n是什么数

1

正数与负数

一、定义

1、正数：像，3，2，1.8%这样大于0的数叫做正数．

2、负数：像－3，－2，－2.7%这样在正数前面加上负号“－”的数叫做负数．

3、0：0既不是正数，也不是负数．

二、例题讲解

例1、下列四组数中，都是正数或都是负数的是（）

①4，1，，0.3②2，－3，0③－1，－0.1，④－2009，－2，0

A．①③④B．②④C．①③D．①②③

答案：C

例2、将下列各数填入相应的括号内：－2.5，3.14，－2，＋72，－0.6，0，．

答案：

正数，负数

例3、下列说法中不正确的是（）

A．0是自然数B．0是正数

C．0是整数D．0表示没有

答案：B

例4、一个物体沿着南北方向在运动，若规定向南记作正，向北记作负，则该物体：（1）向南运动

20米记作__________，向北运动50米记作__________；（2）＋25表示向南运动__________米，－

26表示向__________运动__________米；（3）原地不动记作__________．

答案：

（1）＋20米，－50米；

（2）南，25，北，26；

2

（3）0

例5、学校篮球队选拔男队员，按规定队员的标准身高为175cm，高于标准身高记录为正，低于标准

身高记录为负，现有参选队员5人，量得他们的身高后，分别记录为－6cm，－4cm，＋1cm，＋2cm，

－7cm，若实际选拔的男队员的身高为170cm～180cm，那么上述五人中有几人可入选？

答案：3人可入选．

例6、数学考试成绩以96分以上为优秀，以96分为标准，老师将某组的八名同学的成绩简记为：＋4，

－3，＋10，－10，＋16，－17，0，＋7.5．

（1）分别写出这八名同学的实际成绩；

（2）求出这八名同学的平均分．

答案：

（1）100，93，106，86，112，79，96，103.5．

（2）96.9375．

例7、小虫从某点O出发在同一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记

为负数，爬过的各段路程依次记为（单位：厘米）：＋5，－3，＋10，－8，－6，＋12，－10．

（1）小虫离开出发点O最远时是多少厘米？

（2）小虫从出发到最后停下来回共爬行多少厘米？

答案：

（1）5，5＋（－3）=2，2＋10=12，12＋（－8）=4，4＋（－6）=－2，－2＋12=10，10＋（－

10）=0，最远时是12cm．

（2）5＋3＋10＋8＋6＋12＋10=54cm．

例8、观察下列一列数：1，－2，－3，4，－5，－6，7，－8，－9，……

（1）请写出这一列数中的第100个数和第2009个数．

（2）在前2010个数中，正数和负数分别有多少个？

（3）2011和－2011是否在这一列数中，若在，请写出它们分别是第几个数？若不存在，请说明

理由．

答案：

（1）100，－2009．

（2）670个正数，1340个负数．

3

（3）因为第2011个数是正数，所以存在2011，而不存在－2011．

有理数

一、有理数的分类

二、例题讲解

例1、下列说法正确的是（）

A．有理数是正数

B．有理数包括正数和负数

C．零不是有理数

D．有理数包括正有理数、0和负有理数

答案：D

例2、下列关于有理数分类正确的是（）

A．有理数分为正有理数和负有理数；

B．有理数分为正整数、负整数、正分数、负分数；

C．有理数分为正有理数，0，分数；

D．有理数分为自然数，负整数，分数．

答案：D

例3、把下列各数填在相应的大括号里：

4

－5，2，，－2，0，2008，－25，6.3，－3.7

答案：

负数{－5，，－2，－25，－3.7}；

整数{－5，2，－2，0，2008，－25}；

自然数{2，0，2008}；

分数{，6.3，－3.7}．

例4、在数6.4，－π，－0.6，，10.1，－2010中（）

A．有理数有6个B．－π是负数

C．非正数有3个D．以上都不对

答案：BC

例5、下列各数：3，－5，，0.2，0.97，－0.21，－6，3009，，1．其中正数有________个，

负数________个，正分数有________个，负分数有________个，非负整数有________个．

答案：6；4；3；2；3

例6、按规律填空：

（1）－1，－2，3，－4，－5，6，________，________，________；

（2）________，________，________；

（3）－1，－3，－5，－7，________，________，________．

答案：

（1）－7，－8，9；

5

（2）

（3）－9，－11，－13．

例7、将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：

（1）在A处的数是正数还是负数？

（2）负数排在A、B、C、D中的什么位置？

（3）第2010个数是正数还是负数？排在对应于A、B、C、D中的什么位置？

解：

（1）在A处的数是正数；

（2）B和D位置是负数；

（3）第2010个数是正数，排在C的位置．

例8、已知A、B、C三个集合，每个集合中所包含的数都写在各自的大括号内，请把这些数填在下图

圈内的相应位置．

A={－2，－3，－8，6，7}；

B={－3，－5，1，2，6}；

C={－1，－3，－8，2，5}．

答案：

6

数轴

一、数轴三要素：原点、正方向、单位长度．

二、例题讲解

例1、下列各图中，是数轴的是（）

A．B．

C．D．

答案：D

例2、数轴上原点及原点左边的点表示__________．

答案：非正数

例3、如图，指出数轴上A、B、C、D、E分别表示什么数．

A点表示__________；B点表示__________；C点表示__________；D点表示__________；E点

表示__________．

答案：A：1；B：－3；C：2.5；D：－1；E：－5．

例4、在数轴上距原点2010个单位长度的点表示的数是（）

A．2010B．－2010

C．2010或－2010D．以上都不对

答案：C

例5、2008年8月第29届奥运会在北京开幕，5个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示如

图所示，那么北京时间2008年8月8日20时应是（）

7

A．伦敦时间2008年8月8日11时

B．巴黎时间2008年8月8日13时

C．纽约时间2008年8月8日5时

D．首尔时间2008年8月8日19时

答案：B

例6、数轴上点A和点B表示的数分别是－1.2和2.2，点C到A，B两点的距离相等，则点C表示

的数是（）

A．1B．0.5

C．0.6D．0.8

答案：B

例7、已知数轴上有三个点A、B、C，点A表示的数是2，点B在点A的左侧5个单位长度，点C

在点B的右侧4个单位长度，则点B表示的数是__________，点C表示的数是__________．

答案：－3；1

例8、在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位

长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C．

（1）写出A、B、C三点表示的数；

（2）根据点C在数轴上的位置，C点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长

度得到的？

解：

（1）A表示4，B表示6，C表示－4：

（2）C点可以看作是蚂蚁从原点出发向左爬了4个单位长度．

例9、已知在一条只有正方向的不完整的数轴上有A，B，C，D四个点，如图所示，

（1）若点C是原点，单位长度是1，则A，B，C，D四点分别表示什么数？

（2）若点B是原点，点C表示的数为10，则A，D两点所表示的数分别是什么数？

8

（3）若D点表示的数是6，A点表示的数是－12，则在图中标出原点的位置，并写出B，C两点

各表示什么数？

解：

（1）A，B，C，D四点分别表示－3，－1，0，3；

（2）A，D两点分别表示－20，40；

（3）原点在点C右边的一点，B，C两点分别表示－6，－3．

例10、（1）一只蝈蝈在数轴上跳动，先从A处向左跳1个单位长度到B，然后由B向右跳2个单位

长度到C，若C表示的数为－3，则点A所表示的数为__________．

（2）若蝈蝈第一步从P

0

向左跳1个单位长度到P

1

，第二步从P

1

向右跳2个单位长度到P

2

，第三

步由P

2

向左跳3个单位长度到P

3

，第四步由P

3

向右跳4个单位长度到P

4

，……，按以上规律跳了100

步，蝈蛔落在数轴上的点P

100

所表示的数是2010，则这只蝈蝈初始位置P

0

所表示的数是__________．

答案：（1）－4（2）1960

相反数

一、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．

二、除零外的两个相反数在数轴上，位于原点的两侧，且到原点的距离相等，即一个正数的相反数是

一个负数；一个负数的相反数是一个正数；0的相反数仍是0．

三、例题讲解

例1、如图，表示互为相反数的两个数的点是（）

A．A和CB．A和D

C．B和CD．B和D

答案：C

例2、化简下列各数的符号：

（1）－（＋5）（2）＋（－3）

（3）－[－（＋6）]（4）－[－（－8）]

9

答案：（1）－（2）－（3）＋（4）－

例3、下列各对数中，互为相反数的有（）

①（－1）与＋（－1）

②＋（＋2）与－2

③－（－3）与＋（－3）

④

⑤＋[－（＋4）]与[＋（－4）]

⑥－[－（＋2）]与＋[＋（－2）]

A．1对B．2对C．3对D．4对

答案：C

例4、点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，其中表示－2的相反数的点是__________．

答案：B

例5、如图所示，是一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A、B、C内分别填入适当的数，

使得它们折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数，则填入正方形A、B、C内的三个数依次为

（）

A．1，－2，0B．0，－2，1

C．－2，0，1D．－2，1，0

答案：A

例6、数轴上的点A向右移5个单位长度后到点A′，若A与A′表示的数恰好互为相反数，那么点A

表示的数是（）

A．2.5B．－2.5

10

C．5D．－5

答案：B

例7、已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示：

（1）在数轴上表示出－a、－b；

（2）比较a、b、－a、－b的大小（用“＞”连接）．

答案：－a＞b＞-b＞a．

例8、如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上，

（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为__________；

（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为__________；

（3）若点A和点D表示的数互为相反数，在数轴上表示出原点的位置．

解：

（1）B

（2）C

（3）在点B和点C正中间的点即为原点，如图．

例9、数轴上到原点的距离小于2的整数点的个数为x，不大于2的整数点的个数为y，等于2的整数

点的个数为z，求x＋y＋z的值．

解：

在数轴上到原点的距离小于2的整数点有－1，0，1的对应点，即x=3；不大于2的整数点有－2，

－1，0，1，2的对应点，即y=5；等于2的整数点有－2，2，即z=2，所以x＋y＋z=10．

绝对值

一、绝对值的意义：

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|．

11

二、绝对值的性质：

非负数的绝对值等于它本身；非正数的绝对值等于它的相反数．

三、例题讲解

例1、一个数的绝对值是2010，则这个数是__________；绝对值小于6的整数有__________个，它们

是____________________．

答案：±2010；11个；±5，±4，±3，±2，±1，0

例2、如果a的相反数是最大的负整数，b是绝对值最小的数，那么a＋b=__________．

答案：1

例3、如图，数轴上的点A所表示的是有理数a，则点A到原点的距离是__________．

答案：－a

例4、绝对值不大于4的非负整数有（）

A．4个B．5个C．7个D．9个

答案：B

例5、下列各对数中，互为相反数的是（）

A．－（－20）和|－20|

B．|－3|和|＋3|

C．－（－12）和－|－12|

D．|a|和|－a|

答案：C

例6、|3.14－π|的值为（）

A．0B．3.14－πC．π－3.14D．0.14

答案：C

12

例7、如果|－a|=－a，下列成立的是（）

A．a＜0B．a≤0C．a＞0D．a≥0

答案：B

例8、下列各题正确的是（）

①若m=n，则|m|=|n|

②若m=－n，|m|=|n|

③若|m|=|n|，则m=－n

④若|m|=|n|，则m=n

A．①②B．③④C．①④D．②③

答案：A

例9、当x=__________时，|x|＋5取最小值，这个最小值是__________；当a=__________时，36－|a

－2|取最__________值，这个值为__________．

答案：0；5；2；大；36

例10、已知|a|=2，|b|=3，|c|=3，且有理数a，b，c在数轴上的位置如图，计算a＋（－b）＋c的值．

答案：8

例11、已知|a＋2|＋|b－1|=0，求a、b的值．

答案：a=－2，b=1

例12、按规定，食品包装袋上都应标明袋内装食品有多少克，下表是几种饼干的检验结果，“＋”“－”

号分别表示比标准重量多和少，用绝对值判断哪一种食品最符合标准．

威化咸味甜味酥脆

＋10（g）－8.5（g）＋5（g）－3（g）

解：“酥脆”最符合标准

有理数（一）

一周知识概述

13

（一）正数和负数

1、负数的意义

负数是由实际的需要而产生的，如：某地气温是8℃，由于强冷空气南下，气温下降了12℃，则

该地区这时的实际气温是(8－12)℃，但在算术中这个差是不存在的，实际上这个气温是客观存在的，

为了解决这个“不够减”的矛盾，引入一个新数——负数，即(8－12)℃=－4℃，表示零下4℃．

2、相反意义的量与正数

为了表示具有相反意义的量，把其中一种意义的量规定为正，另一种与它意义相反的量规定为负，

正的量记为“＋”，如＋6，＋2.5，…叫正数；负的量记做“－”，像－4，－6这类带有负号的数叫负

数；“0”既不是正数，也不是负数，是正数与负数的界限，规定零是最小的自然数.

自然界有许多具有相反意义的量，如上升与下降，向东与向西、盈余与亏损等都可以用正负数来

表示．

3、有理数的分类

（1）有理数

（2）有理数

4、字母a的意义

用字母a表示有理数时：

（1）a>0时，a表示正数，－a表示负数；

（2）a<0时，a表示负数，－a表示正数.

（3）a≥0时，a表示非负数.

（二）数轴

1、数轴的意义

数轴是一种特定几何图形；原点、正方向、单位长度称数轴的三要素，这三者缺一不可．

2、数轴的画法

14

3、利用数轴比较有理数大小．

建立了数轴后，就可以用数轴上的点表示有理数，原点表示的数是0，正有理数用原点右边的点

表示，负有理数用原点左边的点表示，即用数轴上的点表示有理数的口诀为：左负右正，原为零，所

有的有理数都可在数轴上找到对应的点.

由数轴知，数轴上的两个有理数中，右边的数总比左边的数大，因此有理数大小比较的规律是：

正数大于0，零大于一切负数，负数小于零，正数大于一切负数.

（三）相反数

1、相反数的意义

（1）代数意义：只有符号不同的两个数叫互为相反数，其中一个数叫另一个数的相反数，0的相

反数是0.

（2）几何意义：在数轴上的原点两旁，离原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数.

（3）性质：互为相反数的和为0，即a＋b=0a、b两数互为相反数.

（4）符号：在一个数前面加“－”号表示这个数的相反数，如数a的相反数是－a.

2、多重符号的化简

化简带有多重符号的数的关键是结合数轴理解相反数，按由内到外的顺序去括号，如：－[－(－

3)]=－(＋3)=－3.

（四）绝对值

1、绝对值的意义：一个数a的绝对值，就是数轴上表示数a的点与原点的距离，记作|a|.

（1）绝对值的代数意义是：一个正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值

是0.

（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值表示的是这个数离开原点的距离，记做|a|，离原点越

远，数的绝对值越大.

（3）绝对值是非负数，即|a|≥0.互为相反数的两数绝对值相等：|a|=|－a|.

2、绝对值的性质：在处理绝对值符号时，应首先确定绝对值里面的数的正、负性，若是非负数，则

直接去掉绝对值符号；若是负数，则去掉绝对值符号后，前面加负号，即

（1）（2）

3、判断两个数的大小（两个负数绝对值大的反而小）可分三步：

（1）求两个数的绝对值；

15

（2）比较它们绝对值的大小；

（3）判别出两个负数的大小.

二、重、难点剖析

（一）重点：

1、通过实际问题对正负数的意义加强理解，体会引入负数在解决问题中的作用；

2、有理数的概念；

3、用数轴上的点表示一个有理数；

4、会求一个数的相反数，弄清互为相反数的两个数在数轴上的位置关系；

5、借助数轴，会求一个数的绝对值，已知一个数的绝对值求这个数，并会比较数的大小.

（二）难点

1、用正、负数准确描述相反意义的量；

2、有理数的分类；

3、把一个负有理数用数轴上的点表示出来；

4、借助数轴，正确理解绝对值的意义；

5、对互为相反数的符号关系的理解.

下面就此知识进行讲解.

例1、如图所示，所画的数轴正确的是（）

[分析与解答]

例2、（1）在所给数轴上画出表示下列各数的点.

.

（2）指出数轴上的点A、B、C、D、E各表示什么数.

16

[分析与解答]

例3、（1）已知|a|=4，|b|=3，且a

（2）若a与b同号，求的值.

[分析与解答]

例4、根据一个有理数的绝对值的非负性回答：

（1）若|x|=－x，求x的取值范围；

（2）若|m－n|=n－m，求m与n的大小关系.

（3）若|x－2|＋|y－4|=0，求x2＋y2的值.