxxf2))((''
4
1
)(
于是
b
a
bxa
b
a
b
a
dxaxxfdxaxfdxxf22)(|)(''|max
4
1
)(|)(''|
4
1
|)(|
=|)(''|max
12
)(3
xf
ab
bxa
九.若)('xf在[0,2]上连续,且)('xf0,n(正整数)有
n
ff
nxdxxf
)]0()2([2
sin)(2
0
证明:2
0
sin)(nxdxxf=
2
0
cos)(
1
nxdxf
n
=
2
0
cos)('
1
))0()2((
1
nxdxxf
n
ff
n
所以)]0()2([
2
)('
1)0()2(
sin)(2
0
2
0
ff
n
dxxf
nn
ff
nxdxxf
十.设在[a,b]上0)(''xf,a
])1([)()1()(
2121
xxfxfxf
证明:)('))(1()())1((
112221
fxxxfxxf(1)
)(')())1(()(
212212
fxxxxfxf(2)
(1)×－(2)×(1－)得到
)](')(')[)(1()()1()())1((
21122121
ffxxxfxfxxf
)()1()()](')(')[)(1())1((
21121221
xfxfffxxxxf
)()1()()(''))(1())1((
211221
xfxffxxxxf
因为0)(''f,所以
])1([)()1()(
2121
xxfxfxf
14微积分在经济中的应用
一．生产某产品的固定成本为10,而当产量为x时的边际成本函数为
232040'xxC,边际收益为xR1032',试求:(1)
总利润函数;(2)使总利润最大的产量.
解.CxxxdxxxdxCRxL32258)3108()''()(
因为L(0)=10,所以C=10.于是
1058)(32xxxxL
03108)('2xxxL,解得
3
4
,2xx.
xxL610)(''.02)
3
4
('',022610)2(''LL,所以当x=2时总利润最大.
二.设某商品的需求量Q是单价P(单位:元)的函数:Q=12000－80P;商品的总成本C是需求量Q的函数:C=25000+50Q;每单位商
品需要纳税2元,试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额.
解.设利润为L(p),则
)8012000(2)8012000(5025()(pppppL
4)('pppL,所以
p=101
0160)(''pL,所以0160)101(''L,所以p=101时L(p)达到极大,也达到最大.即p=101时销售利润最
大.此时
167080)101(
max
LL(元)
三.一商家销售某种商品的价格满足关系P=7－(万元/吨),x为销售量(单位:吨),商品的成本函数13xC(万元).(1)若每销
售一吨商品政府要征税t(万元),求该商家获最大利润时的销售量;(2)t为何值时,政府税收总额最大.
解.设L(x)为利润函数,则
xtxxxxL13)2.07()(
034.07)('txxL
)4(
2
5
tx
设税收总额为
2
2
5
10)4(
2
5
)(ttttxttf.2,0)('ttf.即t=2时政府税收总额最大.
四.设某企业每月需要使用某种零件2400件,每件成本为150元,每年库存费为成本的6,每次订货费为100元,试求每批订货量为多
少时,方使每月的库存费与订货费之和最少,并求出这个最少费用(假设零件是均匀使用).
解.方法一:假设每次订货量为x个.因为假设零件是均匀使用的,所以可以认为库存量总是
2
x
.
每月订货费用:100
2400
x
;每月库存费用:
212
1
06.0150
x
所以每月总费用为:
212
1
06.0150100
2400x
x
S
09
24
11024
'
2
4
x
S
所以600,800Sx(元)
方法二:因为零件是均匀使用的,所以每天使用零件为80
30
2400
个(假设每月为30天,每年12个月为360天).80个零件库存1天的
库存费为元）(2
360
06.015080
.又设每批订货量相同,每月订货N次,每次订货
N
2400
个,每批零件使用
NN
30
80
2400
天.所
以,每批零件中第一天使用的80个零件没有库存费;第二天使用的80个零件要库存1天,第三天使用的80个零件要库存2天,….所
以,每月库存费及订货费总和为
100))1
30
(21(2N
N
NS
=10030
900
100
2
)1
30
()1)1
30
((
2
N
N
N
NN
N
0100
900
2
NdN
dS
,N=3.0
1800
32
2
NdN
Sd
(N=3)
所以,当N=3,即每批订货量为800件时费用最小.最小费用为
570100330
3
900
S(元)
本文发布于:2023-01-19 13:18:45，感谢您对本站的认可！
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