两根之和

桑水

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一元二次方程的根与系数究竟有何关系

一、一元二次方程根与系数的关系

如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根x1、x2，则x1＋x2＝－

b

a

，x1·x2

＝

c

a

。

方法归纳：（1）如果方程x2＋px＋q＝0的两个实数根是x1、x2，那么x1＋x2＝－p，x1·x2

＝q。

（2）以x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－（x1＋x2）x＋x1·x2＝0

或（x－x1）（x－x2）＝0。

二、一元二次方程根与系数的关系的应用

（1）验根；

（2）已知方程的一个根，求方程的另一个根及未知系数；

（3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值。

方法归纳：利用方程根与系数的关系求代数式的值，几个重要变形如下：

（1）x1

2＋x2

2＝（x1＋x2）2－2x1x2；

（2）

1

x1

＋

1

x2

＝

x1＋x2

x1·x2

；

（3）

x2

x1

＋

x1

x2

＝

x1

2＋x2

2

x1x2

＝

（x1＋x2）2－2x1x2

x1x2

；

（4）（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2；

（5）x1－x2＝±（x1－x2）2＝±（x1＋x2）2－4x1x2。

总结：

1.已知一元二次方程的两个实数根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围。

2.利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号。

例题1已知方程x2－2x－1＝0，则此方程（）

A.无实数根B.两根之和为－2

C.两根之积为－1D.有一根为－1＋2

解析：根据已知方程的根的判别式符号确定该方程的根的情况；由根与系数的关系确

定两根之积、两根之和的值；通过求根公式即可求得方程的根。

A.＝（－2）2－4×1×（－1）＝8＞0，则该方程有两个不相等的实数根。故本选项

错误；B.设该方程的两根分别是α、β，则α＋β＝2。即两根之和为2，故本选项错误；

C.设该方程的两根分别是α、β，则αβ＝－1。即两根之积为－1，故本选项正确；D.根

桑水

据求根公式x＝1±2可知，原方程的两根是（1＋2）和（1－2），故本选项错误。故选

C。

答案：C

点拨：本题综合考查了根与系数的关系、根的判别式以及求根公式的应用。利用根与系

数的关系、求根公式解题时，务必清楚公式中的字母所表示的含义。

例题2设x1、x2是方程x2－x－2013＝0的两个实数根，求x1

3＋2014x2－2013的值。

解析：由原方程可知x2＝x＋2013，x＝x2－2013；x1

2＝x1＋2013，x1＝x1

2－2013。由根

与系数的关系可知x1＋x2＝1，根据以上关系代入求值即可。

答案：∵x2－x－2013＝0，∴x2＝x＋2013，x＝x2－2013。

又∵x1、x2是方程x2－x－2013＝0的两个实数根

∴x1＋x2＝1

∴x1

3＋2014x2－2013

＝x1•x1

2＋2013x2＋x2－2013

＝x1•（x1＋2013）＋2013x2＋x2－2013

＝x1

2＋2013x1＋2013x2＋x2－2013

＝（x1＋2013）＋2013x1＋2013x2＋x2－2013

＝x1＋x2＋2013（x1＋x2）＋2013－2013

＝1＋2013

＝2014

点拨：本题考查了根与系数的关系，对所求代数式的变形是解答此题的关键点和难点。

利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号。设一元二次方程ax2＋bx

＋c＝0（a≠0）的两个实数根为x1、x2，则

（1）当≥0且x1x2＞0时，两根同号，即





x1＋x2＞0时，两根同为正数

x1＋x2＜0时，两根同为负数

（2）当＞0且x1x2＜0时，两根异号，即





x1＋x2＞0时，两根异号且正根绝对值较大

x1＋x2＜0时，两根异号且负根绝对值较大

例题如果关于x的方程x2－px－q＝0（p、q是正整数）的正根小于3，那么这样的方

程的个数是（）

A.5个B.6个C.7个D.8个

解析：∵p、q是正整数，且＝p2＋4q＞0，∴原方程有两个不相等的实数根。又∵x1·x2

＝－q＜0，∴此方程两根异号。这个方程的正根为

p＋p2＋4q

2

，即

p＋p2＋4q

2

＜3。解得q

＜9－3p，其正整数解是：





p＝1

q＝1

、





p＝1

q＝2

、





p＝1

q＝3

、





p＝1

q＝4

、





p＝1

q＝5

、





p＝2

q＝1

、





p＝2

q＝2

。故选C。

答案：C

点拨：要判断一元二次方程的根的符号有一个前提条件不能忽略，那就是判别式⊿≥0，

然后再依据x1x2和x1＋x2的正负情况进行判断。

（答题时间：30分钟）

桑水

一、选择题

1.已知（x＋a）（x－b）＝x2＋2x－1，则ab＝（）

A.－2B.－1C.1D.2

2.已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一个根为（）

A.2B.3C.4D.8

3.已知m、n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，若（m－1）（n－1）＝－

6，则a的值为（）

A.－10B.4C.－4D.10

*4.设x1、x2是方程x2＋3x－3＝0的两个实数根，则

x2

x1

＋

x1

x2

的值为（）

A.5B.－5C.1D.－1

*5.若m、n是方程x2－25x＋1＝0的两个实数根，则

n

m

－

m

n

的值是（）

A.±25B.±45C.±65D.±85

**6.若方程x2＋2px－3p－2＝0的两个不相等的实数根x1、x2满足x1

2＋x1＝4－（x2

2＋x2），

则实数p的可能的值为（）

A.0或－1B.0C.0或－4D.－4

二、填空题

7.若x1＝－1是关于x的方程x2＋mx－5＝0的一个根，则方程的另一个根x2＝

__________。

8.已知关于x的一元二次方程x2－x－3＝0的两个实数根分别为α、β，则（α＋3）（β

＋3）＝__________。

*9.已知实数a、b不相等，并且a2＋1＝5a，b2＋1＝5b，则

1

a2

＋

1

b2

＝__________。

**10.已知关于x的方程x2－（a＋b）x＋ab－1＝0，x1、x2是此方程的两个实数根，现

给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x1

2＋x2

2＜a2＋b2。则正确的结论是__________。（填

上你认为正确结论的所有序号）

三、解答题

11.已知关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2、m。求m、n的值。

*12.已知α、β是关于x的一元二次方程x2＋（2m＋3）x＋m2＝0的两个不相等的实数

根，且满足

1

α

＋

1

β

＝－1，试求m的值。

**13.已知α、β是方程x2＋2x－1＝0的两个实数根，试求α3＋5β＋10的值。

**14.已知关于x的一元二次方程x2－（2k＋1）x＋k2＋2k＝0有两个实数根x1、x2。

（1）求实数k的取值范围；

（2）是否存在实数k使得x1·x2－x1

2－x2

2≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，

请说明理由。

**15.已知关于x的方程x2－2mx＝－m2＋2x的两个实数根x1、x2满足︱x1︱＝x2，求实数

m的值。

桑水

一、选择题

1.C解析：注意本题ab不是利用根与系数的关系求得的，根据等式的性质求解即可。

2.C解析：设方程的另一个根为x1，由题意可知x1＋2＝6，所以x1＝4，即方程的另一

根为4。

3.C解析：根据题意得：m＋n＝3，mn＝a，∵（m－1）（n－1）＝mn－（m＋n）＋1＝－

6，∴a－3＋1＝－6，解得a＝－4，故选C。

*4.B解析：由题意可知x1＋x2＝－3，

x1x2＝－3，∴

x2

x1

＋

x1

x2

＝

x1

2＋x2

2

x1x2

＝

（－3）2－2×（－3）

－3

＝－5。

*5.D解析：由已知得m＋n＝25，mn＝1，则（m－n）2＝（m＋n）2－4mn＝（25）2

－4＝16，∴m－n＝±4。∴

n

m

－

m

n

＝

n2－m2

mn

＝

(m＋n)(n－m)

mn

＝±85。

**6.B解析：∵原方程有两个不相等的实数根，∴＝（2p）2＋4（3p＋2）＞0，即p2

＋3p＋2＞0，且x1＋x2＝－2p，x1x2＝－3p－2。又∵x1

2＋x1＝4－（x2

2＋x2），即x1

2＋x2

2＋x1

＋x2＝4，∴（x1＋x2）2－2x1x2＋（x1＋x2）＝4，即（－2p）2＋2（3p＋2）－2p＝4，∴4p2

＋4p＝0，解得p＝0或－1。当p＝0时＞0，当p＝－1时＝0（舍去），所以p的可能

的值为0。

二、填空题

7.5解析：由x1x2＝－5且x1＝－1，得x2＝5。

8.9解析：∵α＋β＝1，αβ＝－3，∴（α＋3）（β＋3）＝αβ＋3（α＋β）＋9

＝－3＋3×1＋9＝9。

*9.23解析：∵a、b满足a2＋1＝5a，b2＋1＝5b，即a、b是x2＋1＝5x的两个实数根，

整理此方程为x2－5x＋1＝0，根据根与系数的关系可知a＋b＝5，ab＝1。∴

1

a2

＋

1

b2

＝

a2＋b2

a2b2

＝

（a＋b）2－2ab

a2b2

＝23。

**10.①②解析：①∵方程x2－（a＋b）x＋ab－1＝0中，＝（a＋b）2－4（ab－1）

＝（a－b）2＋4＞0，∴x1≠x2，故①正确；②∵x1x2＝ab－1＜ab，故②正确；③∵x1＋x2＝a

＋b，x1x2＝ab－1，∴x1

2＋x2

2＝（x1＋x2）2－2x1x2＝（a＋b）2－2ab＋2＝a2＋b2＋2＞a2＋b2，

即x1

2＋x2

2＞a2＋b2。故③错误；综上所述，正确结论的序号是：①②。

三、解答题

11.解：∵关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2、m，∴





－2m＝n

－2＋m＝－1

，解得





m＝1

n＝－2

，

即m、n的值分别是1、－2。

*12.解：根据条件知：α＋β＝－（2m＋3），αβ＝m2，∴

1

α

＋

1

β

＝

α＋β

αβ

＝

－（2m＋3）

m2

＝－1，即m2－2m－3＝0，所以有





m2－2m－3＝0

（2m＋3）2－4m2＞0

，解得m＝3。

**13.解：∵α是方程x2＋2x－1＝0的根，∴α2＝1－2α。∴α3＝a2·a＝（1－2α）α

＝α－2α2＝α－2（1－2α）＝5α－2，又∵α＋β＝－2，∴α3＋5β＋10＝（5α－2）

＋5β＋10＝5（α＋β）＋8＝5×（－2）＋8＝－2。

桑水

**14.解：（1）∵原方程有两个实数根，＝[－（2k＋1）]2－4（k2＋2k）＝4k2＋4k＋1

－4k2－8k＝1－4k≥0，∴k≤

1

4

。∴当k≤

1

4

时，原方程有两个实数根。（2）假设存在实数k

使得x1·x2－x1

2－x2

2≥0成立。理由如下：∵x1、x2是原方程的两个实数根，∴x1＋x2＝2k＋

1，x1·x2＝k2＋2k。由x1·x2－x1

2－x2

2≥0得3x1·x2－（x1＋x2）2≥0。∴3（k2＋2k）－（2k

＋1）2≥0，整理得：（k－1）2≤0，∴只有当k＝1时，上式成立。又∵由（1）知k≤

1

4

，∴

不存在实数k使得x1·x2－x1

2－x2

2≥0成立。

**15.解：原方程可变形为：x2－2（m＋1）x＋m2＝0，∵x1、x2是方程的两个实数根，∴

≥0，即4（m＋1）2－4m2≥0，∴8m＋4≥0，m≥－

1

2

。又x1、x2满足︱x1︱＝x2，∴x1＝x2或

x1＝－x2，即＝0或＞0且x1＋x2＝0，由＝0，即8m＋4＝0，得m＝－

1

2

。由x1＋x2＝0，

即2（m＋1）＝0，得m＝－1（不合题意，舍去）。∴当︱x1︱＝x2时，m的值为－

1

2

。