行列式展开

三阶行列式展开

9.4（2）三阶行列式按一行(或一列)展开

一、教学内容分析

三阶行列式按一行(或一列)展开是三阶行列式计算的另外一种

法则，学习这种法则有助于学生更好地理解二阶行列式、三阶行列式

的内在联系，同时这个法则也是较复杂的行列式计算的常用方法，这

个法则更是蕴涵了数学问题研究过程中将复杂问题转化为简单问题

的研究方法．本节课的教学内容主要围绕代数余子式的符号的确定研

究三阶行列式按一行(或一列)展开法则．

二、教学目标设计

⑴掌握余子式、代数余子式的概念；

⑵经历实验、分析的数学探究，逐步归纳和掌握代数余子式的

符号的确定方法和三阶行列式按一行(或一列)展开方法，体验研究数

学的一般方法；

(3)体会用简单（二阶行列式）刻画复杂（三阶行列式）、将复杂

问题简单化的数学思想．

三、教学重点及难点

三阶行列式按一行(或一列)展开、代数余子式的符号的确定．

四、教学过程设计

一、情景引入

【实验探究1】

(1)将下列行列式按对角线展开：

22

33

bc

bc

_______________22

33

ab

ab

_______________

22

33

ac

ac

_______________11

33

bc

bc

_______________

11

22

bc

bc

_______________

111

222

333

abc

abc

abc

_______________

(2)对比、分析以上几个行列式的展开式，你能将三阶行列式

111

222

333

abc

abc

abc

表示成含有几个二阶行列式运算的式子吗？

[说明]

(1)请学生展开几个行列式的主要目的是：巩固复习前面学习的

知识；同时，有意识地设计这几个行列式的展开，有助于学生发现三

阶行列式

111

222

333

abc

abc

abc

与相应的二阶行列式间的关系．

(2)将三阶行列式

111

222

333

abc

abc

abc

表示成几个含有二阶行列式运算的

式子，结果可能不唯一，可以有

111

222222

222111

333333

333

abc

bcacab

abcabc

bcacab

abc



等等．

二、学习新课

１．知识解析

在刚才的实验中，将三阶行列式

111

222

333

abc

abc

abc

表示成了含有三个二

阶行列式运算的式子，主要有：

111

222222

222111

333333

333

abc

bcacab

abcabc

bcacab

abc



111

2211

11

222123

3333

22

333

abc

bcbc

bc

abcaaa

bcac

bc

abc



111

2211

11

222123

3333

22

333

abc

acac

ac

abcbbb

acac

ac

abc

等等．

请同学生选择其中的一个为例谈谈他们是如何发现这些等式

的？

事实上，以

111

222222

222111

333333

333

abc

bcacab

abcabc

bcacab

abc

为例，先将展

开式

111

2221213132

333

abc

abcabcabcabcabcabcabc

abc

变形为：

111

2223231321

333

()()()

abc

abcabcabcabcabcabcabc

abc

，然后分别提取

公因式，可以得到

111

2222332

333

()()()

abc

abcabcbcbacaccabab

abc



再利用实验中已有的展开式

22

2332

33

bc

bcbc

bc

①

22

2332

33

ac

acac

ac

②

22

2332

33

ab

abab

ab

③

从而很容易就得到结果了．

其中二阶行列式①、②、③分别叫做元素

1

a，

1

b，

1

c的余子式

．．．

，

添上相应的符号(正号省略)，如

22

1

33

bc

A

bc

22

1

33

ac

B

ac

22

1

33

ab

C

ab

，

1

A、1

B、

1

C分别叫做元素

1

a，

1

b，

1

c的代数余子式

．．．．．

．于是三阶行列

式可以表示为第一行的各个元素与其代数余子式的乘积之和：

111

222222

222111

333333

333

abc

bcacab

abcabc

bcacab

abc









象这样的展开，我们称之为三阶行列式按第一行展开．类似的，

我们可以将三阶行列式按第二行或按列展开．从上述研究，我们不难

发现这种展开方法的关键是要找到三阶行列式某一行或某一列各个

元素的代数余子式．不难发现，要确定某元素的代数余子式，我们可

以先确定其余子式，然后确定代数余子式符号，而最主要的就是其符

号的确定．为了让学生有较深刻的体会，教师可以组织学生完成实验

探究２．

【实验探究2】

请学生结合刚才确定

1

a，

1

b，

1

c的余子式和代数余子式的方法，

完成下表，并试着研究某个元素的代数余子式的确定方法．

【工作1】

填写下表：

余子式代数余子式

2

a

3

a

2

b

3

b

2

c

3

c

【工作2】

总结代数余子式的确定方法：

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

[说明]

(1)以上实验主要由学生合作完成，实验的目的主要是让学生经

历实验、归纳、猜想、抽象并获得新知的过程；

(2)教师可以将学生分成数个学习小组，合作实验研究，并交流

研究结果，最后由教师总结．

(3)通过上述研究，教师要引导学生发现：确定某个元素的余子

式其实就是将这个元素所在的行和列划去，将剩下的元素按照原来的

位置关系所组成的二阶行列式；而这个元素的代数余子式与该元素所

项

目

元

素

在行列式的位置(即第i行，第j列)有关，其代数余子式的正负号是

“(1)ij”．

一般地，三阶行列式可以按其任意一行(或一列)展开成该行(或

该列)的各个元素与其代数余子式的乘积之和．其中，最关键的是确

定三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式(尤其是其符

号)．

２．例题解析

例题1.按要求计算行列式：

302

213

231





(1)按第一行展开；

(2)按第一列展开．

[说明]

(1)一个三阶行列式可以按其任意一行(或一列)展开，其中，最

关键的是确定三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式(尤

其是其符号)；

(2)当一个三阶行列式的某一行(或某一列)元素中，0的个数较

多，我们往往将行列式按照该行(或该列)，这样计算往往比较方便．

例题2.计算：

(1)

111

bcacab

abc

efdfde

def



(2)222222

222

333333

bcacab

abc

bcacab



〖参考答案〗(1)0(2)0

[说明]

(1)设计这样一组例题主要有两个目的：一，考查学生的逆向思

维能力；二，为后续知识的学习做准备；

(2)由例题2(2)计算结果，我们可以发现：

如果将三阶行列式的某一行(或一列)的元素与另一行(或一列)

的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和为零；

如果一个二阶行列式或(三阶行列式)有两行(或两列)相同，那么

这个行列式等于零．

３．问题拓展

思考：我们上节课已经学习了三阶行列式展开的对角线法则，为

什么这节课还要学习按一行(或按一列)展开呢？你觉得这有什么意

义吗？

[说明]

一个三阶行列式按一行(或按一列)展开后就转化为二阶行列式

的运算，这种将复杂问题转化为简单问题的思想方法是数学研究中常

用的方法．只要学生能领悟到这一点，马上就可以意识到任何一个行

列式(哪怕是n阶行列式)最后都可以转化为二阶行列式的运算．

三、巩固练习

教材第99页，练习9.4（2）．

四、课堂小结

(1)余子式、代数余子式的概念；

(2)三阶行列式按一行(或一列)展开方法．

五、作业布置

根据学生的具体情况，对习题册中的问题进行增减．

五、教学设计说明

本节课的教学内容是三阶行列式按一行(或一列)展开方法，从内

容上看，这部分内容与上节课一样，同样概念性比较强，同样容易上

成教师“一堂言”的枯燥无味的数学课，但是这部分内容却蕴涵了重

要的数学思想方法．单纯的死记硬背不是好的学习方法，理解比记忆

重要，能力比知识的本身重要．我把本节课的教学模式设计为通过实

验探究、对比分析、大胆猜想、证实猜想，从而逐步获得新知，让学

生体验数学学习的乐趣，感悟数学研究的一般方法．