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多值函数

更新时间:2022-12-11 23:29:23 阅读: 评论:0

2019语文中考备考计划-母子成语


2022年12月11日发(作者:沉思曲下载)

1

多值函数研究的几何方法点滴

1.引言

多值函数单值分支问题,历来是复变函数论中的一个难点.现有的一些文献以及教材虽然都

有谈及这一问题,但谈及的多半是利用单个例子的方式进行说明,并没有将多值函数单值化的方

法系统化.本文正是基于这一考虑,通过对典型例子的分析与总结,归纳出多值函数单值化的一

般方法.

2.几类典型函数单值化方法的回顾

2.1幂函数nz的单值化

函数nz,这里规定n为整数.

设izre,ie,则nr,n.

我们通过限制自变量的辐角

就可以给出函数nz单叶区域的一个分法:

22

:(0,1,21)

k

kk

Tkn

nnnn



,

所有的

k

T加上同一端的边界就是完整的复平面

C

,而每一个角形

k

T加上同一端的边界就是函数

nz的单叶区域,这样我们就得到了幂函数的一一对应的单值分支.

2.2根式函数

nz的单值化

设izre,

2

(012)

k

i

nn

nzrek



,,,,n-1

我们将复平面

C

沿着从原点出发的任一条射线割破,当复平面

C

被割破后,这个割破的复平

C

上的复数的辐角变化范围也就可以相应的被限定(一般地取



).那么,在这个被

割破的复平面上,一个复数的辐角就会被唯一确定而不能再任意变化了,于是我们就得到根式函

数的一个一一对应的单值分支.

2.3辐角函数

argz

的单值化

我们知道

0

argarg[]

L

zzArgz,这里

L

为{0}C内一条简单曲线,

0

z是

L

的起点,

[]

L

Argz称为辐角改变量.如果我们沿正实轴把复平面割开,所得到的割破平面记为

D

,它是一

个单连通区域。可以看到[]

L

Argz将只与

L

的起点和终点有关,而与曲线的形状无关,在

D

2

固定起点

0

z,取定初值

0

argz,则

0

argarg[]

L

zzArgz就是终点z的单值连续函数.如果

取定初值

0

arg2z,则得另一个单值连续函数

0

arg2arg2[]

L

zzArgz.一般来说,

如果取初值

0

arg2zk(k为整数),则得到一个单值连续函数arg2zk.这样,我们就

可以在

D

内把辐角函数Argz分成无穷多个单值分支arg2,,zkzDkJ(

J

为整数集).

2.4对数函数Logz的单值化

设Logz,因此ze,当然要设

0z

,因为这时0e无解。将z以指数的形式写

出:ize(,argzz任意取一定值),并记

uiv

.于是iuivuiveeee.此

式左、右两端是同一复数,它们的模应相等:ue或即lnu;它们的辐角可相差

2的整

数倍:

kv2

(0,1,2,k……)亦即vArgz.这样,我们有lnLogzziArgz

这很清楚地表明Logz的多值性是由Argz的多值性而来,所以和Argz一样,Logz在定义域

{0}C内是不能分解成单值连续函数的.因此我们同样可以将复平面

C

沿正实轴(包括原点)

割开而成一单连通区域

D

,由于在

D

内Argz可以分为无穷多个单值连续分支,

arg2(,0arg2)ArgzzkkJz,所以,在

D

内Logz也可分为无穷多个单值连

续分支:loglog2(,log(1),)

k

zzkikJizD

3.限制辐角法和割破平面法

通过上面几个典型例子,我们可以发现多值函数单值化的方法应该有两种:限制辐角法和割

破平面法.事实上,通过上面的分析可以看到,割破平面以后辐角范围其实也相应的被限定了,

而限制辐角我们通常也是通过割破平面来实现的,这两种方法在很多的情况下是相通的。

3.1限制辐角法

原理:从幂函数和根式函数单值化的过程来看,由于任意一个复数z都有无穷多个幅角,因

此当变量的辐角在除去原点之外的整个复平面上变化时,函数值可能会出现多值的情况,或者也

可能是不同辐角的同一个变量而对应着同一个函数值,我们为了得到一一对应的单值分支,这时

我们可以通过限制辐角的变化范围,让每一个变量与其所对应的函数值形成一一对应的关系,这

就是限制辐角法对函数进行单值分支的方法.

3

3.2割破平面法

原理:从辐角函数单值化和对数函数单值化的过程来看,它们的多值性也是源于辐角的多

值性,通过上面的例子可以看到我们是通过割破平面使得辐角的改变量0

L

Argz.事实上,

当我们连接0和把复平面沿着正实轴割破后,就相当于缩小了区域,对于所得区域内的任一闭

曲线,显然已经不能把0或者包含在内,辐角改变量只与起点、终点位置有关,而与曲线的形

状无关,这时当自变量z再沿任一闭曲线运动一周后,其辐角改变量0

L

Argz.这样,如果取

定初值,就可得到我们想要的单值连续函数了.

4.多值函数单值化的一般方法

4.1一般方法

定义4.1[2]设初等多值函数()Fz定义于区域

D

内,取定

0

zD和

D

内的单值连续函数

()fz,使得()Fz在

0

z的初值为

0

()fz.记

L

D

内以

0

z为起点任意一点z为终点的简单曲线,

[()]

L

Fz表示当z沿

L

0

z连续变到z时,()Fz从初值

0

()fz开始的连续改变量,若当z沿

L

0

z连续变到z时,

0

[()]()()

L

Fzfzfz且仅依赖于

0

z,z和

0

()fz,与连接

0

z,z的简单曲

线

L

的形状无关,则称()Fz在

D

内可单值分支.

0

()()()

L

fzfzFz称为()Fz的一个单值

连续分支,

D

称为()Fz的一个可单值分支区域.

定义4.2[2]设初等多值函数()Fz在a点的某个充分小的空邻域0()Ua内有定义,且每点均

为寻常点,又在以a为心的任意小的空心邻域内都存在有围绕a的简单闭曲线

L

(不通过a),

使得()0

L

Fz,则称a为()Fz的支点.

规定:如果存在

0

z的一邻域,使多值函数()Fz能在此邻域分支,这个点称为寻常点.

定理4.1[1]设初等多值函数()Fz定义在区域

D

内,则()Fz在

D

内可单值分支的充要条

件是:对于

D

内任一简单闭曲线

L

都有()0

L

Fz.其中()

L

Fz表示()Fz沿

L

的连续改变量.

对于一般的函数()Fz,我们可以先找到函数的支点,连接函数的支点就可以得到一条割线,

我们把这条割线称为支割线,支割线把平面割开后,这时对于平面内的任一闭曲线,当自变量再

沿着这一闭曲线运动一周后,由于这时的闭曲线已经不可能包含支点在内,所以这时有

4

()0

L

Fz,根据上面的定理4.1可知这时函数就可单值分支.

下面我们给出寻找函数支点的两种方法

方法一[4](1)求出多值函数的寻常点

(2)寻常点以外的点可看作支点的可疑点,对这样的点按定义4.1判断它们是否为支

点.

方法二(1)求出()Fz的可疑点,即将()Fz分解为若干基本初等函数,而这些基本函数的支

点和点便是可疑点.

(2)在可疑点的任意小的邻域内,作一条不通过可疑点且仅含该可疑点的闭

Jordan

线

C

,计算zF

c

,然后根据定义4.1确定是否为支点.

4.2函数单值化方法的验证

下面我们仅就辐角函数和根式函数来验证上述方法.

辐角函数

argz

0

argarg[]

L

zzArgzL

为{0}C内一条简单曲线,

0

z是

L

的起点,



L

Argz称为辐角改变量

我们知道任何一个复数的辐角都有无穷多个,而且它们都是相差

2

的整数倍,我们可以看

到,即使固定起点

0

z,取定初值

0

argz,由于

L

Argz在{0}C内与

L

的形状有关,对于任一

{0}zC,

argz

都不是唯一的.因此在{0}C内rgAz是不能分解为单值连续分支函数的.我

们可以将复平面

C

沿正实轴(包括原点)割开而成一单连通区域,记为

D

.这样,我们能使区

D

内任一简单闭曲线都不围绕

0

点,那么辐角改变量在这个区域内就与曲线的形状无关,辐角

改变量

L

Argz始终为

0

,这样根据我们上面的定理4.1,在割开后的区域

D

内我们就能把函数

进行单值分支.

根式函数

nz

显然由于辐角的不确定,导致上述函数的多值性.当一个复数z的辐角改变

2

时,虽然该

复数没有变化,但是它所对应的函数值可能已经不同.为要得到与z的单值对应,我们可以限

制变量z的辐角变化范围.根据上面所述的,我们可以通过割破平面来限制辐角的范围,那么我

们将复平面

C

割破,在这个割破的复平面上,我们可以把辐角变化范围限定为



,这

5

样每一个复数的辐角就会被唯一确定而不能再任意变化了.在此割破的平面上,当动点z从

0

z沿

任意的闭曲线

C

(

C

G

内过点

0

z的一条简单闭曲线,即

C

不穿过负实轴,它的内部也不包含

原点

0z

)运动一周,回到点

0

z时,辐角不会改变,在运动过程中所对应的函数值将都位于同一

角形区域

k

T中.因此,在区域

G

内可以得到nz的n个单值连续分支函数,

()2

()(),

k

i

n

n

n

kk

zrze



(0,1,21)kn,。当

k

取0,1,21n,中的固定值时,它

就是

n

k

z的第k个分支函数.

5.多值函数单值化方法的应用

下面我们就单值分支几何方法的应用举几个例子加以说明:

5.1几个引理

引理1[3]()()

cc

ArgazArgza,这里c是不通过点a的

Jordan

曲线

引理2[3]设

1

1

1

1

()()

()

()

()()()

m

n

n

n

zaza

Pz

Rz

QZzbzb







……

……

1111

()()()()()

ccmcmcncn

ArgRzArgzaArgzArgzbzb…………

这里c是不通过()Pz,()Qz零点的

Jordan

曲线.

引理3[3]()0()2n

cc

RzArgznk,这里c是不通过()Pz,()Qz零点的任一闭

Jordan

曲线,n为自然数,

k

为任意整数.

5.2两类函数可单值分支区域的作法

显然,连接所有支点的

Jordan

曲线为支割线,将复平面沿支割线割开所得区域一定是可单

值分支区域.但在处理实际问题是,我们总是想取割线更短一些,使可单值分支区域更大些.下

面就两类函数的情形进行讨论:

第一类:()LogRz的可单值分支区域

如果()Rz可分解为

12

()()()RzRzRz.其中

1

()Rz为一有理式,其分子分母次数相同,而

1

()Rz本身不能作类似的分解.则只要将

1

()Rz有关的所有支点(当然没有)连接起来,就可

分出

1

()LogRz的单值分支.因()LogRz=

1

()LogRz+

2

()LogRz,所以只要考虑

2

()LogRz

6

的多值性.利用这个原则,再分解

2

()Rz,如此继续下去,可得()LogRz的最大可单值分支区

域.

例1求

3

3

(1)

(1)(2)

zz

Log

zz



的单值分支区域.

解取

1

1

2

z

R

z



3

2

31

z

R

z

,则

12

()()()RzRzRz.取割线段[-1,-2]使

1

2

z

Log

z

单值化,再取割线[0,1],便得

3

3

(1)

(1)(2)

zz

Log

zz



的可单值分支区域.

第二类:()nRz的可单值分支区域.

如果()Rz可分解为

12

()()()RzRzRz.其中

1

()Rz为一有理式,其分子次数与分母次数

之差为n的整数倍,而

1

()Rz本身不能作类似分解.将

1

()nRz的各支点连接在一起作割线.再

2

()Rz同样分解,如此进行下去,便得出()nRz的最大的可单值分支区域.

例2求()(1)(2)(3)Fzzzzz的可单值分支区域.

解易知0,1,2,3是支点,和其它有限点都是寻常点。取

1

()(1)Rzzz,

2

()(2)(3)Rzzz.则取直线段[0,1]和[2,3]作剖线,就可得()Fz的可单值分支区

域.

例3求()(1)(2)(3)(4)Fzzzzz的可单值分支区域.

解易知1,2,3,4z均是()Fz的支点,显然在复平面上沿实轴从

1z

4z

做割线,

在所得的区域

D

内,即是可单值分支区域.但为了使割线尽可能短些,现在让我们来考查仅含

两个支点的闭

Jordan

曲线.

C

是一条不通过1,2,3,4z且仅内含1,2z的闭

Jordan

曲线,则

(1)(2)(3)(4)

(1)(2)(3)(4)

2200

4

c

cccc

Argzzzz

ArgzArgzArgzArgz











故由引理3,有0)(zF

c

,同理,若取

C

是仅内含2,3zz的闭

Jordan

曲线,亦有

7

0)(zF

c

从而由定理3.1,做连接0,1zz的直线段及连接2,3zz的直线段为割线所得的区

D

,就是()Fz的可单值分支区域.

5.3应用举例

定义5.1设

D

为多值函数的单值分支()fz的解析区域,单值解析分支表达式

0

()()()

c

fzfzfz

其中

C

D

内某一条可求长的

Jordan

曲线,

0

,zz

分别为

C

的始点与终点,称为()fz的已知初

值求终值的公式.

引理4ln

P(z)P(z)

与Arg有相同的支点

Q(z)Q(z)

例4研究2()ln(1)Fzz的支点,并求满足条件:(0)2Fki的一个解析分支在

2z

处的

值.

解由引理4知2()ln(1)Fzz与2(1)Argz有相同的支点,易知2(1)Argz的支点为

,,ii从而是2()ln(1)Fzz的支点.

割线可以取从

i

i

的射线,也可以取从

i

i

的射线,但考虑0,2zz不能在割线上,

所以取

i

1

,从

i

1

,并且沿实轴的负方向的直线为割线,从而割破平面得单值解析分

支区域

D

.由初值定义及所给条件有

22

0

(0)ln1arg(1)2

z

Fzizi

,得2arg(10)2

故所求的单值解析分支为:

2222

2

ln(1)ln1(1)arg(10)

ln1()()2

c

cc

zziArgzi

ziArgziiArgzii





作连接0,2zz的

Jordan

曲线c(c在x轴上侧)则有

()2,()2.

cc

ArgziarctgArgziarctg

2()ln1()2

ln52

Fzziarctgzarctgzi

i





C

C

3

C

2

C

1

oX

Y

8

例5设3

(1)(1)(2)zzz

z



,其支点为0,-1,1,2,.如图,若连接-1,与连接0,

1,2所得割线,证明在用此割线所得的z平面区域内不能将此根式函数分成三个单值解析分支.

证明因为当z沿包含0,1,2,但不含-1,的任一简单闭曲线

C

的正向绕行一周后,

的辐角增量

arg1arg1arg2arg

3

0222

3

2

2

3

cccc

c

zzzz











不为

2

的整数倍,于是z沿

C

不论从哪一点开始绕行一周后

2

3

00

mzzez

这说明上述割线的作法不能将此多值解析函数分成单值,要单值化就必须改变割线的作法.

例6求()nRz的寻常点和支点.其中

1

1

1

1

()()

()

()()

m

n

n

n

zaza

Rz

zbzb





解类似于上题的分析,由引理2和引理3,易知

1

a,,

m

a;

1

b,,

n

b之外的有

限点都是寻常点.剩下的问题是,进一步考察

1

a,,

m

a;

1

b,,

n

b以及是否为支点.作

Jordan

曲线

L

,它不通过

1

a,,

m

a;

1

b,,

n

b且其内部除了寻常点外仅含

1

a,利

用引理2有

1

()2

c

ArgRz

依据引理3,当k

n

(1,2,,km)或j

n

(1,2,,jp)是整数时,

k

或

j

是寻常点,

否则它们是支点,至于点,由

11

()2[()()]

cmn

ArgRz

可知当

11

()()

mn

是n的整数倍时,是寻常点,否则是支点.

例7求()ArgRz的寻常点和支点.其中

1

1

1

1

()()

()

()

()()()

m

n

n

n

zaza

Pz

Rz

QZzbzb







解由引理2,易知除

1

a,,

m

a;

1

b,,

n

b外平面上所有有限点都是()ArgRz的寻

9

常点.下面考察

1

a点,作不通过

1

a,

m

a;

1

b,,

n

b而内部除寻常点外仅含有

1

a的闭

Jordan

曲线

L

,利用引理2则有

11

11

1

()()()

()()

20

ccmcm

cncn

ArgRzArgzaArgz

ArgzbArgzb













+

故知

1

a是支点.同理可证

2

a,,

m

a;

1

b,,

n

b都是支点.

取适当大的

0R

,使

1

a,,

m

a;

1

b,,

n

b都位于圆zR内.在域zR内作闭

Jordan

曲线L,使其内部包含圆域zR.再根据引理2有



11

()2[]

cmn

ArgRz.

11mn

时,()0

c

ArgRz,可知不是支点而是寻常点.当

11mn

时,()0

c

ArgRz,知是支点.

参考文献:

[1]钟玉泉.复变函数论[M](第三版).北京:高等教育出版社,2004:64~70,75~78.

[2]路可见,钟寿国,刘士强.复变函数[M].武汉:武汉大学出版社,2001:15~18,44~47.

[3]方企勤.复变函数教程[M].北京:北京大学出版社,1996

[4]刘士强,林玉波.关于初等多值函数单值分支问题[M].兰州大学出版社,1993

[5]闻国椿,殷慰萍.复变函数的应用[M].北京:首都师范大学出版社,1999

[6]s(美).复分析[M].上海:上海科学技术出版社,1984

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