二元一次方程公式法

二元一次方程解法大全

二元一次方程解法大全

1、直接开平方法：

直接开平方法就是用直接开平方求解二元

一次方程的方法。用直接开平方法解形如

(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±根号下

n+m.

例1．解方程（1）(3x+1)2=7（2）

9x2-24x+16=11

分析：（1）此方程显然用直接开平方法好

做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边

=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。

（1）解：(3x+1)2=7×

∴(3x+1)2=5

∴3x+1=±(注意不要丢解)

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

（2）解：9x2-24x+16=11

∴(3x-4)2=11

∴3x-4=±

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a

≠0)

先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c

将二次项系数化为1：x2+x=-

方程两边分别加上一次项系数的一半的平

方：x2+x+()2=-+()2

方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=

当b^2-4ac≥0时，x+=±

∴x=(这就是求根公式)

例2．用配方法解方程3x^2-4x-2=0(注：X^2

是X的平方）

解：将常数项移到方程右边3x^2-4x=2

将二次项系数化为1：x2-x=

方程两边都加上一次项系数一半的平方：

x2-x+()2=+()2

配方：(x-)2=

直接开平方得：x-=±

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=.

3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，

然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0

时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b

±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可

得到方程的根。

例3．用公式法解方程2x2-8x=-5

解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0

∴a=2,b=-8,c=5

b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0

∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)

∴原方程的解为x1=,x2=.

4．因式分解法：把方程变形为一边是零，

把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的

积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两

个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到

的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方

程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：

(1)(x+3)(x-6)=-8(2)2x2+3x=0

(3)6x2+5x-50=0(选学）(4)x2-2(+)x+4=0

（选学）

(1)解：(x+3)(x-6)=-8化简整理得

x2-3x-10=0(方程左边为二次三项式，右边

为零)

(x-5)(x+2)=0(方程左边分解因式)

∴x-5=0或x+2=0(转化成两个一元一次方

程)

∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

(2)解：2x2+3x=0

x(2x+3)=0(用提公因式法将方程左边分解

因式)

∴x=0或2x+3=0(转化成两个一元一次方

程)

∴x1=0，x2=-是原方程的解。

注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0

这个解，应记住一元二次方程有两个解。

(3)解：6x2+5x-50=0

(2x-5)(3x+10)=0(十字相乘分解因式时要

特别注意符号不要出错)

∴2x-5=0或3x+10=0

∴x1=,x2=-是原方程的解。

(4)解：x2-2(+)x+4=0（∵4可分解为2·2，

∴此题可用因式分解法）

(x-2)(x-2)=0

∴x1=2,x2=2是原方程的解。

小结：

一般解一元二次方程，最常用的方法还是因

式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方

程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正

数。

直接开平方法是最基本的方法。

公式法和配方法是最重要的方法。公式法适

用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），

在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形

式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判

别式的值，以便判断方程是否有解。

配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就

可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般

不用配方法

解一元二次方程。但是，配方法在学习其他

数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三

种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种

重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。

二元一次方程练习题

一、判断

1、是方程组的解…………（）

2、方程组的解是方程3x-2y=13的一个解（）

3、由两个二元一次方程组成方程组一定是

二元一次方程组（）

4、方程组，可以转化为（）

5、若(a2-1)x2+(a-1)x+(2a-3)y=0是二元

一次方程，则a的值为±1（）

6、若x+y=0，且|x|=2，则y的值为2…………

（）

7、方程组有唯一的解，那么m的值为m≠

-5…………（）

8、方程组有无数多个解…………（）

9、x+y=5且x，y的绝对值都小于5的整数

解共有5组…………（）

10、方程组的解是方程x+5y=3的解，反过

来方程x+5y=3的解也是方程组的解………（）

11、若|a+5|=5，a+b=1则………（）

12、在方程4x-3y=7里，如果用x的代数式

表示y，则（）

二、选择：

13、任何一个二元一次方程都有（）

（A）一个解；（B）两个解；

（C）三个解；（D）无数多个解；

14、一个两位数，它的个位数字与十位数字

之和为6，那么符合条件的两位数的个数有（）

（A）5个（B）6个（C）7个（D）8个

15、如果的解都是正数，那么a的取值范围

是（）

（A）a<2；（B）；（C）；（D）；

16、关于x、y的方程组的解是方程3x+2y=34

的一组解，那么m的值是（）

（A）2；（B）-1；（C）1；（D）-2；

17、在下列方程中，只有一个解的是（）

（A）（B）

（C）（D）

18、与已知二元一次方程5x-y=2组成的方

程组有无数多个解的方程是（）

（A）15x-3y=6（B）4x-y=7（C）10x+2y=4

（D）20x-4y=3

19、下列方程组中，是二元一次方程组的是

（）

（A）（B）

（C）（D）

20、已知方程组有无数多个解，则a、b的

值等于（）

（A）a=-3,b=-14（B）a=3,b=-7

（C）a=-1,b=9（D）a=-3,b=14

21、若5x-6y=0，且xy≠0，则的值等于（）

（A）（B）（C）1（D）-1

22、若x、y均为非负数，则方程6x=-7y的

解的情况是（）

（A）无解（B）有唯一一个解

（C）有无数多个解（D）不能确定

23、若|3x+y+5|+|2x-2y-2|=0，则2x2-3xy

的值是（）

（A）14（B）-4（C）-12（D）12

24、已知与都是方程y=kx+b的解，则k与

b的值为（）

（A），b=-4（B），b=4

（C），b=4（D），b=-4

三、填空：

25、在方程3x+4y=16中，当x=3时，

y=________，当y=-2时，x=_______

若x、y都是正整数，那么这个方程的解为

___________；

26、方程2x+3y=10中，当3x-6=0时，

y=_________；

27、如果0.4x-0.5y=1.2，那么用含有y的

代数式表示的代数式是_____________；

28、若是方程组的解，则；

29、方程|a|+|b|=2的自然数解是

_____________；

30、如果x=1，y=2满足方程，那么

a=____________；

31、已知方程组有无数多解，则a=______，

m=______；

32、若方程x-2y+3z=0，且当x=1时，y=2，

则z=______；

33、若4x+3y+5=0，则3(8y-x)-5(x+6y-2)

的值等于_________；

34、若x+y=a，x-y=1同时成立，且x、y都

是正整数，则a的值为________；

35、从方程组中可以知道，x:z=_______；

y:z=________；

36、已知a-3b=2a+b-15=1，则代数式

a2-4ab+b2+3的值为__________；

四、解方程组

37、；38、；

39、；40、；

41、；42、；

43、；44、；

45、；46、；

五、解答题：

47、甲、乙两人在解方程组时，甲看错了①

式中的x的系数，解得；乙看错了方程②中的y

的系数，解得，若两人的计算都准确无误，请写

出这个方程组，并求出此方程组的解；

48、使x+4y=|a|成立的x、y的值，满足

(2x+y-1)2+|3y-x|=0，又|a|+a=0，求a的值；

49、代数式ax2+bx+c中，当x=1时的值是

0，在x=2时的值是3，在x=3时的值是28，试

求出这个代数式；

50、要使下列三个方程组成的方程组有解，

求常数a的值。

2x+3y=6-6a，3x+7y=6-15a，4x+4y=9a+9

51、当a、b满足什么条件时，方程

(2b2-18)x=3与方程组都无解；

52、a、b、c取什么数值时，x3-ax2+bx+c

程(x-1)(x-2)(x-3)恒等？

53、m取什么整数值时，方程组的解：

（1）是正数；

（2）是正整数？并求它的所有正整数解。

54、试求方程组的解。

六、列方程（组）解应用题

55、汽车从甲地到乙地，若每小时行驶45

千米，就要延误30分钟到达；若每小时行驶50

千米，那就可以提前30分钟到达，求甲、乙两

地之间的距离及原计划行驶的时间？

56、某班学生到农村劳动，一名男生因病不

能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排他们

与女生一起抬土，两人抬一筐土，其余男生全部

挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动时恰

需筐68个，扁担40根，问这个班的男女生各有

多少人？

57、甲、乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑

10米，那么甲跑5秒钟就可以追上乙；如果甲

让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，

求两人每秒钟各跑多少米？

58、甲桶装水49升，乙桶装水56升，如果

把乙桶的水倒入甲桶，甲桶装满后，乙桶剩下的

水，恰好是乙桶容量的一半，若把甲桶的水倒入

乙桶，待乙桶装满后则甲桶剩下的水恰好是甲桶

容量的，求这两个水桶的容量。

59、甲、乙两人在A地，丙在B地，他们三

人同时出发，甲与乙同向而行，丙与甲、乙相向

而行，甲每分钟走100米，乙每分钟走110米，

丙每分钟走125米，若丙遇到乙后10分钟又遇

到甲，求A、B两地之间的距离。

60、有两个比50大的两位数，它们的差是

10，大数的10倍与小数的5倍的和的是11的倍

数，且也是一个两位数，求原来的这两个两位数。

【参考答案】

一、1、√；2、√；3、×；4、×；5、×；

6、×；

7、√；8、√；9、×；10、×；11、×；

12、×；

二、13、D；14、B；15、C；16、A；17、C；

18、A；

19、C；20、A；21、A；22、B；23、B；24、

A；

三、25、，8，；26、2；27、；28、a=3，

b=1；

29、30、；31、3，-432、1；33、20；

34、a为大于或等于3的奇数；35、4:3，

7:936、0；

四、37、；38、；39、；40、；

41、；42、；43、；44、；

45、；46、；

五、47、，；48、a=-149、11x2-30x+19；

50、；51、，b=±352、a=6,b=11,c=-6；

53、（1）m是大于-4的整数，（2）m=-3，

-2，0，，，；

54、或；

六、55、A、B距离为450千米，原计划行

驶9.5小时；

56、设女生x人，男生y人，

57、设甲速x米/秒，乙速y米/秒

58、甲的容量为63升，乙水桶的容量为84

升；

59、A、B两地之间的距离为52875米；

60、所求的两位数为52和62。

二元一次方程组练习题100道（卷二）

一、选择题：

1．下列方程中，是二元一次方程的是（）

A．3x－2y=4zB．6xy+9=0C．+4y=6D．4x=

2．下列方程组中，是二元一次方程组的是

（）

A．

3．二元一次方程5a－11b=21（）

A．有且只有一解B．有无数解C．无解D．有

且只有两解

4．方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（）

A．

5．若│x－2│+（3y+2）2=0，则的值是（）

A．－1B．－2C．－3D．

6．方程组的解与x与y的值相等，则k等

于（）

7．下列各式，属于二元一次方程的个数有

（）

①xy+2x－y=7；②4x+1=x－y；③+y=5；④

x=y；⑤x2－y2=2

⑥6x－2y⑦x+y+z=1⑧y（y－1）=2y2－y2+x

A．1B．2C．3D．4

8．某年级学生共有246人，其中男生人数

y比女生人数x的2倍少2人，•则下面所列的

方程组中符合题意的有（）

A．

二、填空题

9．已知方程2x+3y－4=0，用含x的代数式

表示y为：y=_______；用含y的代数式表示x

为：x=________．

10．在二元一次方程－x+3y=2中，当x=4

时，y=_______；当y=－1时，x=______．

11．若x3m－3－2yn－1=5是二元一次方程，

则m=_____，n=______．

12．已知是方程x－ky=1的解，那么

k=_______．

13．已知│x－1│+（2y+1）2=0，且2x－

ky=4，则k=_____．

14．二元一次方程x+y=5的正整数解有

______________．

15．以为解的一个二元一次方程是

_________．

16．已知的解，则m=_______，n=______．

三、解答题

17．当y=－3时，二元一次方程3x+5y=－3

和3y－2ax=a+2（关于x，y的方程）•有相同的

解，求a的值．

18．如果（a－2）x+（b+1）y=13是关于x，

y的二元一次方程，则a，b满足什么条件？

19．二元一次方程组的解x，y的值相等，

求k．

20．已知x，y是有理数，且（│x│－1）

2+（2y+1）2=0，则x－y的值是多少？

21．已知方程x+3y=5，请你写出一个二元

一次方程，•使它与已知方程所组成的方程组的

解为．

22．根据题意列出方程组：

（1）明明到邮局买0.8元与2元的邮票共

13枚，共花去20元钱，•问明明两种邮票各买

了多少枚？

（2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼

中放4只，则有一鸡无笼可放；•若每个笼里放

5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少

个笼？

23．方程组的解是否满足2x－y=8？满足2x

－y=8的一对x，y的值是否是方程组的解？

24．（开放题）是否存在整数m，使关于x

的方程2x+9=2－（m－2）x在整数范围内有解，

你能找到几个m的值？你能求出相应的x的解

吗？

答案：

一、选择题

1．D解析：掌握判断二元一次方程的三个

必需条件：①含有两个未知数；②含有未知数的

项的次数是1；③等式两边都是整式．

2．A解析：二元一次方程组的三个必需条

件：①含有两个未知数，②每个含未知数的项次

数为1；③每个方程都是整式方程．

3．B解析：不加限制条件时，一个二元一

次方程有无数个解．

4．C解析：用排除法，逐个代入验证．

5．C解析：利用非负数的性质．

6．B

7．C解析：根据二元一次方程的定义来判

定，•含有两个未知数且未知数的次数不超过1

次的整式方程叫二元一次方程，注意⑧整理后是

二元一次方程．

8．B

二、填空题

9．10．－10

11．，2解析：令3m－3=1，n－1=1，∴m=，

n=2．

12．－1解析：把代入方程x－ky=1中，得

－2－3k=1，∴k=－1．

13．4解析：由已知得x－1=0，2y+1=0，

∴x=1，y=－，把代入方程2x－ky=4中，

2+k=4，∴k=1．

14．解：

解析：∵x+y=5，∴y=5－x，又∵x，y均为

正整数，

∴x为小于5的正整数．当x=1时，y=4；

当x=2时，y=3；

当x=3，y=2；当x=4时，y=1．

∴x+y=5的正整数解为

15．x+y=12解析：以x与y的数量关系组

建方程，如2x+y=17，2x－y=3等，

此题答案不唯一．

16．14解析：将中进行求解．

三、解答题

17．解：∵y=－3时，3x+5y=－3，∴3x+5

×（－3）=－3，∴x=4，

∵方程3x+5y=•－•3•和3x－2ax=a+2有相

同的解，

∴3×（－3）－2a×4=a+2，∴a=－．

18．解：∵（a－2）x+（b+1）y=13是关于

x，y的二元一次方程，

∴a－2≠0，b+1≠0，•∴a≠2，b≠－1

解析：此题中，若要满足含有两个未知数，

需使未知数的系数不为0．

（•若系数为0，则该项就是0）

19．解：由题意可知x=y，∴4x+3y=7可化

为4x+3x=7，

∴x=1，y=1．将x=1，y=•1•代入kx+（k－1）

y=3中得k+k－1=3，

∴k=2解析：由两个未知数的特殊关系，可

将一个未知数用含另一个未知数的代数式代替，

化“二元”为“一元”，从而求得两未知数的值．

20．解：由（│x│－1）2+（2y+1）2=0，

可得│x│－1=0且2y+1=0，∴x=±1，y=－．

当x=1，y=－时，x－y=1+=；

当x=－1，y=－时，x－y=－1+=－．

解析：任何有理数的平方都是非负数，且题

中两非负数之和为0，

则这两非负数（│x│－1）2与（2y+1）2

都等于0，从而得到│x│－1=0，2y+1=0．

21．解：经验算是方程x+3y=5的解，再写

一个方程，如x－y=3．

22．（1）解：设0．8元的邮票买了x枚，

2元的邮票买了y枚，根据题意得．

（2）解：设有x只鸡，y个笼，根据题意

得．

23．解：满足，不一定．

解析：∵的解既是方程x+y=25的解，也满

足2x－y=8，•

∴方程组的解一定满足其中的任一个方程，

但方程2x－y=8的解有无数组，

如x=10，y=12，不满足方程组．

24．解：存在，四组．∵原方程可变形为－

mx=7，

∴当m=1时，x=－7；m=－1时，x=7；m=•7

时，x=－1；m=－7时x=1．

二元一次方程应用题

题型一：配套问题

1．某服装厂生产一批某种款式的秋装，已

知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖

5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装(不

考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做

的衣身和衣袖恰好配套？

题型二：年龄问题

2．甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁

数时，你才4岁”．乙对甲说：“当我的岁数是

你现在的岁数时，你将61岁”．请你算一算，

甲、乙现在各多少岁？

题型三：百分比问题

3．有甲乙两种铜和银的合金，甲种合金含

银25%，乙种合金含银37.5%，现在要熔制含银

30%的合金100千克，甲、乙两种合金各应取多

少？

题型四：数字问题

4．有一个两位数，个位上的数字比十位上

的数字大5，如果把这两个数字的位置对换，那

么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数.

题型五：古算术问题

5．巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧。364

只碗，看看用尽不差争。三人共食一碗饭，四人

共吃一碗羹。请问先生明算者，算来寺内几多僧。

诗句的意思是：寺内有三百六十四只碗，如果三

个和尚共吃一碗饭，四个和尚共吃一碗羹，刚好

够用，寺内共有和尚多少个？

题型六：行程问题

6．甲乙两地相距160千米，一辆汽车和一

辆拖拉机从两地同时出发相向而行，1小时20

分后相遇。相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相

遇处停留1小时后原速返回，在汽车再次出发半

小时后追上了拖拉机，这时汽车、拖拉机从开始

到现在各自行驶了多少千米？

题型七：工程问题

7．某城市为了缓解缺水状况，实施了一项

饮水工程，就是把200千米以外的的一条大河的

水引到城市中来，把这个工程交给了甲乙两个施

工队，工期为50天，甲、乙两队合作了30天后，

乙队因另有任务需要离开10天，于是甲队加快

速度，每天多修了0.6千米，10天后乙队回来，

为了保证工期，甲队保持现在的速度不变，乙队

也比原来多修0.4千米，结果如期完成。问甲乙

两队原计划每天各修多少千米？

题型八：方案决策问题

8．已知某电脑公司有A型、B型、C型三种

型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B

型每台4000元，C型每台2500元，我市东坡中

学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购

进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计

出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理

由。

9．某地生产的一种绿色蔬菜，若在市场上

直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销

售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，

每吨利润涨至7500元．当地一家农工商公司收

获这种蔬菜140吨．该公司加工厂的生产能力

是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；

如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工

方式不能同时进行．受季节等条件限制，公司必

须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完

毕．为此，公司研制了三种加工方案：方案一：

将蔬菜全部进行粗加工．方案二：尽可能多地对

蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市

场上直接销售．方案三：将部分蔬菜进行精加工，

其余蔬菜进行粗加工，并恰好用15天完成．你

认为选择哪种方案获利最多？为什么？