工程力学答案

工程力学

练习册

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学号

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姓名

第一章静力学基础1

第一章静力学基础

1-1画出下列各图中物体A，构件AB，BC或ABC的受力图，未标重力的物体的重量

不计，所有接触处均为光滑接触。

（a）

（b）

（c）

2第一章静力学基础

（d）

（e）

（f）

（g）

第一章静力学基础3

1-2试画出图示各题中AC杆（带销钉）和BC杆的受力图

（a）（b）（c）

（a）

4第一章静力学基础

1-3画出图中指定物体的受力图。所有摩擦均不计，各物自重除图中已画出的外均不计。

（a）

第一章静力学基础5

（b）

（c）

（d）

6第一章静力学基础

（e）

第一章静力学基础7

（f）

（g）

8第二章平面力系

第二章平面力系

2-1电动机重P=5000N，放在水平梁AC的中央，如图所示。梁的A端以铰链固定，

另一端以撑杆BC支持，撑杆与水平梁的夹角为300。如忽略撑杆与梁的重量，求绞支座A、

B处的约束反力。

题2-1图









PFFF

FFF

BAy

ABx

30sin30sin,0

030cos30cos,0

解得:NPFF

BA

5000

2-2物体重P=20kN，用绳子挂在支架的滑轮B上，绳子的另一端接在绞车D上，如

第二章平面力系9

图所示。转动绞车，物体便能升起。设滑轮的大小及轴承的摩擦略去不计，杆重不计，A、

B、C三处均为铰链连接。当物体处于平衡状态时，求拉杆AB和支杆BC所受的力。

题2-2图









030cos30sin,0

030sin30cos,0

PPFF

PFFF

BCy

BCABx

解得:

PF

PF

AB

BC

732.2

732.3





2-3如图所示，输电线ACB架在两电线杆之间，形成一下垂线，下垂距离CD=f=1m，

两电线杆间距离AB=40m。电线ACB段重P=400N，可近视认为沿AB直线均匀分布，求电

线的中点和两端的拉力。

题2-3图

10第二章平面力系

以AC段电线为研究对象，三力汇交

NF

NF

FFF

FFF

C

A

GAy

CAx

2000

201

10/1tan

sin,0

,cos,0















解得：







2-4图示为一拔桩装置。在木桩的点A上系一绳，将绳的另一端固定在点C，在绳的

点B系另一绳BE，将它的另一端固定在点E。然后在绳的点D用力向下拉，并使绳BD段

水平，AB段铅直；DE段与水平线、CB段与铅直线成等角=0.1rad（弧度）（当很小时，

tan）。如向下的拉力F=800N，求绳AB作用于桩上的拉力。

题2-4图

作BD两节点的受力图

ACyBDCx

EyBDEx

FFFFFFB

FFFFFFD













cos,0,sin,0

sin,0,cos,0

节点：

节点：

第二章平面力系11

联合解得：kNF

F

F

A

80100

tan2





2-5在四连杆机构ABCD的铰链B和C上分别作用有力F

1

和F

2，，机构在图示位置

平衡。求平衡时力F

1

和F

2

的大小间的关系。

题2-5图

以B、C节点为研究对象，作受力图









030cos,0

045cos,0

22

11

BCx

BCx

FFFC

FFFB

节点：

节点：

解得：4

6

2

1

F

F

2-6匀质杆重W=100N，两端分别放在与水平面成300和600倾角的光滑斜面上，求平

衡时这两斜面对杆的约束反力以及杆与水平面间的夹角。

12第二章平面力系

题2-6图

2-7已知梁AB上作用一力偶，力偶矩为M，梁长为l，梁重不计。求在图a,b,两三种

情况下，支座A和B的约束反力。

（a）（b）

题2-7图

（a）l

M

FF

BA



(

．

注意，这里，

．．．．．．

A

．

与

．

B

．

处约束力为负，表示实际方向与假定方向

．．．．．．．．．．．．．．．．．．

相反，结果应与你的受力图一致，不同的受力图其结果的表现形式也不同

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

)

．

第二章平面力系13

(b)cosl

M

FF

BA



2-8在题图所示结构中二曲杆自重不计，曲杆AB上作用有主动力偶，其力偶矩为M，

试求A和C点处的约束反力。

题2-8图

作两曲杆的受力图，BC是二力杆，AB只受力偶作用，因此A、B构成一对力偶。

即

'

BA

FF

a

M

FFF

a

M

F

MaFaFM

CBA

B

BBA

4

2

4

2

'

3'

2

2

'

2

2

,0







2-9在图示结构中，各构件的自重略去不计，在构件BC上作用一力偶矩为M的力偶，

各尺寸如图。求支座A的约束反力。

14第二章平面力系

题2-9图

1作受力图

2、BC只受力偶作用，力偶只能与力偶平衡

l

M

FF

CB



3、构件ADC三力汇交

l

M

F

FFF

A

CAX

2

0'

2

2

,0





2-10四连杆机构ABCD中的AB=0.1m,CD=0.22m,杆AB及CD上各作用一力偶。

在图示位置平衡。已知m

1

=0.4kN.m,杆重不计，求A、D两绞处的约束反力及力偶矩m

2

。

第二章平面力系15

题2-10图

kNmM

MlFMCD

MlFMAB

CDB

ABB

7.1

75sin,0

30sin,0

2

2

1











解得：

杆

杆：

2-11滑道摇杆机构受两力偶作用，在图示位置平衡。已知OO

1

=OA=0.4m，m

1

=0.4kN.m,

求另一力偶矩m

2

。及O、O

1

处的约束反力。

16第二章平面力系

题2-11图

kNFFF

kNmMkNF

MFMCD

MFMOB

AOO

A

A

A

15.1

8.0,15.1

4.03,0

60sin4.0',0

1

2

2

1













解得：

杆

杆和滑块：

2-12图示为曲柄连杆机构。主动力N400F作用在活塞上。不计构件自重，试问在

曲柄上应加多大的力偶矩M方能使机构在图示位置平衡？

第二章平面力系17

2-13图示平面任意力系中240

1

FN，N80

2

F，N40

3

F，N110

4

F，

mmN2000M。各力作用位置如图所示，图中尺寸的单位为mm。求：（1）力系向O

点简化的结果；（2）力系的合力并在图中标出作用位置。

2-14某桥墩顶部受到两边桥梁传来的铅直力kN1940

1

F，kN800

2

F，水平力

kN193

3

F，桥墩重量kN5280P，风力的合力kN140F。各力作用线位置如图所

示。求力系向基底截面中心O的简化结果；如能简化为一合力，求合力作用线位置并在图

中标出。

2-15试求图示各梁支座的约束反力。设力的单位为kN，力偶矩的单位为kN.m，长度

的单位为m，分布载荷集度为kN/m。

题2-13图

题2-14图

18第二章平面力系

（a）（b）

题2-12图

受力分析如图：

kNFkNF

FFF

FM

BA

BAY

BA

21,15

208.020,0

4.2206.184.08.020,0











解得：

受力分析如图：

kNFkNFkNF

FFF

FFF

FM

BAyAx

BAxx

BAyY

BA

23.4,33.0,12.2

2

1

,0

22

2

3

,0

3

2

3

2223,0















解得：

2-16在图示刚架中，已知kN/m3q，kN26F，mkN01M，不计刚架自

重。求固定端A处的约束力。

第二章平面力系19

2-17在图示a，b两连续梁中，已知q，M，a，及，不计梁的自重。求各连续梁在

A，B，C三处的约束反力。

2-13在图示a，b两连续梁中，已知q，M，a，及，不计梁的自重。求各连续梁在

A，B，C三处的约束反力。

（a）（b）

题2-13图

1作受力图，BC杆受力偶作用

cosa

M

FF

CB



2.对AB杆列平衡方程

MaFMFM

a

M

FFF

a

M

FFF

BAA

BAyY

BAxX



















cos',0)(

cos',0

tansin',0



20第二章平面力系

所以：

MM

a

M

F

a

M

F

A

Ay

Ax





tan

1.以BC为研究对象，列平衡方程

2

2

1

cos,0)(

0cos,0

sin,0

qaaFFM

FqaFF

FFF

CB

CByY

CBxX

























cos2

2

tan

2

qa

F

qa

F

qa

F

C

By

Bx







1.以AB为研究对象，列平衡方程

2

2

1

,0)(

2

,0

2

tan

,0

qaaFMFM

qa

FFF

qa

FFF

ByAB

ByAyY

BxAxX

















第二章平面力系21





cos2

2

1

2

2

tan

2

qa

F

qaM

qa

FF

qa

FF

C

A

ByAy

BxAx









2-18如图所示，三绞拱由两半拱和三个铰链A，B，C构成，已知每个半拱重P=300kN，

l=32m，h=10m。求支座A、B的约束反力。

题2-15图

以整体为研究对象，由对称性知：

kNPFF

FF

ByAy

BxAx

300



以BC半拱为研究对象

22第二章平面力系

kNFF

l

FhF

l

PM

AxBx

ByBxC

120

28

3

,0





2-19图示构架中，物体重1200N，由细绳跨过滑轮E而水平系于墙上，尺寸如图所示，

不计杆和滑轮的重量。求支承A和B处的约束反力以及杆BC的内力F

BC

。

题2-19图

以整体为研究对象

第二章平面力系23

0)5.1()2(4,0)(

0,0

,0













rPrPFFM

PFFF

PFF

BA

BAyY

AxX



解得：

NF

NF

NF

B

Ay

Ax

1050

150

1200







以CDE杆和滑轮为研究对象

05.1

25.1

5.12

,0)(

22







PFFM

BD



解得：NF

B

1500

2-20在图示构架中，各杆单位长度的重量为300N/m，载荷P=10kN，A处为固定端，B，

C，D处为绞链。求固定端A处及B，C为绞链处的约束反力。

题2-20图

24第二章平面力系

显然：NP1800

1

NP1800

2



NP1500

3



以整体为研究对象

kNPPPMFM

kNPPPPFF

FF

AA

AyY

AxX

4.68236,0)(

1.15,0

0,0

32

321















以ABC杆为研究对象

）（式

）（式

式

363,0)(

2,0

)1(0,0

1













AxBxAA

CyByAyY

CxBxAxX

FFMFM

PFFFF

FFFF



以CD杆为研究对象

214,0)(

2

PPFFM

CyD



（式4）

由1、2、3、4式得：

kNFkNFNFkNF

CyCxByBx

55.4,8.22,85.17,8.22

2-21试用节点法求图示桁架中各杆的内力。F为已知，除杆2和杆8外，其余各杆长

度均相等。

A

a2

1

2

4

3

5

6

C

B

D

E

F

F

7

8

9

a2

H

第二章平面力系25

2-22平面桁架结构如图所示。节点D上作用一载荷F，试求各杆内力。

2-23桁架受力如图所示，已知kN10

1

F，kN20

32

FF。试求桁架4，5，7，10

各杆的内力。

题2-21图

题2-22图

题2-23图

26第二章平面力系

2-24平面桁架的支座和载荷如图所示，求杆1，2和3的内力。（提示：先截断AD、3、

2杆，用截面法分析；再取C节点）

2-25两根相同的均质杆AB和BC，在端点B用光滑铰链连接，A，C端放在不光滑

的水平面上，如图所示。当ABC成等边三角形时，系统在铅直面内处于平衡状态。求杆端

与水平面间的摩擦因数。

题2-25图

题2-24图

第二章平面力系27

以整体为研究对象

PNFM

CA

,0)(



PNFM

AC

,0)(



以AB杆为研究对象

32

1

32

:

2

3

4

1

2

1

,0)(





fNf

P

F

lFlPlNFM

AA

AAB

得



2-26图示两无重杆在B处用套筒式无重滑块连接，在AD杆上作用一力偶，其力偶矩

M

A

=40N.m，滑块和AD间的摩擦因数f

s

=0.3。求保持系统平衡时力偶矩M

C

的范围。

题2-26图

28第二章平面力系

以AD杆为研究对象

11

2/

1

3

,0)(

2

3

BB

A

l

A

BA

NfF

l

MM

NFM





考虑临界平衡状态，



以BC杆为研究对象

mNlFlNMFM

BBCC

61.4939.1060

2

1

2

3

,0)(

11



当摩擦力反向处于临界平衡

态，如b图所示，则

以AD杆为研究对象

11

2/

1

3

,0)(

2

3

BB

A

l

A

BA

NfF

l

MM

NFM





考虑临界平衡状态，



以BC杆为研究对象

mNlFlNMFM

BBCC

39.7039.1060

2

1

2

3

,0)(

11



2-27尖劈顶重装置如图所示。在B块上受力P的作用。A与B块间的摩擦因数为f

s

（其他有滚珠处表示光滑）。如不计A和B块的重量，求使系统保持平衡的力F的值。

题2-27图

第二章平面力系29

以整体为研究对象，显然水平和铅直方向约束力分别为PF,

以A滑块为研究对象，分别作出两临界状态的力三角形

)tan()tan(

tan

)tan(

)tan(

min

max

















PFP

f

PF

PF

s

为摩擦角，其中

2-28砖夹的宽度为25cm，曲杆AGB与GCED在G点铰接。砖的重量为W，提砖的

合力F作用在砖夹的对称中心线上，尺寸如图所示。如砖夹与砖之间的摩擦因数f

s

=0.5，试

问b应为多大才能把砖夹起（b是G点到砖块上所受正压力作用线的垂直距离）

题2-28图

2-29均质长板AD重P，长为4m，用一短板BC支撑，如图所示。若AC=BC=AB=3m，

BC板的自重不计。求A、B、C处的摩擦角各为多大才能使之保持平衡。

题2-29图

30第三章空间力系

第三章空间力系

3-1在正方体的顶角A和B处，分别作用力F

1

和F

2

，如图所示。求此两力在x,y,z

轴上的投影和对x,y,z轴的矩。并将图中的力系向点O简化，用解析式表示主矢、主矩的大

小和方向。

题3-1图

3-2图示力系中，F

1

=100N，F

2

=300N，F

3

=200N，各力作用线的位置如图所示。将力

向原点O简化

题3-2图

第三章空间力系31

3-3边长为a的等边三角形板，用六根杆支持在水平面位置如图所示。若在板面内作

用一力偶，其矩为M，不计板重，试求各杆的内力。

题3-3图

3-4如图所示的空间构架由三根杆件组成，在D端用球铰链连接，A、B和C端也用

球铰链固定在水平地板上。今在D端挂一重物P=10kN，若各杆自重不计，求各杆的内力。

题3-4图

32第三章空间力系

3-5均质长方形板ABCD重W=200N，用球铰链A和蝶形铰链B固定在墙上，并用绳

EC维持在水平位置。求绳的拉力和支座的约束反力。

题3-5图

3-6挂物架如图所示，三杆的重量不计，用球铰链连接于O点，平面BOC是水平面，

且OB=OC，角度如图。若在O点挂一重物G，重为1000N，求三杆所受的力。

题3-6图

第三章空间力系33

3-7一平行力系由五个力组成，力的大小和作用线的位置如图所示。图中小正方格的

边长为10mm。求平行力系的合力。

题3-7图

3-8图示手摇钻由支点B、钻头A和弯曲的手柄组成。当支点B处加压力

x

F、

y

F和

z

F

以及手柄上加力F后，即可带动钻头绕轴AB转动而钻孔，已知F

z

=50N，F=150N。求：（1）

钻头受到的阻力偶的力偶矩M；（2）材料给钻头的反力F

Ax

、F

Ay

和F

Az

；（3）压力F

x

和F

y

。

3-9求下列各截面重心的位置。

题3-8图

34第三章空间力系

1.建立图示坐标系

150,50270.I

CI

ySI

0,30300.II

CII

ySII

90

3030050270

15050270









C

y

(a)

(b)

第三章空间力系35

题3-8图

3-10试求振动打桩机中的偏心块（图中阴影线部分）的重心。已知

mmr100

1



，

mmr30

2



，

mmr17

3



。

题3-9图

3-11试求图示型材截面形心的位置。

3-12试求图示两平面图形的形心位置。

题3-12图

题3-11图

36第四章材料力学基本概念

第四章材料力学基本概念

4-1何谓构件的承载力？它由几个方面来衡量？

4-2材料力学研究那些问题？它的主要任务是什么?

4-3材料力学的基本假设是什么？均匀性假设与各向同性假设有何区别？能否说“均匀

性材料一定是各向同性材料”？

4-4杆件的轴线与横截面之间有何关系?

4-5试列举五种以上不是各向同性的固体。

4-6杆件的基本变形形式有几种？请举出相应变形的工程实例。

第六章杆件的应力37

第五章杆件的内力

5-1试求图示各杆1-1、2-2、3-3截面上的轴力，并作轴力图。

40kN30kN20kN

1

1

2

2

3

3

(a)

1

1

2

2

3

3

4P

P

(b)

题5-1图

kNmT/

5-2试求图示各杆在1-1、2-2截面上的扭矩。并作出各杆的扭矩图。

1

1

2

2

2kNm

4kNm

2kNm

(a)

1

1

2

2

2kNm

3kNm

5kNm

(b)

题5-2图

38第六章杆件的应力

5-3在变速箱中，低速轴的直径比高速轴的大，何故？

,9549

n

P

M

e



变速箱中轴传递的扭矩与轴的转速呈反比，低速轴传递的扭矩大，故轴径大。

5-4某传动轴，由电机带动，已知轴的转速1000minnr（转/分），电机输入的功

率20PkW，试求作用在轴上的外力偶矩。

Nm

n

P

M

e

8.1909

1000

20

95499549

5-5某传动轴，转速300minnr，轮1为主动轮，输入功率

1

50PkW，轮2、轮

3与轮4为从动轮，输出功率分别为

2

10PkW，

34

20PPkW。

（1）试画轴的扭矩图，并求轴的最大扭矩；

（2）若将轮1和轮3的位置对调，轴的最大扭矩变为何值，对轴的受力是否有利。

第六章杆件的应力39

1

m

2

1

34

2

m3

m

4

m

800800800

题5-5图

Nm

n

P

M

e

5.159195491

1



Nm

n

P

M

e

3.31895492

2



Nm

n

P

MM

ee

6.63695493

43



NmT2.1273

max



40第六章杆件的应力

NmT9.954'

max



对调后，最大扭矩变小，故对轴受力有利。

5-6图示结构中，设P、q、

a

均为已知，截面1-1、2-2、3-3无限接近于截面C或

截面D。试求截面1-1、2-2、3-3上的剪力和弯矩。

A

a

a

2mqa

q

Pqa

C

B

2

2

1

1

(a)

A

200PN

B

D

C1

1

2

2

3

3

200200200

(b)

题5-6图

A

B

D

C

1

1

2

2

200

200200

(c)

10qkNm

A

B

D

C

1

1

2

2

(d)

aaa

Pqa2mqa

题5-6图

第六章杆件的应力41

5-7设图示各梁上的载荷P、q、m和尺寸a皆为已知，（1）列出梁的剪力方程和弯

矩方程；（2）作剪力图和弯矩图；（3）判定

max

Q和

max

M。

A

a

C

B

(a)

a

2PmPa

A

B

D

C

(b)

a

aa

2PP

题5-7图

42第六章杆件的应力

A

B

C

(c)

aa

2m

m

A

B

C

(d)

2a

q

2a

题5-7图

A

B

D

C

(e)

aaa

P

6P

A

B

D

C

(f)

20PkN

1m1m1m

1m

30qkNm30qkNm

题5-7图

第六章杆件的应力43

q

A

2ql

B

C

(g)

2a2a

A

B

C

(h)

a

2a

q

题5-7图

44第六章杆件的应力

5-8图示各梁，试利用剪力、弯矩与载荷集度间的关系画剪力图与弯矩图。

(a)

Pl

2l2l

Pq

(b)

2l2l

ql

题5-8图

第六章杆件的应力45

(c)

q

2l

2l

q

q

2ql

2l2l

(d)

题5-8图

46第六章杆件的应力

(e)

q

4l2l4l

D

C

(f)

3l

ql

q

3l3l

题5-8图

a

(g)

aa

q

q

2qa

qa

aa

a

q

q

(h)

题5-8图

第六章杆件的应力47

5-9已知梁的弯矩图如图所示，试作载荷图和剪力图。

1kNm

1kNm

2kNm

M

x

1m3m1m

(a)

2kNm

1kNm

2kNm

M

x

1m

4m

1m

(b)

1kNm

48第六章杆件的应力

题5-9图

20kNm

x

M

(c)

1m2m

2m

M

1kNm

3kNm

x

(d)

1m

2m1m

题5-9图

5-10图示外伸梁，承受集度为q的均布载荷作用。试问当

a

为何值时梁内的最大弯

矩之值（即

max

M）最小。

q

l

aa

第六章杆件的应力49

题5-10图

为保证梁的最大弯矩值最小，即最大正弯矩等于最大负弯矩

llaa

lll

a

qla

l

qlqa

207.0

2

12

2

8

1

)

2

(

2

1

2

1

22

22













取正值，即显然

50第六章杆件的应力

第六章杆件的应力

6-1图示的杆件，若该杆的横截面面积250Amm，试计算杆内的最大拉应力与最大

压应力。

2kN

3kN2kN

3kN

题6-1图

MPa

MPa

kNFkNF

c

t

NN

40

1050

2000

60

1050

3000

2,3

6

max

6

max

maxmax

























6-2图示阶梯形圆截面杆，承受轴向载荷

1

50PkN与

2

P作用，AB与BC段的直径分

别为

1

20dmm与

2

30dmm，如欲使AB与BC段横截面上的正应力相同，试求载荷

2

P

之值。

1

P2

P

AB

C

题6-2图

第六章杆件的应力51

kNP

d

PP

d

P

BCAB

5.62

44

2

2

2

21

2

1

1













6-3题6-2图所示圆截面杆，已知载荷

1

200PkN，

2

100PkN，AB段的直径

1

40dmm，如欲使AB与BC段横截面上的正应力相同，试求BC段的直径。

mmd

d

PP

d

P

BCAB

99.48

44

2

2

2

21

2

1

1













6-4设图示结构的1和2两部分皆为刚体，刚拉杆BC的横截面直径为10mm，试求

拉杆内的应力。

3m1.5m

1.5m

1.

5

m0.

7

5

m

P=7.5kN

1

2

BC

题6-4图

52第六章杆件的应力

1做受力图

2列平衡方程求解

解得F=6kN,FN=3kN,AB杆的应力为:

6-5某受扭圆管，外径44Dmm，内径40dmm，横截面上的扭矩750TNm，

试计算距轴心21mm处圆管横截面与纵截面上的扭转切应力。

6-6直径50Dmm的圆轴受扭矩2.15TkNm的作用。试求距轴心10mm处的切

应力，并求横截面上的最大切应力。

075.05.1

0

05.15.43

0



















FF

M

FFF

M

N

G

N

A

MPa

A

F

4.76

)01.0(

4

1

6000

2







MPa

tr

T

MPa

I

T

p

3.135

002.0021.02

750

2

135

)1(044.0

32

1

021.0750

)21(

44

40

22

44





























或按薄壁圆筒计算：

第六章杆件的应力53

6-7空心圆截面轴，外径40Dmm，内径20dmm，扭矩1TkNm，试计算距

轴心20mm处的扭转切应力，以及横截面上的最大与最小扭转切应力。

MPa

dD

m66.63

)(

32

015.01000

)015.0(

44















MPa

dD

88.84

)(

32

020.01000

44

max













MPa44.42

40

20

maxmin



6-8图示简支梁，求跨中截面

a

、b、

c

三点正应力。

2m

2m

20kN

2

0

9

0

60

a

b

c

题6-8图

46310645.309.006.0

12

1

,20mIkNmM

z



0

a



)(7.109

10645.3

02.020000

6

拉MPa

b













)(9.246

10645.3

045.020000

6

拉MPa

c













6-9图示圆轴的外伸部分系空心轴。试作轴的弯矩图，并求轴内最大正应力。

54第六章杆件的应力

题6-9图

6-10均布载荷作用下的简支梁如图所示。若分别采用截面面积相等的实心和空心圆

截面，且

1

40Dmm，

22

35dD，试分别计算它们的最大正应力。并问空心截面比实

心截面的最大正应力减小了百分之几？

2m

2/qkNm

1

D

2

d

2

D

题6-10图

kNmqlM1

8

1

2

max



MPa

D

W

M

159

32

1000

3

1







25.1

)1(

44

6.0

1

2

22

2

2

1







D

D

DD





MPa

D

W

M

6.93

)1(

32

1000

4

3

2



















%1.41

159

6.93159





6-11图示梁，由22No槽钢制成，弯矩80MNm，并位于纵向对称面（即xy

平面）内。试求梁内的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。

M

C

z

y

M

第六章杆件的应力55

题6-11图

查表得：

MPa

I

My

cmycmycmI

z

C

z

92.0

10176

1003.280

87.503.29.7,03.2,176

8

2

1

max

21

4

















梁受正弯矩，上压下拉

MPa

I

My

z

T

67.2

10176

1087.580

8

2

2

max















6-12求图示T形铸铁梁的最大拉应力和最大压应力。

A

B

C

2m1m

60qkNm

中性轴

4

8

1

4

2

542.5910

z

Im

题6-12图

56第六章杆件的应力

1.作梁的弯曲图

2.截面关于中性轴不对称，危险截面为最大正负弯矩两处

最大正弯矩处

最大负弯矩处：

综合得：

6-13均布载荷作用下的简支梁由圆管和实心圆杆套合而成，如图所示，变形后仍紧

密接触。圆管及圆杆的弹性模量分别为

1

E和

2

E，且

12

2EE。试求两杆各自承担的弯矩。

MPa

MPa

C

T

3.31

1059.2

104810875.16

5.92

1059.2

1014210875.16

5

33

1

5

33

1





























MPa

MPa

C

T

5.164

1059.2

101421030

6.55

1059.2

10481030

5

33

2

5

33

2





























MPa

MPa

C

T

5.164

5.92

max

max









第六章杆件的应力57

q

l

题6-13图

由梁的两部分紧密接触知：两者变形后中性层的曲率半径相同，设圆管和圆杆各自承担

的弯矩为M1和M2,抗弯刚度为

2211

IEIE和即：

M

II

I

MM

II

I

M

EE

qlMM

IE

M

IE

M

21

2

2

21

1

1

21

2

21

22

2

11

1

2

;

2

2

2

8

1

1















又



6-14梁截面如图所示，剪力50QkN，试计算该截面上最大弯曲切应力。

35

35Q

40

z

y

题6-14图

MPa

A

Q

8.26

40702

10503

2

33

max









58第七章应力状态分析

第七章应力状态分析

7-1单元体各面应力（单位MPa）如图所示，试用解析法求解指定斜截面上的正应力

和切应力。

20

30

40

(a)

50

30

30

(b)

20

题7-1图

（a）

MPa

MPa

x

yx

x

yxyx

xyx

32.272cos2sin

2

32.272sin2cos

22

60,20,0,40





































(b)

MPa

MPa

x

yx

x

yxyx

xyx

66.182cos2sin

2

3.522sin2cos

22

30,20,50,30





































第七章应力状态分析59

60

(c)

40

45

70

3070

(d)

题7-1图

(c)

MPa

MPa

x

yx

x

yxyx

xyx

302cos2sin

2

102sin2cos

22

45,40,60,0





































(d)

MPa

MPa

x

yx

x

yxyx

xyx

6.602cos2sin

2

352sin2cos

22

30,0,70,70





































7-2已知应力状态如图所示，应力单位为MPa。试用解析法和应力圆分别求：（1）主

应力大小，主平面位置；（2）在单元体上绘出主平面位置和主应力方向；（3）最大切应力。

20

50

(a)

25

(b)

题7-2图

(a)

60第七章应力状态分析

MPa

x

yxyx

xyx

57)

2

(

2

20,0,50

2

2

max





















MPa

x

yxyx7)

2

(

2

2

2

min















8.0

2

2







yx

xtg







7.7090,3.19

MPa

MPaMPa

32

2

7,0,57

31

max

321















(b)

MPa

x

yxyx

xyx

25)

2

(

2

25,0,0

2

2

max





















MPa

x

yxyx25)

2

(

2

2

2

min























yx

xtg







2

2

4590,45

MPa

MPaMPa

25

2

25,0,25

31

max

321















第七章应力状态分析61

20

(c)

40

40

30

(d)

20

20

题7-2图

(c)

MPa

x

yxyx

xyx

2.11)

2

(

2

40,20,40

2

2

max





















MPa

x

yxyx2.71)

2

(

2

2

2

min















4

2

2







yx

xtg







5290,38

MPa

MPaMPa

2.41

2

2.71,0,2.11

31

max

321















(d)

MPa

x

yxyx

xyx

02.37)

2

(

2

20,30,20

2

2

max





















MPa

x

yxyx02.27)

2

(

2

2

2

min















8.0

2

2







yx

xtg







62第七章应力状态分析

3.10990,3.19

MPa

MPaMPa

02.32

2

02.27,0,02.37

31

max

321















7-3图示木制悬臂梁的横截面是高为200mm、宽为60mm的矩形。在A点木材纤维与

水平线的倾角为20。试求通过A点沿纤维方向的斜面上的正应力和切应力。

2kN

1200

100

100A

20

题7-3图

MPa

S

Q

A

25.0

06.02.02

20003

2

3









70

MPa

MPa

x

yx

x

yxyx

xyx

19.02cos2sin

2

16.02sin2cos

22

70,25.0,0,0





































7-4图示二向应力状态的应力单位为MPa，试作应力圆，并求主应力。

第七章应力状态分析63

5

0

80

80



5

0



60

题7-4图

解法二：（解析法）

MPa

MPa

y

x

yxyx

xyx

40

502sin2cos

22

60,0?,,80



























解得：

MPa

x

80

max



MPa

y

40

min



0,40,80

321

MPa

7-5在通过一点的两个平面上，应力如图所示，单位为MPa。试求主应力的数值和主

平面的位置，并用单元体草图来表示。

题7-5图

64第七章应力状态分析

7-6试求图示各应力状态的主应力和最大切应力，应力单位为MPa。

50

50

(a)

50

40

20

30

(b)

120

40

30

30

(c)

题7-6图

(a)

MPa50502

max



MPaMPaMPa

MPa

50,50,50

50

321

min









MPa50

2

31

max











(b)

MPa17.5240)

2

2030

(

2

2030

22

max











MPa17.4240)

2

2030

(

2

2030

22

min











MPa

MPaMPa

17.47

2

17.42,50,17.52

31

max

321















(c)

MPa13030)

2

40120

(

2

40120

22

max











第七章应力状态分析65

MPa3030)

2

20120

(

2

40120

22

min











MPa

MPaMPa

80

2

30,30,130

31

max

321















7-7列车通过钢桥时，用变形仪测得钢桥横梁A点（见图）的应变为0.0004

x

，

0.00012

y

。试求A点在x和y方向的正应力。设200EGPa，0.3。

x

y

A

题7-7图

0004.0)(

1



yxxE



00012.0)(

1



xyyE



解得：

0,80

yx

MPa

7-8图示微体处于平面应力状态，已知应力100

x

MPa，80

y

MPa，

50

x

MPa，弹性模量200EGPa，泊松比0.3，试求正应变

x

，

y

与切应变

xy

，

以及30方位的正应变

30



y

xx



y



x

30

题7-8图

31038.0)(

1



yxxE



31025.0)(

1



xyyE



66第七章应力状态分析

31065.0

2.76

)1(2









G

GPa

E

G

x

xy







3

1203030

12012030

30

10066.0)(

1

3.1287.51180

7.5160sin60cos

22

































E

MPa

MPa

yx

x

yxyx

7-9边长为10amm的立方体铝块紧密无隙地置于刚性模内，如图所示，模的变形不

计。铝的70EGPa，0.33。若6PkN，试求铝块的三个主应力和主应变。

P

题7-9图

建立图示坐标，由刚性模知

0

0





y

x





且MPa

z

60

01.0

6000

2





由广义胡克定律：

0)]([

1

0)]([

1





zxyy

zyxx

E

E





解得：

MPa

yx

55.29

3105785.0)]([

1



yxzzE



第八章强度设计67

第八章强度设计

8-1现有钢、铸铁两种杆材，其直径相同。从承载能力与经济效益两个方面考虑，图示

结构中两种合理选择方案是(A)

A1杆为钢，2杆为铸铁

B1杆为铸铁，2杆为钢

C1、2杆均为钢

D1、2杆均为铸铁

8-2有A、B、C三种材料，其拉伸应力—应变实验曲线如图所示，曲线(B)材料的弹

性模量E大，曲线(A)材料的强度高，曲线(C)材料的塑性好。

8-3轴力越大，杆件越容易被拉断，因此轴力的大小可以用来判断杆件的强度。（）

8-4脆性材料的压缩强度极限远大于拉伸强度极限，故宜于作承压构件。（）

8-5低碳钢试件在拉伸屈服时，其表面出现与轴线成45°方向的滑移线，这与最大切应

力有关。（）

8-6钢材经过冷作硬化以后，其弹性模量基本不变。（）

8-7材料的伸长率与试件的尺寸有关。（）

8-8图示一正方形截面的阶形混凝土柱。设混凝土的密度为33/1004.2mkg，

F=100kN，许用应力MPa2][。试根据强度条件选择截面宽度a和b。

B

A

1

C

2

题8-1图

σ

εO

A

B

C

题8-2图

68第八章强度设计

mb

b

b

b

gbgaF

ma

a

a

a

gaF

156.0

102

8.91004.24052.08.91004.24103

][

443

052.0

102

48.91004.210100

][

4

6

2

23235

2

22

6

2

233

2

2























解得：

解得：

即

虑它们的强度条件：危险截面有二，分别考









8-9三角架ABC由AC和BC二杆组成。杆AC由两根No.12b的槽钢组成，许用应力

为[σ]=160MPa；杆BC为一根No.22a的工字钢，许用应力为[σ]=100MPa。求荷载F的许

可值[F]。

以节点为研究对象，列平衡方程：

F

F

F

4

4m

a

b

题8-8图

C

F

2m

B

A

6



6



题8-9图

第八章强度设计69

2692.152],[

030sin30sin,0

030cos30cos,0

cmSACS

S

F

AC

FFF

FFFF

FFF

ACAC

AC

AC

BCAC

BCACy

BCACx













的截面积，查表得：为杆其中杆强度条件：

解得：



2578.35],[cmSBCS

S

F

BC

ACBC

BC

BC的截面积，查表得：为杆其中杆强度条件：

解得：

kNF

kNFF

kNFF

BC

AC

8.355

8.355

502







综合得：

8-10已知圆轴受外力偶矩m＝2kNm，材料的许可切应力[]＝60MPa。

（1）试设计实心圆轴的直径D

1

;

（2）若该轴改为=d/D=0.8的空心圆轴，式设计空心圆轴的内、外径d

2

、D

2

m

m

D

m

W

p

0554.0

1060

200016

][

16

][

)1(3

6

3

1













mDd

m

m

D

m

W

p

0528.0

066.0

1060)8.01(

200016

])[1(

16

][

)2(

22

3

64

3

4

2





















8-11图示传动轴，主动轮B输入功率P

1

=368kW，从动轮A，C输出的功率分别为

P

2

=147kW,P

3

=221kW，轴的转速n=500r/min，材料的G=80GPa，许用切应力=70MPa，

试设计轴的直径。

Nm

n

p

m7028

500

368

954995491

1



Nm

n

p

m66.4220

500

221

954995493

3



ABC

P

1

P

2

P

3

题8-11图

70第八章强度设计

轴的最大扭矩为7028Nm

mm

T

d

d

T

5.67

][

16

][

16

13

3









由轴的强度条件：

8-12阶梯形圆轴直径分别为d

1

=40mm，d

2

=70mm，轴上装有三个皮带轮，如图所示。

己知由轮3输入的功率为N

3

=3kW，轮1输出的功率为N

1

=13kW,轴作匀速转动，转速

n=200r/min，材料的许用切应力=60MPa，试校核轴的强度。

8-13图示传动轴传递的功率为P=14kW，转速n=300r/min，=40MPa，试根据强度条件

计算两种截面的直径：（1）实心圆截面的直径d；（2）空心圆截面的内径d

1

和外径d

2

（d

1

/

d

2

=3/4）。

Nm

n

p

T62.445

300

14

95499549

mm

T

d

d

T

4.38

][

16

][

16

1

)1(3

3









实心轴的强度条件：

m

2

2

3

m

3

d

1

d

2

A

1

m

1

0.5m

0.3m

1m

C

D

B

题8-12图

题8-13图

第八章强度设计71

mmdd

mm

T

d

d

T

69.32

59.43

1][

16

][

1

16

1

)2(

21

3

4

2

4

3

2



















）（

）（

空心轴的强度条件：

8-14一矩形拱面的简支木梁，梁上作用有均布荷载，已知：l=4m，b=140mm，h=210mm，

q=2kN/m，弯曲时木木材的许用正应力=10MPa，试校核该梁的强度。

简支梁的最大弯矩在中点处

MPaMPa

W

M

l

kNmqlM

10][89.3

21.014.0

6

1

4000

,442

8

1

8

1

2

max

max

22

max









梁的最大正应力：

所以，强度满足

8-15图示简支梁上作用两个集中力，已知：l=6m，F

1

=15kN，F

2

=21kN，如果梁采用热

轧普通工字钢，钢的许用应力=170MPa，试选择工字钢的型号。

l

A

B

b

h

q

题8-14图

题8-15图

3

l

B

FF

A

3

l

3

l

72第八章强度设计

作梁的弯矩图

由强度条件：

334

6

max5.22310235.2

10170

38000

][

cmm

M

W







查表后选用20a号工字钢

8-16简支梁AB如图所示。maml2.0,2。梁上的载荷q=10kN/m，=200kN。材料的

许用应力为MPaMPa100,160。试选择适用的工字钢型号。

由对称性知：

kNm

l

xMkNFF

BA

455.010)2.01(2001210)

2

(,210

max

处

334

6

max3.28110831.2

10160

45000

][

cmm

M

W







选用22a号工字钢，23128.42,309cmAcmW

校核弯曲切应力：

][8.74

10128.422

2100003

2

3

4

max

max











MPa

A

Q

弯曲切应力强度满足，综合后选用22a号工字钢，23128.42,309cmAcmW

8-17图示槽形截面悬臂梁，F=10kN，M

e

=70kN·m，许用拉应力[σ

t

]=35MPa，许用压应

l

A

B

P

P

a

a

q

题8-16图

第八章强度设计73

力[σ

c

]=120MPa,I

z

=1.02×108mm4，试校核梁的强度。

作弯矩图，脆性材料且截面关于中性轴不对称，故危险截面为C+和C-两处

C+截面最大正弯矩处，上压下拉

MPa

MPa

t

c

3.47

1002.1

4.9650

3.75

1002.1

)4.96250(50

4

1

4

1

























C-截面最大负弯矩处，上拉下压

MPa

MPa

c

t

9.18

1002.1

4.9620

1.30

1002.1

)4.96250(20

4

2

4

2

























由于][3.47

][3.75

max

max

tt

cc

MPa

MPa









梁强度不足

8-18“T”字形截面铸铁粱尺寸及载荷如图所示，若梁材料的拉伸许用应力为



拉

=40MPa，压缩许用应力为

压

=160MPa，Z轴通过截面的形心，已知截面对形心轴

74第八章强度设计

Z的惯性矩410180cmI

Z

，h=9.64cm，试计算该梁的许可载荷F。

作梁的弯矩图，脆性材料且截面关于中性轴不对称，故危险截面为最大正负弯矩两处

最大正弯矩处，上压下拉

kNF

F

kNF

F

cc

tt

5.132][

1010180

)0964.0250.0(8.0

8.52][

1010180

0964.08.0

8

1

8

1

























最大负正弯矩处，上拉下压

kNF

F

tt

2.44][

1010180

)0964.0250.0(6.0

8

2











所以：kNF2.44

8-19图示结构承受均布载荷，AC为10号工字钢梁，B处用直径d=20mm的钢杆BD

题8-18图

第八章强度设计75

悬吊，梁和杆的许用应力MPa160。不考虑切应力，试计算结构的许可载荷[q]。

由梁的弯矩图知，危险截面B截面，查表得10号工字钢的349cmW

z

由梁的强度条

件：

题8-19图

76第八章强度设计

mkNq

q

W

M

z

/68.1510160

1049

2

1

6

6

max

max











由杆的强度条件：

mkNq

q

A

F

B/34.2210160

02.0

4

1

4

9

6

2









所以：mkNq/68.15][

8-20矩形截面简支梁由圆形木材刨成，已知F=5kN，a=1.5m，MPa10，试确定

此矩形截面

b

h

的最优比值，使其截面的抗弯截面系数具有最大值，并计算所需圆木的最小

直径d。

题8-20图

第八章强度设计77

mmd

Fa

W

FaM

dW

Wdh

d

bbd

db

dW

bdbbhW

dbh

220

][

27

3

3

6

,

3

03

)(

6

1

6

1

)(

max

3

22

222

222















由强度条件：

取极值时，时，即

限制条件

8-21悬臂吊车如图所示。横梁用20a工字钢制成。其抗弯刚度W

z

=237cm3,横截面面积

A=35.5cm2，荷载P=34kN，横梁材料的许用应力MPa125。试校核横梁AC的强度。

解：分析AB的受力

AB为平面弯曲与压缩组合变形。

题8-21图

02.14.230sin0PN

AB

Am

PRPH

AA

866.0,5.0

78第八章强度设计

中间截面为危险截面。最大压应力发生在该截面的上边缘

压缩正应力

最大弯曲正应力

所以，横梁强度满足。

8.22一折杆由两根圆杆焊接而成，如图所示。已知圆杆直径d=100mm，Mpa30

t

，

Mpa90

c

，试校核其强度。

解：由对称性知

kNFF

BA

5

将力

A

F按静力等效分解kNFkNF

NS

3,4

易知圆杆受压弯组合变形，作圆杆的内力图，知截面C为危险截面

kNFkNF

NS

3,4

题8-22图

A

P

A

H

A

866.0



zz

A

WW

P

W

R

6.0

2.1

max



][37.94

6.0866.0

max

MPa

W

P

A

P

z

c

第八章强度设计79

][1.81

382.0

4

01.0

10003

5.81

32

01.0

10008

3,8

max

max

2

3

max

max

max

tt

N

N

MPa

MPa

A

F

MPa

W

M

kNFkNmM































压

弯

压

弯

横梁强度不满足

压

弯



][9.81

max

maxcc

MPa

8-23图示起重装置，滑轮A安装在工字钢截面梁的端部。已知载荷F=40kN，许用应力

MPa140，试选择工字钢的型号。

8-24下端固定半径为r的圆杆，在图示位置受F力作用，设弹性常数E、均已知。

试求距上断面为l/2的截面上：（1）最大和最小正应力；（2）A点处沿圆周方向的环向应变。

题8-23图

80第八章强度设计

A

30

F

r

2

l

2

l

8-25图示电动机功率kWP9，转速min715rn，皮带轮直径mmD250。电

动机轴外伸长度mml120，轴的直径mmd40，已知MPa60。试用第四强度理

论校核轴的强度。

题8-24图

第八章强度设计81

轴的强度条件满足

由第四强度理论

危险截面

计算外力偶矩：





















][5.57

75.0

2.34612.06.96133

2.120

6.961

2.120

2

)2(

2.120

715

9

95499549

1

22

4

MPa

W

TM

NmlFM

NmT

II

NF

D

FF

Nm

n

P

M

r

p

P

PP

e

8-26图示钢质拐轴，AB轴的直径d=20mm，承受铅垂载荷F=1kN的作用，许用应力

[σ]=160Mpa，l=150mm，a=140mm。试根据第三强度理论校核轴AB的强度。

将力向B点简化

圆轴AB受弯扭组合变形，作轴的内力图，危险截面在固定端

由第三强度理论：

强度不满足











][261

02.0

32

140150

3

2222

3





MPa

W

TM

r

8-27如图，已知直径为d的实心圆截面杆处于水平面内，AB垂直与CD，承受铅垂作

题8-26图

82第八章强度设计

用力F

1

、F

2

，试用第三强度理论写出AB杆危险截面上危险点的相当应力。

将力F2向C点简化：

A截面为危险截面，

aFT

aFaFM

2

21

2





AB弯扭组合变形：危险点在截面A的上下两点，相当应力为

W

TM

r

22

3





8-28图示悬臂梁，承受载荷F

1

与F

2

作用，已知F

1

=800N，F

1

=1600N，l=1m，许用应

力[σ]=160Mpa。试分别按下列要求确定截面尺寸：（1）截面为矩形，h=2b；（2）截面为圆

形。

矩形截面：

圆形截面：

8-29图示冲床的冲头。在F力作用下，冲剪钢板，设板厚t=10mm，板材料的剪切强度

极限τ

b

=360MPa，当需冲剪一个直径d=20mm的圆孔，试计算所需的冲力F等于多少？

kNDtF

b

226010.0020.0103606

题8-27图

题8-28图

第八章强度设计83

8-30图示两块钢板，由一个螺栓联结。己知：螺栓直径d=24mm，每块板的厚度δ=12mm，

拉力F=27kN，螺栓许应力[



]=60MPa，[σ

jy

]=120Mpa。试对螺栓作强度校核。

故螺栓强度满足

][7.59

024.0

427000

4

][75.93

012.0024.0

27000

22



























MPa

d

F

MPa

D

F

jyjy

8-31图示螺钉承受轴向拉力F，已知许可切应力[]和拉伸许可应力[]之间的关系为：

[]=0.6[]，许可挤压应力[

bs

]和拉伸许可应力[]之间的关系为：[

jy

]=2[]。试建立D，d，

t三者间的合理比值。

t

F

d

冲头

钢板

题8-29图

F

δ

d

F

δ

题8-30图

题8-31图

)1]([6.0][





td

P

)2(][

4

2







d

P

84第八章强度设计

由

8-32试校核图示联接销钉的剪切强度。己知P=100kN，销钉直径d=30mm，材料的许

用切应力=60MPa。若强度不够，应改用多大直径的销钉？

螺钉双剪切

mmd

MPa

d

P

6.32

][7.70

030.0

450000

4

2/

22











故螺栓强度不满足，







8-33用夹剪剪断直径d

1

=3mm的铅丝，如图所示。若铅丝的极限切应力约为100MPa，

试问需多大的P？若销钉B的直径为d

2

=8mm，试求销钉内的切应力。

PP

d

题8-32图

P

P

B

50

200

题8-33图

)3]([2][

)(

4

22









jy

dD

P

4.2

][

][

4

)2(

)1(







t

d

得：

2

6

)3(

d

D

得：

第八章强度设计85

作用在钢丝上的力NdF

b

707

4

2

1





，由杠杆原理，NFP8.176

4

1



销钉的切应力：MPa

d

F

A

Q

B

B

b

6.17

4

4

5

2

2







86第九章位移分析与刚度设计

第九章位移分析与刚度设计

9-1己知变截面杆，1段为d

1

=20mm的圆形截面，2段为a

2

=25mm的正方形截面，3段

为d

3

=12mm的圆形截面，各段长度如图示。若此杆在轴向力P作用下在第2段上产生

MPa30

2

的应力，E=210GPa，求此杆的总缩短量。

9-2图中AB是刚性杆，CD杆的截面积A=500mm2，E=200GPa，P=80kN。试求此结构

中B点所能承受的最大集中力P以及B点的位移δ

B

。

P

P

0.2m0.4m

0.2m

1

2

3

题9-1图

A

B

C

D

P

1.5m

1.5m

1m

题9-2图

kN75.1825302

22

AP

3

33

2

22

1

11

AE

lF

AE

lF

AE

lF

lNNN



































4