柯西中值定理证明

第五讲中值定理的证明技巧

一、考试要求

1、理解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定

理），并会应用这些性质。

2、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理(泰勒定理），了解并会用柯西中

值定理。掌握这三个定理的简单应用（经济）。

3、了解定积分中值定理。

二、内容提要

1、介值定理（根的存在性定理）

（1）介值定理在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间

的任何值.

（2）零点定理

设f(x)在[a、b]连续，且f(a)f(b)＜0，则至少存在一点,c(a、

b)，使得f(c)=0

2、罗尔定理

若函数满足：

（1）在上连续

（2）在内可导

（3）

则一定存在使得

3、拉格朗日中值定理

若函数满足：

（1）在上连续

（2）在内可导

则一定存在，使得

4、柯西中值定理

若函数满足:

（1）在上连续

（2）在内可导

（3）

则至少有一点使得

5、泰勒公式

如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数?则当在内时?可以表示为的一个次

多项式与一个余项之和，即

其中(介于与之间)?

在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：

1．展开的基点；

2．展开的阶数；

3．余项的形式．

其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公

式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式．

而基点和阶数，要根据具体的问题来确定．

6、积分中值定理

若f(x)在[a、b]上连续，则至少存在一点c∈[a、b]，使得

b

af(x)dx=f(c)(b-a)

三、典型题型与例题

题型一、与连续函数相关的问题（证明存在使

0)(f

或方程f(x)=0有根）

方法：大多用介值定理f(x)满足：在[a,b]上连续；f(a)f(b)<0.

思路：1）直接法

2）间接法或辅助函数法

例1、设)(xf在[a,b]上连续，),,2,1(0,

21

nicbxxxa

in

，证明

存在],[ba，使得

n

nn

ccc

xfcxfcxfc

f











21

2211

)()()(

)(

例2、设

)(,0xfab

在[a,b]上连续、单调递增，且

0)(xf

，证明存在

),(ba

使得)(2)()(222fafbbfa

例3、设)(xf在[a,b]上连续且0)(xf，证明存在),(ba使得

bb

aa

dxxfdxxfdxxf





)(

2

1

)()(

。

例4、设

)(),(xgxf

在[a,b]上连续，证明存在

),(ba使得

b

a

dxxgfdxxfg



)()()()(

例5、设f(x)在[0,1]上连续，且f(x)<1.证明：21

0

xftdtx()在(0,1)内

有且仅有一个实根。

例6、设实数

n

aaa,,,

21

满足关系式0

12

)1(

3

1

2

1







n

a

a

an

n，证明方程

0)12cos(3coscos

21

xnaxaxa

n

，在

)

2

,0(



内至少有一实根。

例7、（0234，6分）

设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)>0,利用闭区间上连续函数的性

质，证明存在一点],[ba使得

b

a

b

a

dxxgfdxxgxf)()()()(

题型二、验证满足某中值定理

例8、验证函数























1,

1

1,

2

3

)(

2

x

x

x

x

xf

，在[0，2]上满足拉格朗日中值定理，并

求满足定理的

题型三、证明存在,使fn()()0(n=1,2,…)

方法：

思路：

例9、设)(xf在[a,b]上可导且0)()(





bfaf，证明至少存在一个

),(ba使得0)(

f

例10、设

)(xf

在[0,3]上连续，在（0,3）内可导，且

1)3(,3)2()1()0(ffff，证明存在一个)3,0(使得0)(

f

例11、设)(xf在[0,2]上连续，在（0，2）内具有二阶导数且

1

2

1

1

2

()

lim0,2()(2)

cos

x

fx

fxdxf

x



，证明存在

)2,0(使得0)(

f

题型四、证明存在,使Gff(,(),())



0

方法：

思路：

(1)用罗尔定理

1)原函数法:

步骤：

例12、设

)(),(xgxf

在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且

)),((0)(baxxg



，求

证存在

),(ba使得

)(

)(

)()(

)()(









g

f

bgg

faf











例13、（0134）设f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且



k

xkdxxfxekf

1

0

11,)()1(

证明：在(0,1)内至少存在一点?,使).()1()(1ff



例14、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且

f(a)f(b)>0,f(a)





f

ab

(),

2

0

g(x)在[a,b]上连续，试证对





(,),()()().abfgf使得

.

例15、设f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内一阶可导，且

1

0

1

0

0)(,0)(dxxxfdxxf.

试证：

),1,0(使得)()1()(1ff



.

[证]令xdttfxF

0

)()(，则F(0)=F(1)=0.又

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

.0)(,0)()()()()(cFcdxxFdxxFxxFxxdFdxxxf

于是)1,(),,0(

21

cc，使0)()(

21







FF，即.0)()(

21

ff

设

),(

1

)(xfe

x

xx则)1,0(),(0)()(

2121

，使得

0)(

，即)()1()(1ff



.

2)常微分方程法:

适用:

步骤：

例16、设)(xf在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且)()(bfaf，证明存在

),(ba使得



)()(ff

例17、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1,

证明：对任意实数,)必存在（，01,使得



ff()[()]1

(2)直接用拉格朗日或柯西中值定理

例18、设

)(xf

在

],[ba

上连续，在

),(ba

内可导，求证存在(,)ab，使得

bfbafa

ba

ff

()()

()()











例19、设

)(xf

在

],[ba

上连续，在

),(ba

内可导，求证存在(,)ab，使得

1)],()([

)()(

1

1







nfnf

bfaf

ab

ab

n

nn



例20、设)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导)0(ba，求证存在(,)ab，

使得

fbfa

b

a

f()()ln()



例21、设)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导)0(ba，求证存在

(,)ab，

使得

fbfa

ba

aabb

f()()

()

()







22

23





题型五、含有



f()(或更高阶导数)的介值问题

方法：

例22、设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0,试证至少存在一个

(,)01,使









f

f

()

()







2

1

例23、（012，8分）设

)(xf

在

)0](,[aaa

上具有二阶连续导数，f(0)=0

(1)写出f(x)的带拉氏余项的一阶麦克劳林公式。

(2)证明在

],[aa

上至少存在一个使得





a

a

dxxffa)(3)(3

例24、设f(x)在[－1,1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0,f(1)=1,f?(0)=0,

证明:在(-1,1)内存在一点?，使得



f().3

例25、设f(x)在[－a,a]上具有三阶连续导数，且满足

xdttxtfxxf

0

2)()(，

f(0)=0,证明:在[-a,a]内存在一点?，使得.)(12)(4



a

a

dxxffa

[证]由

xxduufuxxdttxtfxxf

0

2

0

2)()()()(

=xxduuufduufxx

00

2)()(

，

知

0)0(



f

，





xfdttfxxf

0

.0)0(,)(2)(

根据泰勒公式，有

332)(

6

1

)(

!3

1

)0(

!2

1

)0()0()(xfxfxfxffxf















其中介于0与x之间，x[,]11.

于是,

12

)(

6

1

)(

12

4

3

4Ma

dxxfdxxf

maa

a

a

a









其中M、m为)(xf



（由题设可推知)(xf



在[-a,a]上连续）在[-a,a]上的最大

值、最小值.进一步有

Mdxxf

a

ma

a



)(

12

4

故存在],[aa，使得



a

a

dxxf

a

f)(

12

)(

4

，即.)(12)(4



a

a

dxxffa

题型六、双介值问题F(,,)0

方法：

例26、设)(xf在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，ba0，求证存在),(,ba

使得)(

2

)(

)(ba

f

f













例27、（051，12分）已知函数

)(xf

在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且

1)1(,0)0(ff

证明：（1）存在

)1,0(，使得1)(f

（2）存在两个不同的点

)1,0(,使得

1)()(

ff

题型七、综合题

例28、（011，7分）

设函数

)(xf

在（-1,1）内具有二阶连续导数，且

0)(



xf

，试证

（1）对于(-1,1)内的任意

0x

,存在唯一的

)1,0()(x使得

()(0)(())fxfxfxx



成立

（2）

2

1

)(lim

0





x

x



例29、试证明若)(xf在[a,b]上存在二阶导数，且0)()(







bfaf，则存在

),(ba使得)()(

)(

4

)(

2

afbf

ab

f







例30、设e

aea

beb

e

a

b









ln

ln

1

1

0





[证]Fx

aea

beb

xex

FaFbF

a

b

x

()

ln

ln

ln

,()()()











00

为证唯一性，再证



Fx()0











Fxebaab

beae

x

x

ab

()[lnln]

2

令

fx

x

x

fxxefafb()

ln

()()()()



0

gxxegxgbgax()()()()



0







FxFx(),()0唯一性.

题型八、有关介值证明的几类特殊处理问题

1）反证法

例30、设f(x)在[-2,2]上连续，在(-2,2)内二阶连续可导,且fxf(),(0),



11.

求证存在(,)22,使



f()0

[证]反证若对





xfx(,),()22

不变号

1）



fx()0

,f(2)=f(0)+







ff(0)(),(0,)2

1

2

22

1

2

1













1

2

2001

1

(()())()(),ffff与左端小于等于1矛盾.

2)



fx(),0

f(-2)=f(0)-







ff(0)(),(,)2

1

2

220

2

2

2











1

2

200

2

[()()]()()ffff,同理矛盾





fx()

变号，从而结论成立.

2）隐含问题

例31、（2000年）设f(x)在[0,1]上连续，1

0

0)(dxxf

,g(x)在[0,1]上有连

续的导数且在(0,1)内0)(



xg，并且1

0

.0)()(dxxgxf

证明：至少存在两个不

同的点)1,0(,

21

,使ff()()

12

0.

[证]xFFdttfxF

0

0)1()0()()(

又

1

0

1

0

1

0

1

0

)()()()()()()()(dxxgxFxFxgxdFxgdxxgxf

=0)()(),1,0(0)()(

1

0









gFdxxgxF

0)1()()0(FFF结论.