1
多值函数研究的几何方法点滴
1.引言
多值函数单值分支问题,历来是复变函数论中的一个难点.现有的一些文献以及教材虽然都
有谈及这一问题,但谈及的多半是利用单个例子的方式进行说明,并没有将多值函数单值化的方
法系统化.本文正是基于这一考虑,通过对典型例子的分析与总结,归纳出多值函数单值化的一
般方法.
2.几类典型函数单值化方法的回顾
2.1幂函数nz的单值化
函数nz,这里规定n为整数.
设izre,ie,则nr,n.
我们通过限制自变量的辐角
就可以给出函数nz单叶区域的一个分法:
22
:(0,1,21)
k
kk
Tkn
nnnn
,
所有的
k
T加上同一端的边界就是完整的复平面
C
,而每一个角形
k
T加上同一端的边界就是函数
nz的单叶区域,这样我们就得到了幂函数的一一对应的单值分支.
2.2根式函数
nz的单值化
设izre,
2
(012)
k
i
nn
nzrek
,,,,n-1
我们将复平面
C
沿着从原点出发的任一条射线割破,当复平面
C
被割破后,这个割破的复平
面
C
上的复数的辐角变化范围也就可以相应的被限定(一般地取
).那么,在这个被
割破的复平面上,一个复数的辐角就会被唯一确定而不能再任意变化了,于是我们就得到根式函
数的一个一一对应的单值分支.
2.3辐角函数
argz
的单值化
我们知道
0
argarg[]
L
zzArgz,这里
L
为{0}C内一条简单曲线,
0
z是
L
的起点,
[]
L
Argz称为辐角改变量.如果我们沿正实轴把复平面割开,所得到的割破平面记为
D
,它是一
个单连通区域。可以看到[]
L
Argz将只与
L
的起点和终点有关,而与曲线的形状无关,在
D
内
2
固定起点
0
z,取定初值
0
argz,则
0
argarg[]
L
zzArgz就是终点z的单值连续函数.如果
取定初值
0
arg2z,则得另一个单值连续函数
0
arg2arg2[]
L
zzArgz.一般来说,
如果取初值
0
arg2zk(k为整数),则得到一个单值连续函数arg2zk.这样,我们就
可以在
D
内把辐角函数Argz分成无穷多个单值分支arg2,,zkzDkJ(
J
为整数集).
2.4对数函数Logz的单值化
设Logz,因此ze,当然要设
0z
,因为这时0e无解。将z以指数的形式写
出:ize(,argzz任意取一定值),并记
uiv
.于是iuivuiveeee.此
式左、右两端是同一复数,它们的模应相等:ue或即lnu;它们的辐角可相差
2的整
数倍:
kv2
(0,1,2,k……)亦即vArgz.这样,我们有lnLogzziArgz
这很清楚地表明Logz的多值性是由Argz的多值性而来,所以和Argz一样,Logz在定义域
{0}C内是不能分解成单值连续函数的.因此我们同样可以将复平面
C
沿正实轴(包括原点)
割开而成一单连通区域
D
,由于在
D
内Argz可以分为无穷多个单值连续分支,
arg2(,0arg2)ArgzzkkJz,所以,在
D
内Logz也可分为无穷多个单值连
续分支:loglog2(,log(1),)
k
zzkikJizD
3.限制辐角法和割破平面法
通过上面几个典型例子,我们可以发现多值函数单值化的方法应该有两种:限制辐角法和割
破平面法.事实上,通过上面的分析可以看到,割破平面以后辐角范围其实也相应的被限定了,
而限制辐角我们通常也是通过割破平面来实现的,这两种方法在很多的情况下是相通的。
3.1限制辐角法
原理:从幂函数和根式函数单值化的过程来看,由于任意一个复数z都有无穷多个幅角,因
此当变量的辐角在除去原点之外的整个复平面上变化时,函数值可能会出现多值的情况,或者也
可能是不同辐角的同一个变量而对应着同一个函数值,我们为了得到一一对应的单值分支,这时
我们可以通过限制辐角的变化范围,让每一个变量与其所对应的函数值形成一一对应的关系,这
就是限制辐角法对函数进行单值分支的方法.
3
3.2割破平面法
原理:从辐角函数单值化和对数函数单值化的过程来看,它们的多值性也是源于辐角的多
值性,通过上面的例子可以看到我们是通过割破平面使得辐角的改变量0
L
Argz.事实上,
当我们连接0和把复平面沿着正实轴割破后,就相当于缩小了区域,对于所得区域内的任一闭
曲线,显然已经不能把0或者包含在内,辐角改变量只与起点、终点位置有关,而与曲线的形
状无关,这时当自变量z再沿任一闭曲线运动一周后,其辐角改变量0
L
Argz.这样,如果取
定初值,就可得到我们想要的单值连续函数了.
4.多值函数单值化的一般方法
4.1一般方法
定义4.1[2]设初等多值函数()Fz定义于区域
D
内,取定
0
zD和
D
内的单值连续函数
()fz,使得()Fz在
0
z的初值为
0
()fz.记
L
是
D
内以
0
z为起点任意一点z为终点的简单曲线,
[()]
L
Fz表示当z沿
L
从
0
z连续变到z时,()Fz从初值
0
()fz开始的连续改变量,若当z沿
L
从
0
z连续变到z时,
0
[()]()()
L
Fzfzfz且仅依赖于
0
z,z和
0
()fz,与连接
0
z,z的简单曲
线
L
的形状无关,则称()Fz在
D
内可单值分支.
0
()()()
L
fzfzFz称为()Fz的一个单值
连续分支,
D
称为()Fz的一个可单值分支区域.
定义4.2[2]设初等多值函数()Fz在a点的某个充分小的空邻域0()Ua内有定义,且每点均
为寻常点,又在以a为心的任意小的空心邻域内都存在有围绕a的简单闭曲线
L
(不通过a),
使得()0
L
Fz,则称a为()Fz的支点.
规定:如果存在
0
z的一邻域,使多值函数()Fz能在此邻域分支,这个点称为寻常点.
定理4.1[1]设初等多值函数()Fz定义在区域
D
内,则()Fz在
D
内可单值分支的充要条
件是:对于
D
内任一简单闭曲线
L
都有()0
L
Fz.其中()
L
Fz表示()Fz沿
L
的连续改变量.
对于一般的函数()Fz,我们可以先找到函数的支点,连接函数的支点就可以得到一条割线,
我们把这条割线称为支割线,支割线把平面割开后,这时对于平面内的任一闭曲线,当自变量再
沿着这一闭曲线运动一周后,由于这时的闭曲线已经不可能包含支点在内,所以这时有
4
()0
L
Fz,根据上面的定理4.1可知这时函数就可单值分支.
下面我们给出寻找函数支点的两种方法
方法一[4](1)求出多值函数的寻常点
(2)寻常点以外的点可看作支点的可疑点,对这样的点按定义4.1判断它们是否为支
点.
方法二(1)求出()Fz的可疑点,即将()Fz分解为若干基本初等函数,而这些基本函数的支
点和点便是可疑点.
(2)在可疑点的任意小的邻域内,作一条不通过可疑点且仅含该可疑点的闭
Jordan
曲
线
C
,计算zF
c
,然后根据定义4.1确定是否为支点.
4.2函数单值化方法的验证
下面我们仅就辐角函数和根式函数来验证上述方法.
辐角函数
argz
:
0
argarg[]
L
zzArgzL
为{0}C内一条简单曲线,
0
z是
L
的起点,
L
Argz称为辐角改变量
我们知道任何一个复数的辐角都有无穷多个,而且它们都是相差
2
的整数倍,我们可以看
到,即使固定起点
0
z,取定初值
0
argz,由于
L
Argz在{0}C内与
L
的形状有关,对于任一
{0}zC,
argz
都不是唯一的.因此在{0}C内rgAz是不能分解为单值连续分支函数的.我
们可以将复平面
C
沿正实轴(包括原点)割开而成一单连通区域,记为
D
.这样,我们能使区
域
D
内任一简单闭曲线都不围绕
0
点,那么辐角改变量在这个区域内就与曲线的形状无关,辐角
改变量
L
Argz始终为
0
,这样根据我们上面的定理4.1,在割开后的区域
D
内我们就能把函数
进行单值分支.
根式函数
nz
显然由于辐角的不确定,导致上述函数的多值性.当一个复数z的辐角改变
2
时,虽然该
复数没有变化,但是它所对应的函数值可能已经不同.为要得到与z的单值对应,我们可以限
制变量z的辐角变化范围.根据上面所述的,我们可以通过割破平面来限制辐角的范围,那么我
们将复平面
C
割破,在这个割破的复平面上,我们可以把辐角变化范围限定为
,这
5
样每一个复数的辐角就会被唯一确定而不能再任意变化了.在此割破的平面上,当动点z从
0
z沿
任意的闭曲线
C
(
C
是
G
内过点
0
z的一条简单闭曲线,即
C
不穿过负实轴,它的内部也不包含
原点
0z
)运动一周,回到点
0
z时,辐角不会改变,在运动过程中所对应的函数值将都位于同一
角形区域
k
T中.因此,在区域
G
内可以得到nz的n个单值连续分支函数,
()2
()(),
k
i
n
n
n
kk
zrze
(0,1,21)kn,。当
k
取0,1,21n,中的固定值时,它
就是
n
k
z的第k个分支函数.
5.多值函数单值化方法的应用
下面我们就单值分支几何方法的应用举几个例子加以说明:
5.1几个引理
引理1[3]()()
cc
ArgazArgza,这里c是不通过点a的
Jordan
曲线
引理2[3]设
1
1
1
1
()()
()
()
()()()
m
n
n
n
zaza
Pz
Rz
QZzbzb
……
……
则
1111
()()()()()
ccmcmcncn
ArgRzArgzaArgzArgzbzb…………
这里c是不通过()Pz,()Qz零点的
Jordan
曲线.
引理3[3]()0()2n
cc
RzArgznk,这里c是不通过()Pz,()Qz零点的任一闭
Jordan
曲线,n为自然数,
k
为任意整数.
5.2两类函数可单值分支区域的作法
显然,连接所有支点的
Jordan
曲线为支割线,将复平面沿支割线割开所得区域一定是可单
值分支区域.但在处理实际问题是,我们总是想取割线更短一些,使可单值分支区域更大些.下
面就两类函数的情形进行讨论:
第一类:()LogRz的可单值分支区域
如果()Rz可分解为
12
()()()RzRzRz.其中
1
()Rz为一有理式,其分子分母次数相同,而
1
()Rz本身不能作类似的分解.则只要将
1
()Rz有关的所有支点(当然没有)连接起来,就可
分出
1
()LogRz的单值分支.因()LogRz=
1
()LogRz+
2
()LogRz,所以只要考虑
2
()LogRz
6
的多值性.利用这个原则,再分解
2
()Rz,如此继续下去,可得()LogRz的最大可单值分支区
域.
例1求
3
3
(1)
(1)(2)
zz
Log
zz
的单值分支区域.
解取
1
1
2
z
R
z
,
3
2
31
z
R
z
,则
12
()()()RzRzRz.取割线段[-1,-2]使
1
2
z
Log
z
单值化,再取割线[0,1],便得
3
3
(1)
(1)(2)
zz
Log
zz
的可单值分支区域.
第二类:()nRz的可单值分支区域.
如果()Rz可分解为
12
()()()RzRzRz.其中
1
()Rz为一有理式,其分子次数与分母次数
之差为n的整数倍,而
1
()Rz本身不能作类似分解.将
1
()nRz的各支点连接在一起作割线.再
对
2
()Rz同样分解,如此进行下去,便得出()nRz的最大的可单值分支区域.
例2求()(1)(2)(3)Fzzzzz的可单值分支区域.
解易知0,1,2,3是支点,和其它有限点都是寻常点。取
1
()(1)Rzzz,
2
()(2)(3)Rzzz.则取直线段[0,1]和[2,3]作剖线,就可得()Fz的可单值分支区
域.
例3求()(1)(2)(3)(4)Fzzzzz的可单值分支区域.
解易知1,2,3,4z均是()Fz的支点,显然在复平面上沿实轴从
1z
到
4z
做割线,
在所得的区域
D
内,即是可单值分支区域.但为了使割线尽可能短些,现在让我们来考查仅含
两个支点的闭
Jordan
曲线.
设
C
是一条不通过1,2,3,4z且仅内含1,2z的闭
Jordan
曲线,则
(1)(2)(3)(4)
(1)(2)(3)(4)
2200
4
c
cccc
Argzzzz
ArgzArgzArgzArgz
故由引理3,有0)(zF
c
,同理,若取
C
是仅内含2,3zz的闭
Jordan
曲线,亦有
7
0)(zF
c
.
从而由定理3.1,做连接0,1zz的直线段及连接2,3zz的直线段为割线所得的区
域
D
,就是()Fz的可单值分支区域.
5.3应用举例
定义5.1设
D
为多值函数的单值分支()fz的解析区域,单值解析分支表达式
0
()()()
c
fzfzfz
终
其中
C
为
D
内某一条可求长的
Jordan
曲线,
0
,zz
分别为
C
的始点与终点,称为()fz的已知初
值求终值的公式.
引理4ln
P(z)P(z)
与Arg有相同的支点
Q(z)Q(z)
例4研究2()ln(1)Fzz的支点,并求满足条件:(0)2Fki的一个解析分支在
2z
处的
值.
解由引理4知2()ln(1)Fzz与2(1)Argz有相同的支点,易知2(1)Argz的支点为
,,ii从而是2()ln(1)Fzz的支点.
割线可以取从
i
到
i
的射线,也可以取从
i
到
i
的射线,但考虑0,2zz不能在割线上,
所以取
i
到
1
,从
i
到
1
,并且沿实轴的负方向的直线为割线,从而割破平面得单值解析分
支区域
D
.由初值定义及所给条件有
22
0
(0)ln1arg(1)2
z
Fzizi
,得2arg(10)2
故所求的单值解析分支为:
2222
2
ln(1)ln1(1)arg(10)
ln1()()2
c
cc
zziArgzi
ziArgziiArgzii
作连接0,2zz的
Jordan
曲线c(c在x轴上侧)则有
()2,()2.
cc
ArgziarctgArgziarctg
2()ln1()2
ln52
Fzziarctgzarctgzi
i
C
C
3
C
2
C
1
oX
Y
8
例5设3
(1)(1)(2)zzz
z
,其支点为0,-1,1,2,.如图,若连接-1,与连接0,
1,2所得割线,证明在用此割线所得的z平面区域内不能将此根式函数分成三个单值解析分支.
证明因为当z沿包含0,1,2,但不含-1,的任一简单闭曲线
C
的正向绕行一周后,
的辐角增量
arg1arg1arg2arg
3
0222
3
2
2
3
cccc
c
zzzz
不为
2
的整数倍,于是z沿
C
不论从哪一点开始绕行一周后
2
3
00
mzzez
终
这说明上述割线的作法不能将此多值解析函数分成单值,要单值化就必须改变割线的作法.
例6求()nRz的寻常点和支点.其中
1
1
1
1
()()
()
()()
m
n
n
n
zaza
Rz
zbzb
解类似于上题的分析,由引理2和引理3,易知
1
a,,
m
a;
1
b,,
n
b之外的有
限点都是寻常点.剩下的问题是,进一步考察
1
a,,
m
a;
1
b,,
n
b以及是否为支点.作
闭
Jordan
曲线
L
,它不通过
1
a,,
m
a;
1
b,,
n
b且其内部除了寻常点外仅含
1
a,利
用引理2有
1
()2
c
ArgRz
依据引理3,当k
n
(1,2,,km)或j
n
(1,2,,jp)是整数时,
k
或
j
是寻常点,
否则它们是支点,至于点,由
11
()2[()()]
cmn
ArgRz
可知当
11
()()
mn
是n的整数倍时,是寻常点,否则是支点.
例7求()ArgRz的寻常点和支点.其中
1
1
1
1
()()
()
()
()()()
m
n
n
n
zaza
Pz
Rz
QZzbzb
解由引理2,易知除
1
a,,
m
a;
1
b,,
n
b外平面上所有有限点都是()ArgRz的寻
9
常点.下面考察
1
a点,作不通过
1
a,
m
a;
1
b,,
n
b而内部除寻常点外仅含有
1
a的闭
Jordan
曲线
L
,利用引理2则有
11
11
1
()()()
()()
20
ccmcm
cncn
ArgRzArgzaArgz
ArgzbArgzb
+
故知
1
a是支点.同理可证
2
a,,
m
a;
1
b,,
n
b都是支点.
取适当大的
0R
,使
1
a,,
m
a;
1
b,,
n
b都位于圆zR内.在域zR内作闭
Jordan
曲线L,使其内部包含圆域zR.再根据引理2有
11
()2[]
cmn
ArgRz.
当
11mn
时,()0
c
ArgRz,可知不是支点而是寻常点.当
11mn
时,()0
c
ArgRz,知是支点.
参考文献:
[1]钟玉泉.复变函数论[M](第三版).北京:高等教育出版社,2004:64~70,75~78.
[2]路可见,钟寿国,刘士强.复变函数[M].武汉:武汉大学出版社,2001:15~18,44~47.
[3]方企勤.复变函数教程[M].北京:北京大学出版社,1996
[4]刘士强,林玉波.关于初等多值函数单值分支问题[M].兰州大学出版社,1993
[5]闻国椿,殷慰萍.复变函数的应用[M].北京:首都师范大学出版社,1999
[6]s(美).复分析[M].上海:上海科学技术出版社,1984
本文发布于:2022-12-11 23:29:23,感谢您对本站的认可!
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