辐角

２００１年第４期河北理科教学研究问题讨论

求复数辐角主值最值的四种方法

四川开江普安中学邓光发６３６２５１

本文以实例来说明求复数辐角主值最值

的四种常用方法，供读者参考．

１三角法

先利用复数的三角式ｚ＝ｒ（ｃｏｓ臼＋

ｉｓｉｎ口）（ｒ＞ｏ，Ｏ≤臼＜２丌）及其它，把复数模

化成三角函数形式或把复数转化成构造相关

三角函数，再用三角知识推理、计算出所求辐

角主值的最值．三角法的实质是把复数问题

化成三角问题求解．

例１已知复数ｚ满足Ｉ２ｚ＋÷Ｉ：１，

求ａｒｇ彳的最大值和最小值．

解：设ｚ＝ｒ（ｃｏｓ曰＋ｉｓｉｎ口）（ｒ＞０，０≤臼

＜２７ｒ），代入Ｊ２石＋上｛：１，并经整理，得

４ｃ。ｓ２口＋４ｒ２＋圭＝１，即ｃ。ｓ２臼＝｛一（ｒ２＋

击）≤丢乩．。．ｃｏｓ２口≤一号．①

当且仅当ｒ＝÷压时，式①等号成立．

解不等式①得２栅＋丌一ａｒｃｃ。ｓ丢≤２目

≤２ｈ＋丌＋ａｒｃｃ。ｓ丢甘幼＋号一吉ａｒｃｃ。ｓ寻

≤臼≤ｋ＋号＋吉ａｒｃｃ。ｓ号（而＝ｏ，１）铮口∈

［号一丢ａｒｃｃ。ｓ号，号＋丢ａｒｃｃ。ｓ丢］ｕ［号丌ｏｉ—ｉａｒｃｃ０８百，ｉ＋ｉａｒｃｃｏｓ百ｊ

ｕ

Ｌｉ丌

】３３１３、

一虿ａｒｃｃ０８了，ｉ丌＋ｉａｒｃｃｏｓｉｊ・

．・．（ａ昭ｚ）幽＝号一吉ａｒｃｃ。ｓ号；

，、３１３

（ａ。ｇｚＪｍａｘ

２ｉ丌＋ｉａ。ｃｃ０８百。

・１４・

例２设丌＜口≤詈７ｒ，复数：＝１一ｃｏｓ臼

＋ｉｓｉｎ口，卢＝口２＋口ｉ，且卢ｚ为纯虚数，ｏ是实

数，求ａｒｇｐ的最大值．

解：由已知得彳口＝［口２（１一ｃｏｓ口）一

口ｓｉｎ臼］＋ｉ［０２ｓｉｎ口＋口（１一ｃｏｓ臼）］．由ｚ卢是

纯虚数，得

『０２（１一ｃｏｓ口）一ｏｓｉｎ口＝０

ｑ）

ｌ口２ｓｉｎ目＋口（１一ｃｏｓ汐）≠０（多

由②知，ｏ≠ｏ，结合丌＜臼≤萼７ｒ，有詈＜

詈≤号丌且１－ｃｏｓ曰≠ｏ．

由①，得。＝＃南＝ｃｔｇ罢．１一ＣＯＳ口

ｕ

Ｚ．・．Ｐ：。２＋。ｉ：ｃｔ９２导＋泐ｇ导

＝一ｓｅｃ詈ｃ骨詈［ｃ嘴（，ｒ＋号）＋ｉｓｉＩｌ（玎＋詈）］．

故ａｒｇ∥＝丌＋罢∈（丢丌，云丌］，即

／、７

Ｌａｏｇ∥，ｍ“２ｉ７ｒ・

２代数法

利用复数的代数式ｚ＝算＋ｙｉ（菇、ｙ∈

神，先求出动点ｚ的轨迹方程，再运用判别

式法求出过原点且与上述轨迹相切的切线ｙ

＝彤ｔｇ口之斜率后的最值，即为辐角主值的最

值，或把辐角主值转化成构造相关三角函数，

用三角知识推理、计算出所求辐角主值的最

值．代数法的实质是把复数问题转化成实数

问题求解．

例３设复数ｚ满足Ｉｚ一２—２ｉＩ＝１，

求ａｒｇ彳的最大值和最小值．

万方数据

２００１年第４期

河北理科教学研究

问题讨论

解：设彳＝ｚ＋“（菇、ｙ∈Ｒ），代入

Ｊ彳一２—２ｉ

ｌ＝１，得点彳的轨迹方程为

（戈一２）２＋（ｖ一２）２＝１

①

设‘ｇ口＝詈，即ｙ＝髫‘ｇ汐②

②代入①，并整理，得

（ｔ９２曰＋１）戈２—４（‘ｇ口＋１）石＋７＝ｏ．

・．’戈∈Ｒ，．・．半０另Ⅱ式△＝４（ｔ９８＋１）２—

７（‘９２日＋１）≥Ｏ，化简，得３ｔ９２目一８‘ｇ臼＋３≤

０．解得半酏臼≤半．

．・．（ａｒｇｚ）ｍｉｎ：ａｒｃｔｇ半；

（ａ孵）。。：ａｒｃｔｇ半．

例４已知复数ｚ＝ｃｏｓ臼＋ｉ（２ｓｉｎ２口一

号）（ｏ≤口＜２丌），求ａ。ｇｚ的最大值和最小

值．

解：设：＝菇＋∥（菇、ｙ∈Ｒ），则

ｆ茗＝ｃｏｓ口ｉ，，：２。ｉｎ２目一要∞为参数）

化为普通方程，得ｙ＝一２戈２一寺（一１≤

石≤１）．过原点可作曲线的两条切线，两切点

对应的复数的辐角主值分别是ａｒｇｚ的最大

值和最小值．

由ｆｙ２—２戈２一丢得２菇：＋后菇＋吉：。，

。ｙ＝后戈

・．‘相切＇．．．判别式△＝０，即后２—４＝０ｊ后＝

士２。切点为（一号，一１），（丢，一１）．

故（ａ。ｇｚ）。ｉｎ＝ａ‘ｇ（一吉一ｉ）＝７ｒ＋ａｒｃ‘９２；

（ａｒｇｚ）。。＝ａｒｇ（寺一ｉ）＝２丌一ａｒｃ‘９２．ｋａｒｇｚ，ｍ丑ｘ＝ａｒｇＬ—了一ｏ，＝Ｚ丌一ａｒｃｔｇＺ・

３命题等价转换法

把未知解法的问题，转化到已有知识范

围内熟悉、简单可解的问题，是一种重要的

教学思想方法．

例５已知复数ｚ和埘满足条件：

（１）ｚ＋埘＋３＝Ｏ；

（２）Ｉ彳ｆ，２，｜埘ｌ成等差数列；

（３）ａ。ｇｚ＞ａ。ｇ埘．

求ａｒｇ三的最大值．

分析：本题若

用三角法和代数法

求解会非常复杂，

难于解答．若从条

件与结论的几何意

义去考虑，则可转

化为下述的等价问

题：

Ｉ，

３＼少叭

口

图１

首尾相接的三条线段中，其中一条线段

的长为３，另两条线段的夹角为ａ，且其长度

之和为４．求丌一ａ的最小值．

解：如图１，借助复平面的直观性，利用

余弦定理，得

ｃｏｓ（丌一ａ）＝一ｃｏｓ口

Ｉ彳Ｉ２＋ｌ埘ｌ２～３２２一—习了门丁

一兰！二划兰Ｊ±。Ｉ驾噬二圣Ｕ：ｌ型Ｕ

一

２ｚ｜．１加Ｉ＝，一赤≤・一南＝吉①

当且仅当ＩｚＪ＝Ｉ加ｌ＝２时式①等号成

立．

．・．由余弦函数在［０，丌］上的单调性知，

ａｒｇ云＝丌一口在ＩｚＩ＝ｌ埘ｌ＝２时，这

时（ａｒｇ云）血。＝ａｒｃｃ。ｓ吉．

４图形法（即几何法）

利用复数的几何意义及向量表示，先求

出表示复数的点ｚ的轨迹，再通过直观的几

（下转第２１页）

・１Ｓ・

万方数据

２００１年第４期河北理科教学研究

问题讨论

．・．ｓ。＝专（２“＋２ｃｏｓ号丌）

４取虚数单位ｆ

如果所求系数和是所有奇数项目正负相

间，或所有偶数项且正负相间的情形，可取戈

＝ｉ来解决．

例６求证：ｃ‰一ｃ‰＋ｃ｛００—ｃ‰＋…

一ｃ２８０＋ｃ｛８８＝一２５０

证明：考虑等式

（１＋筇）２＝ｃ２Ｄｏ＋ｃ｛００石＋ｃ｛００茁２＋…＋

ｃ？‰菇９９＋ｃｉ器戈１００，取戈＝ｉ，得

ｃ０００＋ｃ；００ｉ—ｃ％ｏ—ｃｉ００ｉ＋…一ｃ：‰一

ｃ‰ｉ＋ｃ；器＝（１＋ｉ）１００＝（２ｉ）５０＝一２５０，

根据复数相等，实部相等即证．

例７求证（ｃ２一ｃ：＋醴一ｃ皂＋…）２＋（ｃ：

一ｃ：＋ｃ：一ｃ三＋…）２＝２“．

证明：考虑等式（１＋菇）２＝ｃ２＋ｃｋ＋ｃ私２＋

…＋Ｃ：一１菇“一１＋Ｃ０戈Ｃ０，

取菇＝ｉ与菇＝一ｉ，得

（１＋ｉ）“＝（ｃ：一ｃ：＋ｃ：一ｃ：＋…）＋ｉ・

（ｃ：一ｃ：＋ｃ：一ｃ：＋…），

及（１一ｉ）“＝（ｃ２一ｃ：＋ｃ：一ｃ：＋…）一ｉ・

（ｃ：一ｃ：＋ｃ：一ｃ二＋…），

两式相乘即得要证的恒等式．

（上接第１５页）

何图形来求出复数辐角主值的最值．图形法

的实质是把复数问题转化成几何问题求解．

例６设复数ｚ满足不等式彳乏＋如一访

≤０，求ａｒｇ（ｚ＋ｉ）的最大值和最小值．

解：设彳＝髫＋以（筇、ｖ∈Ｒ），由已

知条件，可得石２＋，，２＋ｉ（２订）≤０，即

搿２＋ｙ２—２ｙ≤０，．・．ｚ２＋（＇，一１）２≤１．

．・．点ｚ在以

（０，１）为圆心，１

为半径的圆或圆内

运动，如图２．

ｚ＋ｉＩ表示圆或

圆内的点到点Ａ

（Ｏ，一１）的距离，向

量Ｚ与圆相切时，

ａｒｇ（ｚ＋ｉ）取得最

Ｉ，＜

≥～

』ｊ．｝、一

图２

值．从图形上知Ｉｏ’ＡＩ＝２，ｌｏ７ｚＩ＝１，

Ｄ’ｚｌ上『Ａ彳ｌ于彳（ｚ为切点）．

．・．么ｏ７Ａ孑＝詈，号≤ａｒｇ（石＋ｉ）≤号丌．

故［ａｒｇ（ｚ＋ｉ）］凼＝专；［ａｒｇ（名＋ｉ）］一＝专７ｒ．

确定有图形背景的复数辐角主值的最

值，一般是借助图形的直观性来简化求解过

程．

例７已知复数ｚ满足Ｉｚ＋２００“Ｉ＋

ｚ一２００１ｉＩ＝４００２，求ａｒｇ（ｚ＋２００１ｉ＋

２００１）的最大值和最小值．

解：如图３，由

已知条件知，点彳

的轨迹方程为菇＝

０（一２００１≤ｙ≤

２００１），其轨迹是线

段ＩＡ曰Ｉ．

从图形上知

【ａｒｇ（彳＋２００１ｉ＋

２００１）］。ｉｎ＝Ｏ；

【ａｏｇ（ｚ＋２００１ｉ＋

２００１）］一＝ａｒｇｔ９２．

Ｉ，＾／’２００１

一２００１／∥ｊ

ｆ三

一２００１

图３

根据复数运算的几何意义，巧用了图形

的特征，使解法变得简捷明快，省时省力．

・２１・

万方数据

求复数辐角主值最值的四种方法

作者：邓光发

作者单位：四川开江普安中学,636251

刊名：

河北理科教学研究

英文刊名：HEBEILIKEJIAOXUEYANJIU

年，卷(期)：2001(4)

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