高阶无穷大

关于⾼阶⽆穷⼩的解释以及运算

最近在进⾏⼀些公式推导时常常被⾼阶⽆穷⼩这个概念折磨的崩溃。⾼阶⽆穷⼩的定义我也看懂了，但是看别⼈推导公式时突然出现⼀个⾼

阶⽆穷⼩量，仍然看的的我⼀脸懵逼。通过⼀天的探究（折磨），终于把⾼阶⽆穷⼩这个概念给弄懂了，原来它是⼀个集合，并不是⼀个可

以直接纳⼊代数运算的量，现在将其记下来以帮助以后有类似困惑的⼈，看完这个博客你⾄少能解锁如下技能：

1、⾼阶⽆穷⼩到底是个啥玩意

2、再也不⽤背⾼阶⽆穷⼩的计算公式了

3、进⾏公式推导或计算时也莫名其妙的给个⾼阶⽆穷⼩把痛苦和迷惑留给别⼈

⼀、⾼阶⽆穷⼩到底是啥玩意

为了能让公式更好写，下⾯所有的lim指的都是x趋向于0时的极限。根据⾼阶⽆穷⼩的定义，若limf(x)=0,limg(x)=0(g(x)不等于0),且

lim[f(x)/g(x)]=0,则称f(x)是g(x)的⾼阶⽆穷⼩，记作f(x)=O(g(x))。看到这你是不是以为O(g(x))等于⼀个函数？错！O(g(x))等于⼀个极

限，别忘了公式中有⼀个⼤的前提就是x趋向0，这是我们最容易搞糊涂的地⽅，⼀定要记住O(g(x))=limf(x)，或者你以后看到公式中有⾼

阶⽆穷⼩量，那么说明这个公式⼀定是在⼀个极限的⼤条件下进⾏推导的，可能公式⾥⾯不会带上极限符号（图省事），但是这个公式的前

提条件⼀定是某个极限过程！切记！

那么⾼阶⽆穷⼩到底是啥玩意呢？假设O(g(x))=limf(x)，若g(x)=x^n,那么f(x)就可以等于x^(n+1),x^(n+2),x^(n+3)....,总之f(x)只需要确

保在极限过程中趋向于0，且⽐g(x)⾼阶的函数就可以了，这⾥⾼阶的情况有好多种，⽐如幂的次⽅更⾼，或者因式分解后出现了幂的次⽅

更⾼的项，最笨的⽅法就是直接使⽤定义lim[f(x)/g(x)]=0，只要满⾜这个等式f(x)就是g(x)的⾼阶⽆穷⼩，⼀般的

O(g(x))={f(x)|lim[f(x)/g(x)]=0}

上⾯是最关键的地⽅就是O(g(x))的值是⼀个集合。读者可以细细品味。因为它是⼀个集合，所以O(g(x))可以为集合⾥⾯的任意⼀个元素，

集合⾥⾯任意⼀个元素也都可以表⽰为O(g(x))，我们在公式推导或证明的时候就可以拿集合⾥⾯最简单的元素来进⾏推导。

⼆、⾼阶⽆穷⼩的计算的解释

1、O(x^m)[+/-]O(x^n)=O(x^n)(m>n)

思路：O(x^n)等于⼀个集合，不妨从集合⾥⾯拿出⼀个最⼩的即lim[x^(n+1)],同理O(x^m)拿出lim[x^(m+1)]

lim[x^(n+1)]+lim[x^(m+1)]=lim[x^(n+1)(1+x^(m-n))]

lim[x^(n+1)(1+x^(m-n))]明显是O(x^n)对应的集合中的⼀个元素

类似的：O(x^m)-O(x^n)=lim[x^(n+1)(x^(m-n)-1)]

lim[x^(n+1)(x^(m-n)-1)]也是O(x^n)对应的集合中的⼀个元素（因为m⼤于n）

因为我们是从集合中拿的最⼩的元素，最⼩的元素都成⽴那么拿其他元素上式⼦肯定也成⽴。

2、O(x^m)/O(x^n)=0(m>n)

相同的思路：O(x^m)/O(x^n)=lim[x^(m+1)]/lim[x^(n+1)]

=lim[x^(m)/x^(n)]=lim[x^(m-n)]=0

相同的⽅法可以解释⾼阶⽆穷⼩的其他计算

三、特别要注意的

1、⾼阶⽆穷⼩的前提是在⼀个极限过程中才会出现，如果你的公式的⼤前提不是⼀个极限过程，那么⾼阶⽆穷⼩就不会有任何含义。

2、⾼阶⽆穷⼩是⼀个集合，它可以等于集合中的任意⼀个元素，集合中的任意⼀个元素都属于对应的⾼阶⽆穷⼩，由于⾼阶⽆穷⼩不参加

具体的计算（通常⽤作最终结果的评估），所有我们可以直接⽤⾼阶⽆穷⼩表⽰它所代表的集合中的任意⼀个元素。可以理解为，⼀个代数

计算如果属于某个⾼阶⽆穷⼩，那么你就可以把这个代数计算⽤它所对应的⾼阶⽆穷⼩（O(g(x))）来表⽰，这样这个代数计算就可以不参

加公式中其他具体的代数运算了（计算更省事），最终结果只要对公⽰中的⾼阶⽆穷⼩进⾏相应的评估就⾏了。（具体操作可以去看看佩亚

诺（Peano）余项泰勒公式推导过程）