等比数列公式大全

1

等比数列的通项公式

教学重难点：1、等比数列的概念和性质

2、如何判断一个等比数列

3、构造辅助数列转化为等比数列

授课内容:

一、知识点

1、等比数列的概念

（1）文字语言：如果一个数列从第二项起,每一项与它前面相邻的一项之比

为常数,则这个数列为等比数列

（2）数列

n

a中，

1n

n

a

q

a



(常数），则称

n

a为等比数列

注：等比数列中不能出现0

2、通项公式

(1)通项公式：

1

1

nnm

nm

aaqaq

(2)等比中项：a,G,b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项,此时G=ab

注意：①在a,b同号时，a,b的等比中项有两个；异号时，没有等比中

项

②在一个等比数列中,从第2项起，每一项（有穷数列的末项）

都是它的前一项与后一项的等比中项

③“a，G，b成等比数列”“2(,0)Gabab均不为”，可以

用它来判断或证明三数成等比数列

（3）通项公式的应用：

323

24

123112-1

++

+++

nn

nn

aaaaa

aa

q

aaaaaaa









例1、已知等比数列

n

a中,

5

a=7，

8

a=56，求数列

n

a的通项公式

n

a

2

例2、在等比数列

n

a中，已知

3647

1

+=36+=18=

2n

aaaaa，，

，求n

3、性质

（1）若(,,,),

nmpq

mnpqmnpqNaaaa则

(2）若等比数列n

a的公比为q,则

11

q

n

a







是以

为公比的等比数列

（3）一组等比数列

n

a中，下标称等差数列的向成等比数列

(4)若n

a与

n

b均为等比数列,则

nn

ab也为等比数列

(5）从数列的分类来说：



11

0,10,01

n

aqaqa当或时的数列的递增数列



11

0,010,1

n

aqaqa当或时的数列的递减数列

当q=1时，数列

n

a为常数数列

当q



0时，数列

n

a为摆动数列

例、实数等比数列

n

a中，

37112712

++=28=512

n

aaaaaaa，，求

3

4、方法和题型

1、如何判断或证明一个数列为等比数列

（1）定义法：即验证+1n

n

a

q

a

（常数）是否成立，但应注意必须从第

2项起所有项都满足此等式

（2）递推法：即验证2

12nnn

aaa



是否成立，但应注意这里

0()

n

anN

（3）通项法:即验证1

1

n

n

aaq是否成立，但注意这里00

n

aq且

（4）前n项和法：

n

a为等比数列(001)n

n

sAqAAqq且且

例、a,b,c成等比数列，a+b,b+c，c+d均不为0，求证：a+b，b+c，c+d成等

比数列（3种）

2、等比数列的设项法:一般设其通项

例：有四个数，期中前三个成等差数列，后三个成等比数列，且第一个

数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12，求此四个

数。

3、构造辅助数列

观察数列的递推公式，并对它进行适当的变形，构造辅助数列，使问题

4

转化为熟悉问题

例、若数列

n

a，满足关系

11

2,32

nn

aaa



,求数列的通项公式

注:一般的，对递推公式为

+1

=(1)

nn

apaqp的递推公式

n

a，都可通过

构造辅助数列

1n

q

a

p











，从而转化为等比数列的问题

4、等差数列与等比数列的比较：

等差数列等比数列

定义差商

通项公式结

构相似，性质

类似

和积

不同点项没有限制项必须非零

联系

（1）正项等比log

nan

aa为等差

(2)n

a

n

ab等差等比

利用等差数列与等比数列之间的关系，可对他们进行相互转化，从而使

问题得以解决.

例、已知

n

a是各项都为正数的等比数列，数列

n

b满足

5

n

b=

121

1

lglglglg()

nn

aaaka

n



，问是否存在正数k,使得

n

b成

等差数列？若存在，求出k的值；若不存在,请说明理由。

5、等比数列的综合问题：

解等差数列与等比数列的问题时，关键是抓住他们的相关概念，公式性质进

行分析、推理、变形。

例、已知()log()log()log0

mmm

bcxcayabz

（1）若a，b，c依次成等差数列且公差不为0，求证x，y,z成等比数列

（2）若正数x，y，z依次成等比数列，公比不为1，求证a，b，c成等

差数列