画一条直线变成两个三角形

一年级奥数讲座（二）

目录

第一讲认识图形（一）

第二讲认识图形（二）

第三讲认识图形（三）

第四讲数一数（一）

第五讲数一数（二）

第六讲动手画画

第七讲摆摆看看

第八讲做做想想

第九讲区分图形

第十讲立体平面展开

第十一讲做立体模型

第十二讲图形的整体与部分

第十三讲折叠描痕法

第十四讲多个图形的组拼

第十五讲一个图形的等积变换

第十六讲一个图形的等份分划

第十七讲发现图形的变化规律

第一讲认识图形（一）

1．这叫什么？这叫“点”。

用笔在纸上画一个点，可以画大些，也可以画小些。点在纸上占一个位置。

2．这叫什么？这叫“线段”。

沿着直尺把两点用笔连起来，就能画出一条线段。线段有两个端点。

3．这叫什么？这叫“射线”。

从一点出发，沿着直尺画出去，就能画出一条射线。射线有一个端点，另一

边延伸得很远很远，没有尽头。

4．这叫什么？这叫“直线”。

沿着直尺用笔可以画出直线。直线没有端点，可以向两边无限延伸。

5．这两条直线相交。

两条直线相交，只有一个交点。

6．这两条直线平行。

两条直线互相平行，没有交点，无论延伸多远都不相交。

7．这叫什么？这叫“角”。

角是由从一点引出的两条射线构成的。这点叫角的顶点，射线叫角的边。角

分锐角、直角和钝角三种。

直角的两边互相垂直，三角板有一个角就是这样的直角。教室里天花板上的

角都是直角。

锐角比直角小，钝角比直角大。

习题一

看看想想

1．点（1）看，这些点排列得多好！

（2）看，这个带箭头的线上画了点。

2．线段下图中的线段表示小棍，看小棍的摆法多有趣！

（1）一根小棍。可以横着摆，也可以竖着摆。

（2）两根小棍。可以都横着摆，也可以都竖着摆，还可以一横一竖摆。

（3）三根小棍。可以像下面这样摆。

3．两条直线

哪两条直线相交？

哪两条直线垂直？

哪两条直线平行？

4．你能在自己的周围发现这样的角吗？

第二讲认识图形（二）

一、认识三角形

1．这叫“三角形”。

三角形有三条边，三个角，三个顶点。

2．这叫“直角三角形”。

直角三角形是一种特殊的三角形，它有一个角是直角。它的三条边中有两条

叫直角边，一条叫斜边。

3．这叫“等腰三角形”。

它也是一种特殊的三角形，它有两条边一样长（相等），相等的两条边叫

“腰”，另外的一条边叫“底”。

4．这叫“等腰直角三角形”或叫“直角等腰三角形”。它既是直角三角形，

又是等腰三角形。

5．这叫“等边三角形”。

它的三条边一样长（相等），三个角也一样大（相等）。

二、认识四边形

1．这叫“四边形”。

四边形有四条边，内部有四个角。

2．这叫“等腰梯形”。

它是一种特殊的四边形，它的上下两边平行，左右两边相等。平行的两边分

别叫上底和下底，相等的两边叫腰。

3．这叫“平行四边形”。

它的两组对边分别平行而且相等，两组对角分别相等。

4．这叫“长方形”。

它的两组对边分别平行而且相等，四个角也都是直角。

5．这叫“菱形”。

菱形的四条边都相等，对角分别相等。

6．这叫“正方形”。

正方形的四条边都相等，四个角都是直角。

三、认识圆和扇形

1．这叫“圆”。

圆是个很美的图形。圆中心的一点叫圆心，圆心到圆上一点的连线叫圆的半

径，过圆心连接圆上两点的连线叫圆的直径。

直径把圆分成相等的两部分，每一部分都叫“半圆”。

2．这叫“扇形”。

圆的一部分叫“圆弧”。由一条圆弧和两条半径构成的图形叫“扇形”。

习题二

1．用橡皮筋在钉子板上套出各种图形。

2．观察周围的物体，你还能发现哪些图形？如：

第三讲认识图形（三）

1．这叫“长方体”。

长方体有六个面，十二条棱，八个顶点。长方体的面一般是长方形，也可能

有两个面是正方形。互相垂直的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。

2．这叫“正方体”。

正方体有六个面，十二条棱，八个顶点。正方体的每个面都是同样大的正方

形，所以它的十二条棱长都相等。

3．这叫“圆柱”。

圆柱的两个底面是完全相同的圆。

4．这叫“圆锥”。

圆锥的底面是圆。

5．这叫“棱柱”。

这个棱柱的上下底面是三角形。它有三条互相平行的棱，叫三棱柱。

6．这叫“棱锥”。

这个棱锥的底面是四边形。它有四条棱斜着立起来，所以叫四棱锥。

7．这叫“三棱锥”。

因为它有四个面，所以通常又叫“四面体”。它的每个面都是三角形。

8．这叫“球体”。简称“球”。球有球心，球心到球面上一点的连线叫球

的半径。

习题三

看看摸摸，并在自己周围寻找具有这些形状的物体。

1．长方体

2．正方体

3．圆柱

4．圆锥

5．棱锥

6．球

第四讲数一数（一）

例1数一数，下图中有几个正方形、几个等边三角形、几个圆？

例2数一数，下图中共有多少点？

1+3+6+9+12=31

共有31个点。

例3数一数，下图中有几条线段？

照下面的方法数：

3+2+1=6（条）。

例4数一数，下图中有几个锐角？

照下面的方法数：

3+2+1=6（个）。

习题四

1．数一数，下图中有几个锐角？几个直角？几个钝角？

2．数一数，下图中有几个等边三角形？有几个等腰三角形？有几个直角三

角形？有几个等腰直角三角形？

3．数一数，下图中有几个正方形？有几个长方形？有几个平行四边形？几

个四边形？

4．数一数，下图中共有多少点？

5．数一数，下图中共有几条线段？

6．下图中共有10条线段，你能把它们都找出来吗?

7．数一数，下图中有几个锐角？

8．下图中共有10个角，你能把它们都找出来吗？

习题四解答

1．图中有3个锐角、3个直角、3个钝角。

2．图中有1个等边三角形、4个等腰三角形、2个直角三角形、1个等腰直

角三角形。

3．图中有2个正方形、3个长方形、5个平行四边形、6个四边形。

4．图中共有41个点。1+4+8+12+16=41（个）。

5．图中共有3条线段。

2+1=3（条）。

6．数线段的方法如下：

4+3+2+1=10（条）。

7．图中共3个锐角。

8．数角的方法如图：

4+3+2+1=10

第五讲数一数（二）

数复杂的图形需要较强的观察能力，要细心，做到不重不漏。

例1数一数，右图中有多少个三角形？

照书上的方法数，共4个三角形。

例2数一数，右图中共有多少个三角形？

照书上的方法数，共8个三角形。

例3数一数，右图中共有多少个正方形？

照书上的方法数，共有10个正方形

4+5+1=10（个）。

例4数一数，右图中共有多少个长方形？

照书上的方法数共有5个长方形。

习题五

1．数一数，右图中有几个三角形？

2．数一数，右图中有几个三角形？

3．右图中有8个三角形，请你把它们都找出来。

4．数一数，右图中有几个长方形？

5．下图有7个长方形，请你都找出来。

6．数一数，右图中有几个正方形？

7．左图中共有14个正方形，请你都找出来。

8．数一数，右图中共有几个正方形，几个三角形？

9．数一数，左图中有几个圆？

10．右图中共有27个三角形，请你都找出来。

11．数一数，右图中共有多少个三角形？

第六讲动手画画

例1画点用铅笔在纸上画点。

例2画线段先画两个端点，再使尺子的一边与两点靠近。左手按住尺子，右手

拿铅笔沿着尺子边从一点画到另一点。

例3画直线把尺子放在纸上，用左手按住，用右手拿着笔从左往右画。（虽然

画出的只是一段，但可以把它想像成是向两端延伸得很远很远）

例4画直角左手按住三角板，右手拿着铅笔沿三角板的两条直角边可画出直

角。

例5画圆

习题六

1．画点

（1）随意画

（2）照图画

2．画线

（1）随意画

（2）用尺比着画线段（看成线段）

3．画角

（1）随意画

（2）用三角板画一个直角、三个锐角。

4．画长方形和正方形（在方格纸上画）。

5．使用三角板和圆规画出各种图样。

6．同学们合作，利用小棍（或粉笔）和细绳，在地面上画大圆。一人把线

的一端按在地上不动，另一人把小棍（或粉笔）捆在细绳上，让细绳时刻拉紧转

圈，这时小棍（或粉笔）就能在地上画出一个大圆。

第七讲摆摆看看

例1用两根火柴棍，摆成一个锐角、一个直角、一个钝角。

例2用四根火柴棍摆出两条平行直线，再摆出两条相交直线。

例3用火柴棍摆出一个三角形、一个正方形、一个菱形、一个长方形、一个平

行四边形、一个等腰梯形、一个五边形、一个六边形、一个八边形。

例4用三根火柴棍可以摆出一个三角形，如图。

（1）再加两根火柴棍，摆出两个三角形。

（2）再加两根，摆出三个三角形来。

（3）再加两根，摆出五个三角形来。

解摆一个三角形必需三根火柴棍，这样计算，摆两个三角形就需要六根。但是

现在只给你增加两根，却要求你用五根摆出两个三角形，可见必有一根火柴棍要

供两个三角形公用才行。同样道理，再加两根后共七根要摆三个三角形还差两根，

所以必须有两根公用。

再给两根后共九根火柴棍，要摆五个三角形。摆法如图所示。可以看出九根

火柴棍摆出了三个“正立”的小三角形，同时中间还出现了一个“倒立”的小三

角形，它并没有额外需要增加火柴棍。而且最外面的六根火柴棍又形成了一个大

三角形。所以这九根火柴棍共摆出了五个三角形。

习题七

1．用两根小木棍，摆成一个很小的锐角，然后慢慢地挪动一根，使锐角渐

渐变大。如果继续转动小棍，将会出现什么角？

2．如右图所示，用火柴棍摆了五个三角形。

（1）拿掉哪三根，就可以变成一个三角形？

（2）拿掉哪两根，就可变成两个三角形？

（3）拿掉哪一根，就可变成三个三角形？

3．如右图所示，用火柴棍摆了五个正方形。

（1）请你拿掉两根，剩下三个正方形。

（2）请你拿掉两根，剩下两个正方形。

4．如下图所示，用火柴棍摆了六个三角形。如果拿掉三根火柴棍就变成了

三个三角形，应该拿掉哪三根？试试看。

5．如右图所示，用16根火柴棍摆了四个正方形。你能用15根、14根、13

根火柴棍也分别摆成四个小正方形吗？摆摆看。

习题七解答

1．慢慢转动小棍的过程中锐角逐渐变大，之后出现直角，直角再变大随之

出现钝角。

2．

3．

4．

5．

第八讲做做想想

例（1）用下图中那样的三根小木棍，摆出一个三角形，并用橡皮泥粘住。

（2）再用如下图中那样长的三根小木棍，看能不能摆出一个三角形？

（3）想想：随便拿三根小棍就能摆出一个三角形来吗？什么样的三根小棍

才一定能摆出一个三角形？

解（1）图中给的三根小棍，可以摆出一个三角形。

（2）图中给的三根小棍，不能摆出三角形。

（3）得出结论：①三根小棍中，如果其中两根较短的小棍接起来还没有余

下的那根长棍长，就摆不成三角形。②三根棍中，如果两根较短的接起来比最长

的那根棍还长，用它们就能摆成一个三角形。③可见在一个给出的三角形中，两

边之和必大于第三边。

习题八

1．（1）用三根一样长的小棍，摆成一个等边三角形，再用橡皮泥粘住。

（2）用两根一样长的小棍和一根较短的小棍，摆成一个等腰三角形，再用

橡皮泥粘住。

（3）想想：一个等边三角形必定是一个等腰三角形，对吗？反过来说，每

个等腰三角形都是等边三角形，对吗？

2．（1）用图示的三根小棍摆成一个直角三角形，再用橡皮泥粘住。（注意，

这三根小棍的长度不是随意的，若用半根火柴棍当尺子去量，它们的长度数，即

量的次数分别是3、4和5）

第一根：

第二根：

第三根：

（2）若改用长度数是2、4和5的三根小棍，还能摆成直角三角形吗？

（3）再改用长度为4、4和5的三根小棍，还能摆成直角三角形吗？

再改用三根长度分别是3、4和6的小棍，能摆成一个直角三角形吗？

（4）想想：通过动手做，你是否看出：在这三种情况中，只有长度数是3、

4和5的小棍才能摆出一个直角三角形，你对此感到奇妙吗？

3．如图所示，这里的四根小棍中两根较长的长度相等，两根短的长度也相

等。

（1）用这四根小棍摆出一个长方形。

（2）再用它们摆成一个平行四边形。

（3）先想想：长方形和平行四边形的相同点是什么？不同点又是什么？

再判断：“一个长方形必定也是一个平行四边形，而一个平行四边形就不一

定是一个长方形。”对不对？

4．这里的四根小棍一样长，请你用它们摆出：

（1）一个正方形。

（2）一个菱形。

（3）先想想：正方形和菱形的相同点是什么？不同点是什么？再判断：“一

个正方形必定是一个菱形，而一个菱形不一定是一个正方形。”对吗？

习题八解答

1．

（3）在一个等边三角形中，它的三条边都相等，当然其中的两条边也必相

等，所以说每一个等边三角形都必定是一个等腰三角形是对的。

但反过来说就不对了，因为等腰三角形只是两边相等，对第三条边的长度没

有限制。

2．

（5）我国古代数学家，把直角三角形中较短的直角边叫“勾”，较长的直

角边叫“股”，把斜边叫“弦”。他们已经发现了直角三角形三边长度的“勾三

股四弦五”的关系。

3．（略）

4．

（3）长方形和平行四边形的相同点是：都是两组对边平行且相等；不同点

是：长方形的四个角都是直角，而平行四边形的四个角都不是直角，有两个为锐

角、两个为钝角。

5．

（3）正方形和菱形的相同点是：它们都是四条边相等的四边形。不同点是：

正方形的四个角都是直角，而菱形的四个角都不是直角（其中两个锐角，两个钝

角）。

第九讲区分图形

例1下图中的两个三角形，有哪些相同点，有哪些不同点？

相同点：都有一个直角，都是直角三角形。

不同点：（1）中两条直角边不相等，是一般的直角三角形。（2）中两条直

角边相等，是个等腰直角三角形。

例2下图中的两个图形，有哪些相同点，有哪些不同点？请你仔细观察、分析。

相同点：都可以看成是一个大图形里面内接（套着）一个同样形状的小图形

组成。

不同点：（1）的大小两个图形都是正方形，（2）的大小两个图形都是等边

三角形。

例3下图的五个图形中，哪一个与众不同？

图（3）与其他四个不同。

因为图（3）只有三条边，是三角形，而其他四个图形都是四边形。

例4从下面的五个图形中选出与众不同的一个。

图（4）与其他四个不同。

除图（4）外其他四个都是正多边形，也就是各边都相等的多边形；而图（4）

的四条边长短不同，所以不是正多边形。

第十讲立体平面展开

例1像下图那样，把正方体盒子剪开，铺展在平面上加以描画而成的图形叫做

“展开图”。请你试试做。

例2把厚纸盒沿右图的粗线剪开，展平成“展开图”。想一想，剪开前哪个面

和哪个面相对？

把原来的立体图和平面展开图对照可知：

1和3相对；2和4相对；5和6相对。

例3把冷饮食品“蛋卷”的包装皮（圆锥）切开后，形成下面右图那样的形状。

这个展开图就是扇形。

习题十

1．下图中的（1）、（2）、（3）号盒子剪开铺平后，展开图是哪一个，请

你用线连起来。

2．将下图中（1）、（2）号棱锥剪开铺平后，哪一个是它对应的展开图，

请用线连起来。

3．请你将能找到的包装盒如：火柴盒、月饼盒、冷饮盒、鞋盒等等，用剪

刀剪开，平铺在桌面上观察并画出展开图。

第十一讲做立体模型

动手折叠，把一个平面展开图变成一个立体模型，这样不但可以培养动手能

力，而且可以增强空间想像能力。

例1把下面的平面展开图剪下来，沿着折线能折叠成什么样的立体模型？自己

动手试一试。

例2将下面的平面展开图剪下来，沿着折线折叠，能折成什么样的立体图形？

例3把下面的平面展开图剪下来，可做成什么立体图形？

例4把下面的平面展开图剪下来，能折叠成什么样的立体图形？

由四棱柱和四棱锥组成的立体图形

第十二讲图形的整体与部分

例1把一条长方形纸带剪成长短相同的两条，摆在桌面上，仔细地看看。再把

剪开的两条纸带接起来，变回原来的长度，再仔细地看看。

把一个图形分成大小相同的两份，其中每1份都是原来的二分之一，写

例2把一张正方形的纸片剪成大小相同的4块。请你仔细看看下面画出的三种

剪法。

把一个图形分成大小相同的4份，其中每1份都是原来的四分之一，写

于原来小纸条的3倍。

原来的：

新做的：

例4下图中阴影部分是整个图形大小的几分之一？

例5下图中的阴影部分占整个图形的几分之几？

图中每个圆都被分成了四个相同的部分。

例6下面图形中阴影部分占整个图形的几分之几？

（1）中的大等边三角形被分成了四个相同的小三角形，带阴影的小三

（2）中的垂线将大三角形分成了相同的两部分，带阴影的小三角形占

（3）中的大等边三角形先被分成了相同的四部分，阴影小三角形又是

第十三讲折叠描痕法

如何将一个图形分成相同的几部分呢？这里介绍一种简单易行的方法——

折叠描痕法。

例1把正方形分成相同的四部分。

第一步：对角折

第二步：再对角折

第三步：展开，描痕。

例2把大等边三角形分成相同的四部分，使每部分的形状都与原图形一样。

第一步：左右对角折，然后展开，描痕成虚线，虚线与底边交点就是底边中

点。

第二步：将上角折下，使角顶与底边中点重合。

第三步：折左角、折右角，如图示。

第四步：展开，描痕。

例3用折叠描痕法等分一个长方形纸条。

（1）对折1次，展开描痕，数一数，纸条被等分成几份？

（2）对折2次，展开描痕，数一数，纸条被等分成几份？

（3）对折3次，展开描痕，数一数，纸条被等分成几份？

（4）对折4次，展开描痕，数一数，纸条被等分成几份？

（5）对折5次，展开描痕，数一数，纸条被等分成几份？

解：

第十四讲多个图形的组拼

例1用下图的同样大小的三个等边三角形拼成一个等腰梯形。

解：因为等腰梯形的两腰相等，上底和下底平行，而等边三角形的三条边是相等

的，经试验，可以拼成如下的等腰梯形。

例2用两个同样大小的直角三角形拼成一个平行四边形。

解：注意平行四边形的两组对角相等、两组对边平行且相等的特点，经试验，可

以拼成如下的平行四边形。

例3如下图所示，用四个形状和大小完全相同的直角三角形，可以拼出一个“空

白”正方形（空白处形成的图形是个正方形）。请你仍用这四个直角三角形，再

拼出其他边长不同的“空白”正方形出来。

解：（l）可以利用直角边拼出正方形来

（2）也可以利用斜边拼出正方形来

第十五讲一个图形的等积变换

把一个图形切开后组拼成另一个图，它的形状变了但（面积）大小未变，这

样的过程叫做图形的等积变换。

例1把下面的长方形剪一刀，将它分成两个同样的直角三角形。然后用这两个

直角三角形拼成另外形状的图形。试试看。

解：

例2给你一个梯形，先将它折叠两次（如图示），再沿三角形一边的那条折痕

剪开，拼成一个三角形。

解：

例3右图由五个小正方形组成，请先用剪刀把它剪开，然后重新拼成一个大正

方形。

解：此题有很多种不同的切拼方法，这里只举一种。把小正方形剪下来，再将剩

下的大正方形等分成四个直角三角形，再像下面的右图那样拼成一个大正方形。

第十六讲一个图形的等份分划

把一个图形划分为大小相等、形状相似的几部分叫做图形的等份分划。

例1在右图中画一条直线，把图形分成形状相同、大小相等的两部分。

解：图中共有18个正方形小格，若分成大小相等的两部分时，每一部分应包含

有9个正方形小格。还可以看出，此图中有一条“斜线”边缘。经尝试可做出如

虚线所示的划分。

例2下面左图是由五个同样的正方形组成，请把它们分成形状相同、大小相等

的四块。

解：要求把五个正方形分成大小相等的四块，不难算出，每块应当包含有一个正

方形，另外还应当再加一个正方形的四分之一。经尝试，划分方法如上面右图。

例3如下图所示，一个长方形由28个小正方形组成。请把它划分成形状相同、

大小相等的四块，你能做出多少种划分方法？

解：划分方法很多，如下图：

例4将右图所示正方形用两条直线划分成形状相同、大小相等的四块，有多少

种方法？

解：由画出的4个图可见，两条对角线一同旋转，可做出无数种划分方法，如下

图所示。

第十七讲发现图形的变化规律

这是一种综合训练。通过对图形的仔细观察、反复比较、大胆猜测、严格检

验和不断修正等思考程序，就能发现下列图形的变化规律，得出正确的答案。

例1下图是按一定规律排列的。找出它的变化规律后，试填出所缺少的图形。

解：通过观察、比较可以发现，第一行和第二行的三个小图形是相同的，所不同

的只是它们的排列顺序。还可以发现，从第一行变到第二行，每个小图形都往右

移动了一个图形的位置，而且第一行最左边的图形占了第二行最右边的位置。所

以第三行“？”处应填：

例2在下图的一组图形中，“？”处应填什么样的图形？

解：仔细观察可发现，第一行和第二行中的最右边的完整图形是这样变来的：将

最左边的半个图形，往右平移到中间图形位置，然后再去掉两个图形的重合部分。

按这个规律可知“？”处就填：

例3下图的一组图形的“？”应填什么样的图形？

解：每行的第一和第二个平移重叠后变成第三个图形。可见第三行“？”处为：