什么是反函数

课题反函数教学设计

作者及工

作单位

吴保宏兰州第三中学

指导思想与理论依据

将自己在本节课教学中的亮点设计所依据的指导思想或者核心教育教学理论简述即可，指导思想和

依据的教育理论应该在后面的教学过程中明确体现出来。本部分内容必须和实际的教学内容紧密联

系，避免出现照搬课标中整个模块的教学指导思想等情况

函数是数学的主线之一，为了体现以学生发展为本，遵循学生的认知规律，体现

循序渐进与启发式的教学原则，我采取引导发现式教学方法进行教学。即通过创设情

景，启发学生思考，让学生叙述发现和归纳知识和方法。同时体会数学概念形成过程

中所蕴涵的数学方法，获得成功的情感体验。因为反函数是两个函数之间的关系，

所以在进行教学时，我利用了非空数集间的映射与它的逆映射之间的关系，通过学生

观察总结，明确原函数与反函数之间的关系，培养学生发现问题、观察问题、解决问

题的能力，并在此过程中感受特殊到一般的辩证思想。理解原函数与反函数之间的关

系.

教材分析

（可以从以下几个方面进行阐述，不必面面俱到）

课标中对本节内容的要求；本节内容的知识体系；本节内容在教材中的地位，前后教材内容的逻辑关

系。

本节核心内容的功能和价值（为什么学本节内容），不仅要思考其他内容对本节内容学习的帮助，本

节内容的学习对学科体系的建立、其他学科内容学习的帮助；还应该思考通过本节内容的学习，对

学生学科能力甚至综合素质的帮助，以及思维方式的变化影响等。

反函数是函数概念的延续，可加深学生对函数基本概念的理解，还可以为紧接

着的对数函数、三角函数的教学做好准备,起着承上启下的重要作用。

学情分析

（可以从以下几个方面进行阐述，但不需要格式化，不必面面俱到）

教师主观分析、师生访谈、学生作业或试题分析反馈、问卷调查等是比较有效的学习者分析的测量

手段。

学生认知发展分析：主要分析学生现在的认知基础（包括知识基础和能力基础），要形成本节内容应

该要走的认知发展线，即从学生现有的认知基础，经过哪几个环节，最终形成本节课要达到的知识。

学生认知障碍点：学生形成本节课知识时最主要的障碍点，可能是知识基础不足、旧的概念或者能力

方法不够、思维方式变化等。

由于函数内容对高一学生来说，本身是个难点，所以在教学时，本人先复习了映

射与函数的概念以及二者之间的关系，在此基础上通过图形展示，学生观察与总结，

老师完善形成概念.

教学目标

（教学目标的确定应注意按照新课程的三维目标体系进行分析）

知识目标：使学生了解反函数的概念，初步掌握求反函数的方法

能力目标：培养学生发现问题、观察问题和解决问题的能力

情感目标：让学生在民主和谐的共同活动中感受探索学习的乐趣。

教学重点和难点

教学重点：反函数概念的形成与认识

教学难点：反函数的求法

教学流程示意

（按课时设计教学流程，教学流程应能清晰准确的表述本节课的教学环节，以及教学环节的核心活

动内容。因此既要避免只有简单的环节，而没有环节实施的具体内容；还要避免把环节细化，一般

来说，一节课的主要环节最好控制在4~6个之间，这样比较有利于教学环节的实施。）

教学流程：复习引入→引例展示→反函数概念→概念探究总结→例

题讲解→课堂练习归纳小结

教学过程（教学过程的表述不必详细到将教师、学生的所有对话、活动逐字记录，但是应该把主要

环节的实施过程很清楚地再现。）

教学环

节

教师活动预设学生行为设计意图

1.复习

引入

1.什么叫映射？，函数

与映射的关系是什么？下

列两个从集合A到B,A到

C的对应是函数吗？为什

么？如果是，写出函数的

解析式

2.倒过来，从集合B到A,C

到A的对应是函数吗？为

什么？如果是，请写出函

数解析式？

3.函数y=2x，

1,2,3,4x的反函数解

析式是什么？

1.从函数与映射的关系

出发，从具体事例出发，

让学生通过分组讨论判

断数集之间映射的逆映

射是否为函数，构成函数

的条件是什么？

2.通过这个例子引出反

函数的概念，让学生探讨

归纳反字的意义.

3.学生讨论

2

y

x它不符

合我们的习惯，我们习惯

用x表示自变量，用y

表示函数值，故可改写成

2

x

y,

由于反函数是一

种特殊的函数，所

以一定要讲清它

的特殊性以及它

和原函数之间的

关系，是学生明白

反函数体现的是

两个函数之间的

关系，特别要强调

反字,所以设计问

题时，从函数与映

射的关系出发，从

具体事例出发，让

学生判断数集之

间映射的逆映射

是否为函数

概念讲

解

例题讲

解

课堂练

习

1.教师板书概念

探讨1：什么样的函数

有反函数？

存在反函数的条件是定

义域与值域是一一对应的.

探讨2：反函数中的“反”

字应当是相对原来的函数而

言，你能否从函数的三要素

角度解释“反”字的含义呢？

对应法则互逆,定义域､

值域互换.

探讨3：如果一个函数存

在反函数，那么如何求这个

函数的反函数呢？

求y=f(x)的反函数有三

个步骤:①由y=f(x)解得

x=f-1(y)(反解);②将x与y互

换,得y=f-1(x);③写出反函数

的定义域,即原函数的值域.

显然y=f(x)⇔x=f-1(y).

例1．求下列函数的反函

数：

（1）

)0(1xxy

；

（2）

23

(1)

1

x

yx

x







；

例2.求f(x)=x2-4x+2

(x≤2)的反函数

变式：

2

-1

f(x)x42

(x2),f(2)

x



若

求

1.2yx（x≤0）

2.

5

x-

353

x

y

x





（）

1.学生利用特殊到一

般的思想归纳总结反函数

概念，理解反概念的本质

2.启发学生：既然反

函数也存在三要素，那如何

一一求出，得到具体的反函

数呢？

1.学生总结函数的一

般步骤分三步，一解、二换、

三注明

2.通过练习巩固

3.思考：原函数图象

与反函数图象之间有什么

关系？互为反函数的两个

函数，它们的单调性有何联

系？

函数首先是一个函

数，即每一个y都有

唯一的x和它对应，

其次反体现了它和

另一个函数的关系）

要引导学生找出关

键----通过解关于x

的方程，将x用y表

达，以得到反函数的

表达式.这个表达式

中的x、y表示什么？

这和我们通常的函

数表达式有什么区

别？进而引导学生

想到交换x、y得到

我们习惯使用的函

数表达式.

二次函数在指

定区间上的反函数

可以用求根公式反

求x，也可以用配方

法求x，但开方时必

须注意原来函数的

定义域.

板书设计：

教学反思

板书设计：

§2.4.1反函数

1．反函数的概念

注意:①②③

例1

例2.

2.求反函数的基本步骤

课后反思：

在教学过程中，教师通过设疑启发、引导，再结合学生分组讨论，探究总结，突出了学生

的教学主体地位，实现了新课程中师生都是主体的教育教学理念，以积极的双边活动使学生

主动自觉地发现概念、发现方法。培养了学生的观察分析能力和思维的全面性。具体教学中，

教师创设问题情境，学生在这一情境中去讨论分析、探究发现，以符合学生思维的形式发展

了学生的能力，达到了教学目标，优化了整个教学。