友好矩形

探究规律题型方法总结和练习

一、教学内容：

规律探究型问题

1.图案变化规律

2.数列、代数式运算规律

3.几何变化规律

4.探索研究

二、知识要点：

近年来，探索规律的题目成为数学中考的一个热点，目的是考查学生观察

分析及探索的能力.题目分为题设和结论两部分，通常题设部分给出一些数量

关系或图形变换关系，通过观察分析，要求学生找出这些关系中存在的规律。

这种数学题目本身存在一种数学探索的思想，体现了数学思想从特殊到一般的

发现规律。是中考的一个难点，越来越引起考生重视。下面我们根据几种不同

类型的规律变化类型题进行分析。

“规律探究型问题”根据学生已有的知识基础和认知特点，分别从直观形象

和抽象符号上进行规律探索，突出数学的生活化，给学生提供更多机会体验学

习和探索的“过程”与“经历”，使之拥有一定的问题解决、课题研究、社会

调查的经验，使学生经历探索事物间的数量关系并用字母和代数式表示的过程，

建立初步的符号感，发展抽象思维，进一步使学生体会到代数式是刻画现实世

界的有效数学模型。现就规律探究的几个例子，来探讨一下这类专题：

一、规律探索型问题的分类：

1、数式规律

通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，

反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。

一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分

的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特

征，改写成要求的格式。

如：1、有一串单项式：a，2a2，3a3，4a4，…，19a19，20a20，…那么第n个

单项式是。

2、争当小高斯：高斯在10岁的时候，曾计算出

1+2+3+4+······+100=_________；还有另外一种解法：设S=

1+2+3+······+99+100，那么也可以写成

S=100+99+98+97+······+2+1，把这两个等式左右两边分别相加，可以得

到2S=（1+100）+（2+99）+（3+97）+······+（99+2）+（100+1），

2S=100×101，S=由此，猜想前n个自然数和：1+2+3+4+······+n=-

________，前n个偶数和：2+4+6+8+······+2n=________，前n个奇数

和：1+3+5+7+9+······+(2n-1)=________.

猜想归纳是解决这类问题的有效方法，通过对已给出的材料和信息对研究

的对象进行观察、实验、比较、归纳和分析综合，作出符合一定规律与事实的

推测性想象，从而发现一般规律.它是发现和认识规律的重要手段.平时的教学

不能局限于课本，可以设计一些猜想性、类比性的活动，让学生经历一个观察、

试验等活动过程，在活动中通过对大量特殊情形的观察猜想出一般情形的结论，

从而探索事物的内在规律.

2、图形规律

根据一组相关图形的变化规律，从中总结图形变化所反映的规律。解决这

类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用

数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律。

如：1、下图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子．

观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了_________块石子。

2、下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：

经观察可以发现：图（2）比图（1）多出2个“树枝”，图（3）比图（2）

多出5个“树枝”，图（4）比图（3）多出10个“树枝”，照此规律，图（7）

比图（6）多出个“树枝”．

图案、图表具有直观、形象、简明，包含的信息量多等特点，解决此类问

题需要把“形”转化为“数”，考查学生数形结合的数学思想。

二、规律探索型问题常用解法

1、抓住条件中的变与不变

找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律，多数

情况下，是指变量的变化规律.所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关

键.而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列

号.

如：一组按规律排列的式子：，，，，…（），其

中第7个式子是，第个式子是（为正整数）．分

子和分母的底数没变，变化的是符号及它们的指数，再把变量和序列号放在一

起加以比较，就很容易发现其中的奥秘。

2、化繁为简，形转化为数

有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目

做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，

题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了.

如：将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，

第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，

依次规律，第6个图形有个小圆．

通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律.

3、寻找事物的循环节

有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可

以迎刃而解.

如：把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成4

块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止。那么2007，2008，2009，2010

这四个数中______________可能是剪出的纸片数

有些题目，虽然形式发生了变化，但是本质并没有改变.我们只要在观察

形式变化的过程中，始终注意寻找它的不变量，就可以揭示出事物的本质规律.

三、规律探索型问题常见的结论：

1、乘方型：

如：一张白纸引发的规律：将一张长方形的纸对折，可得到两层。继续对

折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，1、连续对折n次后，可以得到几

层?2、连续对折n次后，可以得到几条折痕?3、若这张白纸的面积为1，连续对

折n次后单层面积是多少？

另如：拉面问题：将一团拉面拉一次，再捏合一次，再拉第二次，又捏合

一次，如此重复下去，第n次捏合后，有多少根拉面？

这类问题的关键在于观察数的特征：将“数”进行比较，一定会发现“数”

与“数”间的联系

2、等比型：这类题型最简单，通过观察、比较，学生能很容易解决。

如：观察下列图形，则第个图形中三角形的个数是_________

3、等差型：这些题型在数学中应用最广，题型最多。

例如：火柴棍引发若干的规律

1、用火柴棍拼三角形

变式1：用火柴棍拼正方形

（1）搭一搭，填一填：

（2）根据你的算法，搭100个这样的正方形需要＿＿根火柴棒。

三角形个数12345……n

火柴棍根数3……

正方形个数123。。。。。。n

火柴棒条数

变式2：用同样规律的蓝白两色正方形瓷砖铺设地面，如图所示第n个图形中需

用蓝色瓷砖＿＿块

当数学问题所反映的数列的差值均为整数K时，其通式就与整数K的倍

数有关，结果一定是（Kn±常数）的形式（n为自然数），将K代入特例中验证

即可轻易得到通式，这种方法简便易行，熟练后可口头作出答解。

4、差值呈自然数增长型

这类通式往往与前n个自然数的和、前n个奇数和或前n个偶数和有关。

这类习题有许多实例：一条直线上有2个点，则有1条线段；如有3个点，

则有2+1条线段；有4个点，则有3+2+1条线段；依次类推：有n个已知点，

则有线段（n-1）+（n-2）+……+3+2+1条线段，即有[（n-1+1）(n-1)]÷2=[n

（n-1）]÷2条线段。另外还有“几个人相互握手总次数和”、“打篮球进行

单循环比赛取总场次”等问题。所反映的是同一个数学问题，只是将其置身于

各类不同的生活背景中，但归根到底是求前（n-1）个自然数的和。

又如，1、用大小相同的正方形拼图，拼第1个图形需要3个正方形，拼第

2个图形需要6个正方形，依次类推，拼第4个图形需要______个正方形，拼第

n个图形需要_________个正方形。

2、下边是一个有规律排列的数表,请用含n的代数式(n为正整数)表示数表中第

n行第n列的数:_____________

第一列第二列第三列第四列…

第一行12510

第二行43611

第三行98712

第四行16151413

…

结论的归结无非是乘方型、n的一次式s=kn+b或二次式s=an²+bn+c。

数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算,所

以，要求把变量和序列号放在一起，做一些计算，是解答找规律题的好途径.

规律探索型问题涉及的基础知识非常广泛，题目没有固定的形式，因此没

有固定的解题方法。它既能充分地考察学生对基础知识掌握的熟悉程度，又能

较好地考察学生的观察、分析、比较、概括及发散思维的能力及创新意识，因

而成为中考的热点.这就启发广大数学教师必须注重过程教学,用科学的方法引

导学生亲身参与、经历探索规律的过程,在这样的过程中让学生认识数学之美,

感受探索的愉悦,逐步培养学生的独立探究能力。

1.图案变化规律探究题

图案变化规律题是指在一定条件下，探索发现有关图形所具有的规律性或

不变性的问题，它往往给出了一组变化了的图形或条件，要求学生通过阅读、

观察、分析、猜想来探索规律，它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考

查了学生分析、解决问题的能力，观察、联想、归纳的能力，以及探究能力和

创新能力，题型可涉及填空、选择或解答。

例：如图，是一个装饰物品连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，

下一个呈现出来的图形是（）。

分析：观察图像变化规律，不难发现阴影部分的图形是按顺时针每次旋转

两个小格。答案是B

2.数列、代数式运算规律猜想型探究题

题设中提供某些信息，供解题者观察、类比、推理、反思，从而归纳、猜

测、验证得出一般性的规律和结论，这样的问题称为猜想型探究题。猜想型探

究题能培养学生对数字的敏感和直觉思维，能培养学生发现与创新的思维品质

和探索精神。

3.几何变化规律探究题

观察几何图形、根据题中的变化规律进行分析，猜想下面所没有给出的图

形变化情况、探究图形的变化和所求的结果、归纳总结发现规律。

例：对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、

CA至点A

1

、B

1

、C

1

，使得A

1

B=2AB，B

1

C=2BC，C

1

A=2CA，顺次连接A

1

、B

1

、C

1

，得

到△A

1

B

1

C

1

，记其面积为S

1

；第二次操作，分别延长A

1

B

1

、B

1

C

1

、C

1

A

1

至点A

2

、B

2

、

C

2

，使得A

2

B

1

=2A

1

B

1

，B

2

C

1

=2B

1

C

1

，C

2

A

1

=2C

1

A

1

，顺次连接A

2

、B

2

、C

2

，得到△A

2

B

2

C

2

，

记其面积为S

2

；…；按此规律继续下去，可得到△A

5

B

5

C

5

，则其面积

S

5

=_____________.

4.探索研究

已知题中给出一个全新的名词，根据所学的知识和名词的含义解题.体现学

生对新知识、新事物的判断和认知能力，通过提高数学知识技能，准确地运用

数学基本思想和方法解题.

例：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，

且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的

“友好矩形”.如图①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”.显然，当

△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个.

根据上面叙述，（1）说明什么样的平行四边形是一个三角形的“友好平行

四边形”；

（2）如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC

的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小.

（2）此时共有2个友好矩形，如图的BCAD、ABEF.

易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，∴△ABC的“友

好矩形”的面积相等.

三、重点难点：

通过观察、分析，找出存在的规律。它既是重点又是难点，着重考查学生

观察、操作、实验、归纳、猜想、验证等能力，是对学生创新精神和创新意识

的培养的重要前提．

【典型例题】

例题1、图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直方

向的边长均为b）：

●在图①中，将线段A

1

A

2

向右平移1个单位到B

1

B

2

，得到封闭图形A

1

A

2

B

2

B

1

（即

阴影部分）；

●在图②中，将折线A

1

A

2

A

3

向右平移1个单位到B

1

B

2

B

3

，得到封闭图形A

1

A

2

A

3

B

3

B

2

B

1

（阴影部分）.

（1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单

位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；

（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S

1

＿

＿，S

2

＿＿，S

3

＿＿；

（3）联想与桥梁

如图④中，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的

水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明

你的猜想是正确的.

考点：平行四边形的面积.

【分析】这个题目是要求学生从几何图形的变化中，探索图形面积的变化，

并加以说明.在前面的三个图形中，常规的办法是利用平行四边形（或分别割

成多个平行四边形）的面积计算来求阴影部分的面积，进而计算空白部分的面

积．注意平行四边形的面积是底乘以高，阴影部分的面积以一个单位为底，高

均为b，或者多个和为b，所以空白部分面积均为ab－b.但是当阴影部分的左

右边界由折线变为任意的曲线时，计算的方法已经不再适用，因此我们考虑图

形的拆分和拼接，利用平移得到空白部分构成的“简单”图形来计算草地的面

积．

【解析】（1）画图（要求对应点在水平位置上，宽度保持一致）

想一想，什么样的两数之积等于这两数之和？设n表示正整数，用关于n

的等式表示这个规律为：

＿＿＿＿＿×＿＿＿＿＿=＿＿＿＿＿+＿＿＿＿＿．

考点：探究规律、导出公式．

【分析】该题是通过观察给出的运算，找到反映其规律的表达式．此类问

题不仅考查学生对知识的掌握，同时考查学生观察分析的能力．通过观察给出

的四个等式左边是一个分数与一个整数的积且分数的分子比分母大1，而整数与

分子相同．右边是这两个数的和，所以不难发现其规律为：左边

例题4、我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边

形为等对角线四边形．请解答下列问题：

（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；

（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为时，这对角

所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论．

考点：平行四边形、等边三角形的性质和判定、三角形的两边之和大于第

三边的性质等.

【分析】本题的名词为学生的猜想提供了条件，正确结论的探索，是证明

的基础.结论的证明综合了平行四边形、等边三角形的性质、三角形的性质及平

移的方法和手段，将两边之和平移到同一线段上，再与第三边进行比较.

【解析】（1）答案不唯一，如正方形、矩形、等腰梯形等等．

即等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为时，这对角所对的两边

之和大于或等于其中一条对角线的长．

例题5、四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距

离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的

准等距点．如图1，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD＝PB，

PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点．

（1）如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．

（2）如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点（尺规作图，保留作图痕迹，

不要求写作法）．

（3）如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD

于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF＝∠CBE，CE＝CF．求证：点P是四边形

ABCD的准等距点．

考点：三角形全等、特殊四边形的性质、垂直平分线的性质等.

【分析】根据题中的“准等距点”的概念，PD＝PB，PA≠PC，可以知道，

点P在线段BD的垂直平分线上，再由菱形的性质、全等三角形的判定解题.

【解析】（1）如图2，点P即为所画点．（答案不唯一．点P不能画在AC

中点）

乙

9.如图，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成

一列图案：

⑴第4个图案中有白色纸片___________张；

⑵第n个图案中有白色纸片___________张．

（1）观察图形，填写下表：

钉子数（n×n）S值

2×22

3×32＋3

4×42＋3＋（）

5×5（）

（2）写出（n－1）×（n－1）和n×n的两个钉子板上，不同长度值的线

段种数之间的关系；（用式子或语言表述均可）

（3）对n×n的钉子板，写出用n表示S的代数式．

**2.根据以下10个乘积，回答问题：

11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；

16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．

（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2－○2”（两数平方差）的形式，

并写出其中一个的思考过程；

（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；

（3）试由⑴、⑵猜测一个一般性的结论．（不要求证明）

**2、⑴11×29＝202－92；12×28＝202－82；13×27＝202－72；

14×26＝202－62；15×25＝202－52；16×24＝202－42；

17×23＝202－32；18×22＝202－22；19×21＝202－12；20×20＝202－02．

例如，11×29；假设11×29＝□2－○2，因为□2－○2＝（□＋○）（□－

○）；所以，可以令□－○＝11，□＋○＝29．