三角形余弦定理

余弦定理

余弦定理

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用

它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三

个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知

识，则使用起来更为方便、灵活。

余弦定理性质

对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和

减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积，若三边为a,b,c三

角为A,B,C，则满足性质——

(注：a*b、a*c就是a乘b、a乘c。a^2、b^2、c^2就

是a的平方，b的平方，c的平方。)

a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA

b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB

c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac

CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc

余弦定理证明

平面向量证法：

∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对

角线代表两个邻边大小）

∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

（以上粗体字符表示向量）

又∵Cos(π-θ)=-CosC

∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角

函数公式）

再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是

将CosC移到左边表示一下。

平面几何证法：

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根据勾股定理可得：

AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=sinB²·c²+a^2+cosB²·c^2-2ac*cosB

b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

余弦定理的作用

(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角；

(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边.

(3)已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三

条边。(见解三角形公式，推导过程略。)

判定定理一(两根判别法)：

若记m(c1,c2)为c的两值为正根的个数，c1为c的表达

式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取

减号的值

①若m(c1,c2)=2,则有两解；

②若m(c1,c2)=1,则有一解；

③若m(c1,c2)=0,则有零解(即无解)。

注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第

二种情况，即一解。

判定定理二(角边判别法):

一当a>bsinA时

①当b>a且cosA>0(即A为锐角)时,则有两解；

②当b>a且cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即

无解)；

③当b=a且cosA>0(即A为锐角)时,则有一解；

④当b=a且cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即

无解)；

⑤当b

二当a=bsinA时

①当cosA>0(即A为锐角)时,则有一解；

②当cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无

解)；

三当a

解三角形公式

例如：已知△ABC的三边之比为：2：1，求最大的内角.

解设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=:2:1.

由三角形中大边对大角可知：∠A为最大的角.由余弦定

理

cosA==-

所以∠A=120°.

再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=60度,求BC之长.

解由余弦定理可知

BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cosA

=4+9-2×2×3×cos60

=13-12x0.5

=13-6

=7

所以BC=7.(注：cos60=0.5,可以用计算器算）

以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用.

其他

从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形

两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定

是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝

角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角。

即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用

余弦定理求三角形边长取值范围。