arctan

习题34

1判定函数f(x)arctanxx单调性

解因为0

1

1

1

1

1

)(

22













xx

xf且仅当x0时等号成立所以f(x)在()内单调

减少

2判定函数f(x)xcosx(0x2)的单调性

解因为f(x)1sinx0所以f(x)xcosx在[02]上单调增加

3确定下列函数的单调区间

(1)y2x36x218x7

(2)

x

xy

8

2

(x>0)

(3)

xxx

y

694

10

23



(4))1ln(2xxy

(5)y(x1)(x1)3

(6)

)0.())(2(3

2axaaxy



(7)yxne

x(n>0x0)

(8)yx|sin2x|

解(1)y6x212x186(x3)(x1)0令y0得驻点x

1

1x

2

3

列表得

可见函数在(1]和[3)内单调增加在[13]内单调减少

(2)0

)2)(2(2

8

2

22









x

xx

x

y令y0得驻点x

1

2x

2

2(舍去)

因为当x2时y0当0x2时y0所以函数在(02]内单调减少在[2)内单调增

加

(3)

223)694(

)1)(12(60

xxx

xx

y









令y0得驻点

2

1

1

x

x

2

1不可导点为x0

列表得

x

(0)

0

(0

2

1

)

2

1

(

2

1



1

(1)

y

不存在



0



0



y↘↘０↗↘

x

(1)1(13)

3

(3)

y

0



0



y↗↘↗

可见函数在(0)

]

2

1

,0(

[1)内单调减少在

]1,

2

1

[

上单调增加

(4)因为

0

1

1

)

12

2

1(

1

1

222

















xx

x

xx

y

所以函数在()内单调增加

(5)y(x1)33(x1)(x1)2

2)1)(

2

1

(4xx

因为当

2

1

x

时y0当

2

1

x

时y0所以函

数在

]

2

1

,(

内单调减少在

),

2

1

[

内单调增加

(6)

3

2)()2(3

)

3

2

(

xaax

a

x

y









驻点为

3

2

1

a

x

不可导点为

22

a

x

x

3

a

列表得

x

)

2

,(

a



2

a

)

3

2

,

2

(

aa

3

2a

),

3

2

(a

a

a

(a)

y

+不存在+0



不存在



y↗↗↘↗

可见函数在

)

2

,(

a





]

3

2

,

2

(

aa

(a)内单调增加在

),

3

2

[a

a

内单调减少

(7)ye

xxn

1(nx)驻点为xn因为当0xn时y0当xn时y0所以函数在[0n]

上单调增加在[n)内单调减少

(8)































kxkxx

kxkxx

y

2

2sin

2

2sin

(k012)

































kxkx

kxkx

y

2

2cos21

2

2cos21

(k012)

y是以为周期的函数在[0]内令y0得驻点

21



x



6

5

2



x

不可导点为

23



x



列表得

x

)

3

,0(



3



)

2

,

3

(



2



)

6

5

,

2

(



6

5

),

6

5

(



y

+0



不存在



0



y↗↘↗↘

根据函数在[0]上的单调性及y在()的周期性可知函数在

]

32

,

2

[





kk

上单调增加在

]

22

,

32

[





kk

上单调减少(k012)

4证明下列不等式

(1)当x0时

xx1

2

1

1



(2)当x0时221)1ln(1xxxx

(3)当

2

0



x

时sinxtanx2x

(4)当

2

0



x

时3

3

1

tanxxx



(5)当x4时2xx2

证明(1)设

xxxf1

2

1

1)(

则f(x)在[0)内是连续的因为

x

xf







12

1

2

1

)(

0

12

11









x

x



所以f(x)在(0)内是单调增加的从而当x0时f(x)>f(0)0即

01

2

1

1xx



也就是

xx1

2

1

1



(2)设221)1ln(1)(xxxxxf则f(x)在[0)内是连续的因为

0)1ln(

1

)

1

1(

1

1

)1ln()(2

222

2















xx

x

x

x

x

xx

xxxxf



所以f(x)在(0)内是单调增加的从而当x0时f(x)f(0)0即

01)1ln(122xxxx

也就是221)1ln(1xxxx

(3)设f(x)sinxtanx2x则f(x)在

)

2

,0[



内连续

f(x)cosxc2x2

x

xxx

2

2

cos

]cos)1)[(cos1(cos





因为在

)

2

,0(



内cosx10cos2x10cosx0所以f(x)0从而f(x)在

)

2

,0(



内单调增

加因此当

2

0



x

时f(x)f(0)0即

sinxtanx2x0

也就是sinxtanx2x

(4)设3

3

1

tan)(xxxxf

则f(x)在

)

2

,0[



内连续

))(tan(tantan1c)(2222xxxxxxxxxf





因为当

2

0



x

时tanxxtanxx0所以f(x)在

)

2

,0(



内单调增加因此当

2

0



x

时

f(x)f(0)0即

0

3

1

tan3xxx



也就是2

3

1

tanxxx



(5)设f(x)xln22lnx则f(x)在[4)内连续因为

0

4

2

2

ln2

2

4ln2

2ln)(



e

xx

xf



所以当x4时f(x)0即f(x)内单调增加

因此当x4时f(x)f(4)0即xln22lnx0也就是也就是2x>x2

5讨论方程lnxax(其中a>0)有几个实根？

解设f(x)lnxax则f(x)在(0)内连续

x

ax

a

x

xf







11

)(

驻点为

a

x

1





因为当

a

x

1

0

时f(x)0所以f(x)在

)

1

,0(

a

内单调增加当

a

x

1



时f(x)0所以f(x)在

),

1

(

a

内单调减少又因为当x0及x时f(x)所以如果

01

1

ln)

1

(

aa

f

即

e

a

1



则方程有且仅有两个实根如果

01

1

ln)

1

(

aa

f

即

e

a

1



则方程没有实根如果

01

1

ln)

1

(

aa

f

即

e

a

1



则方程仅有一个实根

6单调函数的导函数是否必为单调函数？研究下面这个例子

f(x)xsinx

解单调函数的导函数不一定为单调函数

例如f(x)xsinx在(内是单调增加的但其导数不是单调函数事实上

f(x)1cosx0

这就明f(x)在(内是单调增加的f(x)sinx在(内不保持确定的符号

故f(x)在(内不是单调的

7判定下列曲线的凹凸性

(1)y4xx2

(2)yshx

(3)

x

y

1

1

(x>0)

(4)yxarctanx

解(1)y42xy2

因为y0所以曲线在()内是凸的

(2)ychxyshx令y0得x0

因为当x0时yshx0当x0时yshx0所以曲线在(0]内是凸的在[0)内

是凹的

(3)

2

1

x

y





3

2

x

y





因为当x0时y0所以曲线在(0)内是凹的

(4)

21

arctan

x

x

xy









22)1(

2

x

y









因为在()内y>0所以曲线yxarctgx在()内是凹的

8求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间

(1)yx35x23x5

(2)yxe

x

(3)y(x1)4ex

(4)yln(x21)

(5)yearctan

x

(6)yx4(12lnx7)

解(1)y3x210x3y6x10令y0得

3

5

x



因为当

3

5

x

时y0当

3

5

x

时y0所以曲线在

]

3

5

,(

内是是凸的在

),

3

5

[

内是

凹的拐点为

)

27

20

,

3

5

(



(2)ye

xxe

xye

xe

xxe

xe

x(x2)令y0得x2

因为当x2时y0当x2时y0所以曲线在(2]内是凸的在[2)内是凹的

拐点为(22e2)

(3)y4(x1)3exy12(x1)2ex

因为在()内y>0所以曲线y(x1)4ex的在()内是凹的无拐点

(4)

1

2

2





x

x

y

2222

2

)1(

)1)(1(2

)1(

22)1(2















x

xx

x

xxx

y令y0得x

1

1x

2

1

列表得

可见曲线在(1]和[1)内是凸的在[11]内是凹的拐点为(1ln2)和(1ln2)

(5)

2

arctan

1

1

x

eyx









)21(

12

arctan

x

x

e

y

x









令y0得

2

1

x



因为当

2

1

x

时y>0当

2

1

x

时y<0所以曲线yearctg

x在

]

2

1

,(

内是凹的在

),

2

1

[

内是凸的拐点是

),

2

1

(2

1

arctan

e



(6)y4x3(12lnx7)12x3y144x2lnx令y0得x1

因为当0x1时y0当x1时y0所以曲线在(01]内是凸的在[1)内是凹的

拐点为(17)

9利用函数图形的凹凸性证明下列不等式

(1)nnn

yx

yx)

2

()(

2

1





(x0y0xyn1)

(2)

)(

2

2yxe

eeyx

yx







(3)

2

ln)(lnln

yx

yxyyxx





(x0y0xy)

证明(1)设f(t)tn则f(t)ntn

1f(t)n(n1)tn

2因为当t>0时f(t)>0所以曲线f(t)tn

在区间(0)内是凹的由定义对任意的x>0y>0xy有

)

2

()]()([

2

1

yx

fyfxf







即nnn

yx

yx)

2

()(

2

1







(2)设f(t)et则f(t)etf(t)et因为f(t)0所以曲线f(t)et在()内是凹的由定

义对任意的xy()xy有

x

(1)1(11)

1

(1)

y

0



0



y

ln2

拐点



ln2

拐点



)

2

()]()([

2

1

yx

fyfxf







即

)(

2

2yxe

eeyx

yx







(3)设f(t)tlnt则f(t)lnt1

t

tf

1

)(





因为当t>0时f(t)>0所以函数f(t)tlnt的图形在(0)内是凹的由定义对任意的

x>0y>0xy有

)

2

()]()([

2

1

yx

fyfxf







即

2

ln)(lnln

yx

yxyyxx







10试证明曲线

1

1

2





x

x

y有三个拐点位于同一直线上

证明

22

2

)1(

12









x

xx

y

3232

23

)1(

)]32()][32()[1(2

)1(

2662















x

xxx

x

xxx

y

令y0得x

1

132

2

x32

3

x

例表得

x

(1)1)32,1(

32

)32,32(

32

),32(

y

0



0



0



y1

)32(4

31







)32(4

31







可见拐点为(11)

)

)32(4

31

,32(









)

)32(4

31

,32(







因为

4

1

)1(32

)1(

)32(4

31













4

1

)1(32

)1(

)32(4

31













所以这三个拐点在一条直线上

11问a、b为何值时点(13)为曲线yax3bx2的拐点？

解y3ax22bxy6ax2b要使(13)成为曲线yax3bx2的拐点必须y(1)3且y(1)0

即ab3且6a2b0解此方程组得

2

3

a



2

9

b



12试决定曲线yax3bx2cxd中的a、b、c、d使得x2处曲线有水平切线

(110)为拐点且点(244)在曲线上

解y3ax22bxcy6ax2b依条件有



























0)1(

0)2(

10)1(

44)2(

y

y

y

y

即























026

0412

10

44248

ba

cba

dcba

dcba



解之得a1b3c24d16

13试决定yk(x23)2中k的值使曲线的拐点处的法线通过原点

解y4kx312kxy12k(x1)(x1)令y0得x

1

1x

2

1

因为在x

1

1的两侧y是异号的又当x1时y4k所以点(14k)是拐点

因为y(1)8k所以过拐点(14k)的法线方程为

)1(

8

1

4x

k

ky

要使法线过原点则

(00)应满足法线方程即

k

k

8

1

4



8

2

k



同理因为在x

1

1的两侧y是异号的又当x1时y4k所以点(14k)也是拐点

因为y(1)8k所以过拐点(14k)的法线方程为

)1(

8

1

4x

k

ky

要使法线过原点则(0

0)应满足法线方程即

k

k

8

1

4



8

2

k



因此当

8

2

k

时该曲线的拐点处的法线通过原点

14设yf(x)在xx

0

的某邻域内具有三阶连续导数如果f(x

0

)0而f(x

0

)0

试问(x

0

f(x

0

))是否为拐点？为什么？

解不妨设f(x

0

)0由f(x)的连续性存在x

0

的某一邻域(x

0

x

0

)在此邻域内有f

(x)0由拉格朗日中值定理有

f(x)f(x

0

)f()(xx

0

)(介于x

0

与x之间)

即f(x)f()(xx

0

)

因为当x

0

xx

0

时f(x)0当x

0

xx

0

时f(x)0所以(x

0

f(x

0

))是拐点