均方差公式

均值-方差等

样本均值

样本均值又叫样本均数。

即为样本的均值。均值是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个

数。它是反映数据集中趋势的一项指标。例如1、2、3、4四个数据的均值

为（1+2+3+4）/4=2.5。

样本（sample），是指从总体中抽出的一部分个体。样本中所包含个体

数目称样本容量或含量，用符号N或n表示。

总体（population）是指客观存在的，并在同一性质的基础上结合起来

的许多个别单位的整体，即具有某一特性的一类事物的全体，又叫母体或全

域。简单地说，总体也就是我们所研究的性质相同个体的总和。

样本是受审查客体的反映形象或其自身的一部分。按一定方式从总体中

抽取的若干个体，用于提供总体的信息及由此对总体作统计推断。又称子样。

例如因为人力和物力所限，不能每年对全国的人口进行普查，但可以通过抽

样调查的方式来得到需要的信息。从总体中抽取样本的过程叫抽样。最常用

的抽样方式是简单随机抽样，按这种方式抽样，总体中每个个体都有同等的

机会被抽入样本，这样得到的样本称简单随机样本。样本的平均值称样本均

值，样本偏离样本均值的平方的平均值称为样本方差，在数理统计中，常常

用样本均值来估计总体均值，用样本方差来估计总体方差。

样本方差

样本方差定义

样本方差样本关于给定点x在直线上散

布的数字特征之一，其中的点x称为方差中

心。样本方差数值上等于构成样本的随机变量

对离散中心x之方差的平方和。设X、，…，

各是同分布实随机变量，点x是选定的方差中

心(x〔R’)。那么，量s。(x)=艺(x一x)z称为

关于点x的样本方差(samplevariance)，由于

s。(x)=s。(见)+n(无一x)，)s。(无)二s。，其

中了二(X、+…十戈)加，可见当x二了时关于x

的样本方差取最小值.较小的S。说明样本元素

关于见集中；相反，较大的S。说明样本元素

分散，样本方差的概念，可以自然地推广到多

维样本的样本协方差矩阵。

方差定义，设X是一个随机变量，若

E{[X-E(X)]^2}存在，则称E{[X-E(X)]^2}为X的

方差，记为V（X），是衡量一组数据的离散程

度的统计量

编辑本段样本方差计算方法

设X1,X2,…,Xn是一个样本，

S^2=sum((xi-E(x))^2)/(n-1)称为样本方差，其中

E(x)是样本均值。例如，一样本取值为3,4,4,5,4，

则样本均值=（3+4+4+5+4）/5=4，样本方差

S2=(（3-4）^2+0+0+(5-4)^2+0)/4=0.5。样本方

差是常用的统计量之一，是描述一组数据变异

程度或分散程度大小的指标。

S称为样本标准差。如在上例中，S=0.7071。

称（S/X）×100%为样本变异系数。由于S与

X都是从同一个样本资料中求得，两者的单位

相同，故变异系数为一纯数。当两种样本资料

所用的单位不同时，只要计算出变异系数，就

可以比较它们的变异程度。

标准差

标准差（StandardDeviation），也称均方差（meansquareerror），是各

数据偏离平均数的距离的平均数，它是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。

标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相

同的，标准差未必相同。

简介

标准差的意义离散度极差离均差的

平方和

1.方差（S2）

2.标准差（SD）

3.变异系数（CV）

解释标准差与标准误的区别

1.标准误

Excel函数外汇术语样本标准差应用实

例

1.选基金

2.股市分析中

3.标准差在确定企业最优资本结构中的应

用

展开简介标准差的意义

离散度

1.极差

2.离均差的平方和

3.方差（S2）

4.标准差（SD）

5.变异系数（CV）

解释标准差与标准误的区别

1.标准误

Excel函数外汇术语样本标准差应用实

例

1.选基金

2.股市分析中

标准差在确定企业最优资本结构中的应用

编辑本段简介

标准差（StandardDeviation），在概率统

计中最常使用作为统计分布程度（statistical

dispersion）上的测量。标准差定义为方差的算

术平方根，反映组内个体间的离散程度。测量

到分布程度的结果，原则上具有两种性质：

为非负数值，与测量资料具有相同单位。

一个总量的标准差或一个随机变量的标准差，

及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。

标准计算公式

假设有一组数值X1,X2,X3,......Xn（皆为实

数），其平均值为μ，公式如图1.

图1

标准差也被称为标准偏差，或者实验标准

差，公式如图2。

图2

简单来说，标准差是一组数据平均值分散

程度的一种度量。一个较大的标准差，代表大

部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小

的标准差，代表这些数值较接近平均值。

例如，两组数的集合{0,5,9,14}和{5,6,

8,9}其平均值都是7，但第二个集合具有较

小的标准差。

标准差可以当作不确定性的一种测量。例

如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值

集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决

定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占

有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值

相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为

测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因

为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以

合理推论预测值是否正确。

标准差应用于投资上，可作为量度回报稳

定性的指标。标准差数值越大，代表回报远离

过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。相

反，标准差数值越细，代表回报较为稳定，风

险亦较小。

例如，A、B两组各有6位学生参加同一次

语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、

45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。

这两组的平均数都是70，但A组的标准差为

17.078分，B组的标准差为2.16分（此数据是

在R统计软件中运行获得），说明A组学生之

间的差距要比B组学生之间的差距大得多。

如是总体，标准差公式根号内除以n如

是样本，标准差公式根号内除以（n-1)因

为我们大量接触的是样本，所以普遍使用根号

内除以（n-1)

公式意义

所有数减去其平均值的平方和，所得结果除以

该组数之个数（或个数减一，即变异数)，再把

所得值开根号，所得之数就是这组数据的标准

差。

深蓝区域是距平均值小于一个标准差之内

的数值范围。在正态分布中，此范围所占比率

为全部数值之68%。根据正态分布，两个标

准差之内（深蓝，蓝）的比率合起来为95%。

根据正态分布，三个标准差之内（深蓝，蓝，

浅蓝）的比率合起来为99%。

正态分布图

标准差的意义

标准计算公式假设有一组数值（皆为实

数），其平均值为：

.此组数值的标准差为：

样本标准差

在真实世界中，除非在某些特殊情况下，

找到一个总体的真实的标准差是不现实的。大

多数情况下，总体标准差是通过随机抽取一定

量的样本并计算样本标准差估计的。

从一大组数值当中取出一样本数值组合，

常定义其样本标准差：

样本方差s是对总体方差σ的无偏估计。

s中分母为n-1是因为的自由度为n1，这

是由于存在约束条件。

这里示范如何计算一组数的标准差。例如

一群儿童年龄的数值为{5,6,8,9}：

第一步，计算平均值

第二步，计算标准差

编辑本段离散度

标准差是反应一组数据离散程度最常用的

一种量化形式，是表示精确度的重要指标。说

起标准差首先得搞清楚它出现的目的。我们使

用方法去检测它，但检测方法总是有误差的，

所以检测值并不是其真实值。检测值与真实值

之间的差距就是评价检测方法最有决定性的指

标。但是真实值是多少，不得而知。因此怎样

量化检测方法的准确性就成了难题。这也是临

床工作质控的目的：保证每批实验结果的准确

可靠。

虽然样本的真实值是不可能知道的，但是

每个样本总是会有一个真实值的，不管它究竟

是多少。可以想象，一个好的检测方法，其检

测值应该很紧密的分散在真实值周围。如果不

紧密，与真实值的距离就会大，准确性当然也

就不好了，不可能想象离散度大的方法，会测

出准确的结果。因此，离散度是评价方法的好

坏的最重要也是最基本的指标。

一组数据怎样去评价和量化它的离散度呢?

人们使用了很多种方法：

极差

最直接也是最简单的方法，即最大值－最

小值（也就是极差）来评价一组数据的离散度。

这一方法在日常生活中最为常见，比如比赛中

去掉最高最低分就是极差的具体应用。

离均差的平方和

由于误差的不可控性，因此只由两个数据

来评判一组数据是不科学的。所以人们在要求

更高的领域不使用极差来评判。其实，离散度

就是数据偏离平均值的程度。因此将数据与均

值之差（我们叫它离均差）加起来就能反映出

一个准确的离散程度。和越大离散度也就越大。

但是由于偶然误差是成正态分布的，离均

差有正有负，对于大样本离均差的代数和为零

的。为了避免正负问题，在数学有上有两种方

法：一种是取绝对值，也就是常说的离均差绝

对值之和。而为了避免符号问题，数学上最常

用的是另一种方法－－平方，这样就都成了非

负数。因此，离均差的平方和成了评价离散度

一个指标。

方差（S2）

由于离均差的平方和与样本个数有关，只

能反应相同样本的离散度，而实际工作中做比

较很难做到相同的样本，因此为了消除样本个

数的影响，增加可比性，将标准差求平均值，

这就是我们所说的方差成了评价离散度的较好

指标。

样本量越大越能反映真实的情况，而算数

均值却完全忽略了这个问题，对此统计学上早

有考虑，在统计学中样本的均差多是除以自由

度（n-1)，它的意思是样本能自由选择的程度。

当选到只剩一个时，它不可能再有自由了，所

以自由度是n-1。

标准差（SD）

由于方差是数据的平方，与检测值本身相

差太大，人们难以直观的衡量，所以常用方差

开根号换算回来这就是我们要说的标准差。

在统计学中样本的均差多是除以自由度

（n-1)，它是意思是样本能自由选择的程度。

当选到只剩一个时，它不可能再有自由了，所

以自由度是n-1。

变异系数（CV）

标准差能很客观准确的反映一组数据的离

散程度，但是对于不同的检目，或同一项目不

同的样本，标准差就缺乏可比性了，因此对于

方法学评价来说又引入了变异系数CV。

一组数据的平均值及标准差常常同时做为

参考的依据。在直觉上，如果数值的中心以平

均值来考虑，则标准差为统计分布之一“自然”

的测量。

定义公式：其中N应为n-1，即自由度

标准差与平均值定义公式

1、方差

s^2=[(x1-x)^2+(x2-x)^2+......(xn-x)^2]/(n)（x

为平均数）

2、标准差=方差的算术平方根

errorbar。在实验中单次测量总是难免会

产生误差，为此我们经常测量多次，然后用测

量值的平均值表示测量的量，并用误差条来表

征数据的分布，其中误差条的高度为±标准误。

这里即标准差standarddeviation和标准误

standarderror的计算公式分别为

标准差

标准误

编辑本段解释

从几何学的角度出发，标准差可以理解为

一个从n维空间的一个点到一条直线的距离

的函数。举一个简单的例子，一组数据中有3

个值，X1,X2,X3。它们可以在3维空间中确定

一个点P=(X1,X2,X3)。想像一条通过原点的

直线。如果这组数据中的3个值都相等，则点

P就是直线L上的一个点，P到L的距离为

0,所以标准差也为0。若这3个值不都相等，

过点P作垂线PR垂直于L，PR交L于点

R，则R的坐标为这3个值的平均数：

公式

运用一些代数知识，不难发现点P与点R之

间的距离(也就是点P到直线L的距离)是。

在n维空间中，这个规律同样适用，把3换成

n就可以了。

编辑本段标准差与标准误的区别

标准差与标准误都是心理统计学的内容，

两者不但在字面上比较相近，而且两者都是表

示距离某一个标准值或中间值的离散程度，即

都表示变异程度，但是两者是有着较大的区别

的。

首先要从统计抽样的方面说起。现实生活

或者调查研究中，我们常常无法对某类欲进行

调查的目标群体的所有成员都加以施测，而只

能够在所有成员（即样本）中抽取一些成员出

来进行调查，然后利用统计原理和方法对所得

数据进行分析，分析出来的数据结果就是样本

的结果，然后用样本结果推断总体的情况。一

个总体可以抽取出多个样本，所抽取的样本越

多，其样本均值就越接近总体数据的平均值。

表示的就是样本数据的离散程度。标准差

就是样本平均数方差的开平方，标准差通常是

相对于样本数据的平均值而定的，通常用

M±SD来表示，表示样本某个数据观察值相距

平均值有多远。从这里可以看到，标准差受到

极值的影响。标准差越小，表明数据越聚集；

标准差越大，表明数据越离散。标准差的大小

因测验而定，如果一个测验是学术测验，标准

差大，表示学生分数的离散程度大，更能够测

量出学生的学业水平；如果一个测验测量的是

某种心理品质，标准差小，表明所编写的题目

是同质的，这时候的标准差小的更好。标准差

与正态分布有密切联系：在正态分布中，1个

标准差等于正态分布下曲线的68.26%的面积，

1.96个标准差等于95%的面积。这在测验分数

等值上有重要作用。

标准误

表示的是抽样的误差。因为从一个总体中

可以抽取出无数多种样本，每一个样本的数据

都是对总体的数据的估计。标准误代表的就是

当前的样本对总体数据的估计，标准误代表的

就是样本均数与总体均数的相对误差。标准误

是由样本的标准差除以样本容量的开平方来计

算的。从这里可以看到，标准误更大的是受到

样本容量的影响。样本容量越大，标准误越小，

那么抽样误差就越小，就表明所抽取的样本能

够较好地代表总体。

编辑本段Excel函数

Excel中有STDEV、

STDEVP;STDEVA,STDEVPA四个函数，分别

表示样本标准差、总体标准差；包含逻辑值运

算的样本标准差、包含逻辑值运算的总体标准

差（excel用的是“标准偏差”字样）。

在计算方法上的差异是：样本标准差=（样

本方差/(数据个数-1))^2；总体标准差=（总体

方差/(数据个数))^2。

函数的excel分解：

（1）stdev（）函数可以分解为（假设样

本数据为A1：E10这样一个矩阵）：

stdev(A1：E10)=sqrt(DEVSQ(A1：

E10)/(COUNT(A1：E10)-1))

（2）stdevp（）函数可以分解为（假设总

体数据为A1：E10这样一个矩阵）：

stdev(A1：E10)=sqrt(DEVSQ(A1：

E10)/(COUNT(A1：E10)))

同样的道理stdeva()与stdevpa()也有同样

的分解方法。

编辑本段外汇术语

标准差指统计上用于衡量一组数值中某一

数值与其平均值差异程度的指标。标准差被用

来评估价格可能的变化或波动程度。标准差越

大，价格波动的范围就越广，股票等金融工具

表现的波动就越大。

在excel中调用函数

“STDEV“

估算样本的标准偏差。标准偏差反映相对

于平均值(mean)的离散程度。

编辑本段样本标准差

在真实世界中，除非在某些特殊情况下，

不然找到一个总体的真实的标准差是不现实

的。大多数情况下，总体标准差是通过随机抽

取一定量的样本并计算样本标准差估计的。

编辑本段应用实例

选基金

在投资基金上，一般人比较重视的是业绩，

但往往买进了

基金的算法

近期业绩表现最佳的基金之后，基金表现反而

不如预期，这是因为所选基金波动度太大，没

有稳定的表现。

衡量基金波动程度的工具就是标准差

(StandardDeviation)。标准差是指基金可能的

变动程度。标准差越大，基金未来净值可能变

动的程度就越大，稳定度就越小，风险就越高。

比方说，一年期标准差是30%的基金，表

示这类基金的净值在一年内可能上涨30%，但

也可能下跌30%。因此，如果有两只收益率相

同的基金，投资人应该选择标准差较小的基金

(承受较小的风险得到相同的收益)，如果有两只

相同标准差的基金，则应该选择收益较高的基

金(承受相同的风险，但是收益更高)。建议投资

人同时将收益和风险计入，以此来判断基金。

例如，A基金二年期的收益率为36%，标准差

为18%；B基金二年期收益率为24%，标准差

为8%，从数据上看，A基金的收益高于B基

金，但同时风险也大于B基金。A基金的"每单

位风险收益率"为2(0.36/0.18)，而B基金为

3(0.24/0.08)。因此，原先仅仅以收益评价是A

基金较优，但是经过标准差即风险因素调整后，

B基金反而更为优异。

另外，标准差也可以用来判断基金属性。

据晨星统计，今年以来股票基金的平均标准差

为5.14，积配型基金的平均标准差为5.04；保

守配置型基金的平均标准差为4.86；普通债券

基金平均标准差为2.91；货币基金平均标准差

则为0.19；由此可见，越是积极型的基金，标

准差越大；而如果投资人持有的基金标准差高

于平均值，则表示风险较高，投资人不妨在观

赏奥运比赛的同时，也检视一下手中的基金。

股市分析中

股票价格的波动是股票市场风险的表现,

因此股票市场风险分析就是对股票市场价格波

动进行分析。波动性代表了未来价格取值的不

确定性,这种不确定性一般用方差或标准差来

刻画(Markowitz,1952)。下表是中国和美国部分

时段的股票统计指标,其中中国证券市场的数

据由“钱龙”软件下载,美国证券市场的数据取

自ECI的“WorldStockExchangeDataDisk”。

表2股票统计指标

年份业绩表现波动率

上证综指标准普尔指数上证综指

标准普尔指

数

1996110.9316.460.2376O.0573

1997-0.1331.01O.1188O.0836

19988.9426.67O.0565O.0676

199917.2419.53O.15120.0433

200043.86-10.140.0970.0421

2001-15.34-13.04O.0902O.0732

2002-20.82-23.37O.0582O.1091

通过计算可以得到：

上证综指业绩期望值

≈(110.93-0.13+8.94+17.24+43.86-15.34-20.82)/7

=20.67

上证波动率期望值≈0.1156

标准普尔业绩期望值≈6.7214

标准普尔波动率期望值≈0.0680

而标准差的计算公式则根据公

分析图2

式(2)计算：

上证综指的业绩标准差

上证波动率标准差≈0.0632

标准普尔指数业绩标准差≈21.71

标准普尔波动率标准差≈0.02365

因为标准差是绝对值，不能通过标准差对

中美直接进行对比，而变异系数可以直接比较。

计算可得：

上证业绩变异系数≈45.2457/20.67≈2．1889

上证波动率变异系数

≈0.0632/0.1156≈0.5467

标准普尔业绩变异系数

≈21.71/6.7214≈3.2299

标准普尔波动率变异系数

≈0.02365/0.0680≈0.3478

通过比较可以看出上证波动率变异系数要

大于标准普尔波动率变异系数，说明长期来讲

中国股市稳定性相对较差，还是一个不太成熟

的股票市场。

标准差在确定企业最优资本结构中的应用

资本结构指的是企业各种资金来源的比例

关系，是企业筹资活动的结果。最优资本结构

是指能使企业资本成本最低且企业价值最大的

资本结构；产权比率，即借入资本与自有资本

的构成比例，是反映企业资本结构的重要变量。

企业的资产由债务性资金和权益性资金组成，

但其

分析图

风险等级和收益率各不相同。根据投资组合理

论，投资的多样化可以分散掉一定的风险，因

此资金提供者需要决定投资于债务性资金和权

益性资金的比例。以便在权衡风险和收益的情

况下保证其利益的最大化。

理论探索而外部资金提供者利益的最大化

也就是企业价值的最大化，这一投资比例对于

企业融资而言也就是企业的最优资本结构比

例。

假定某企业的资金通过发行债券和股票两

种方式获得，并且都属于风险性资产。σ其中

债券的收益率为rD，风险通过标准差σD来衡

量；股票的收益率为rE，风险为σE；股票和

债券的相关系数为pDE，协方差为

COV(rD,rE)；债券所占的比重为wD，股票所

占比重为WE(WD+WE=1)。根据投资组合理

论，企业外部投资者对该企业投资所获的期望

收益率为E(rp)=WDE(rD)+wEE(rE)，方差为

方差

1、企业债务性资金和权益性资金完全正相关，

即相关系数pDE为1。企业外部投资者获得的

期望收益率为E(rp)=wDE(rD)+wEE(rE)，风

险标准差为σ=wDσD+wEσE,也就是组合的

标准差等于各个部分标准差的加权平均值，通

过投资组合不可能分散掉投资风险。根据投资

组合理论，投资组合的不同比例对于投资者而

言是无差异的。

2、企业债务性资金和权益性资金完全负相

关，即其相关系数为-1。投资者获得的报酬率

的期望值及其方差分别为。根据投资组合理论，

只有当投资比例大于σE/(σD+σE)时其投资

组合才是有效的。对于企业筹资而言，也即企

业的权益性资金的比例大干σE/(σD+σE)，企

业的筹资比例才是有效的，而且当组合比例为

σE/(σD+σE)时，企业的筹资组合风险为零。

3、企业债务性资金和权益性资金的相关系

数大于-1小于1。理论上，一个企业的两种筹

资方式之间的相关程度较高，一方面两种筹资

方式都承担系统风险，另一方面它们也承担相

同的公司风险。因此从实践来看，企业的不同

筹资方式间的相关程度不可能是完全的正相关

和负相关。对于一个企业而言，债务性资金对

企业有固定的要求权，权益性资金对企业只有

剩余要求权，因此债务性资金的波动不可能像

权益性资金的波动那么大。同时企业的风险会

同时影响企业的债务性资金和权益性资金，因

此企业的债务性资金和权益性资金的相关系数

不可能为负数。企业不同的筹资方式间的相关

系数一般在0-1之间。

那么究竟在什么比例下企业的价值才会达

到最大呢?根据投资组合理论，当E(r1)>E(r2)，

且

方差3

时，才能出现r1，优于r2。可见，决定企业资

本结构的直接因素主要是不同筹资方式的收益

率和风险以及它们之间的相关系数。