三次根号

一、知识点讲解:

1．二次根式：一般地，式子叫做二次根式。注意：(1）若这个条件不成立,则不是二次根式;(2）

是一个重要的非负数,即；≥0。

2．重要公式：（1），（2）；注意使用。

3．积的算术平方根：,积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的

公式，对字母的取值范围一般都有要求.

4．二次根式的乘法法则：.

5．二次根式比较大小的方法:

（1）利用近似值比大小；

（2）把二次根式的系数移入二次根号内,然后比大小;

（3）分别平方，然后比大小。

6．商的算术平方根:,商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。

7．二次根式的除法法则：

（1）；

（2）；

（3)分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化;具体方法是:分式的分子与分母同乘分

母的有理化因式，使分母变为整式。

8．常用分母有理化因式:,,,它们也叫互为有理化因式。

9．最简二次根式:

（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，①被开方数的因数是整数，因式

是整式，②被开方数中不含能开的尽的因数或因式；

(2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数,字母因式次数低于2，且不含分母；

（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；

（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式。

10．二次根式化简题的几种类型：（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3)讨论条件题。

11．同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同,这几个二次根式

叫做同类二次根式。

12．二次根式的混合运算：

（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的,在

有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；

（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；

除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.

二、典型例题：

知识点一二次根式的定义

形如的式子，叫做二次根式

（1）二次根式中，被开方数必须是非负数。即

(2）二次根式是一个非负数，即；≥0。

例题1.下列式子中,是二次根式的是(）

A。-B。C。D。x

2、下列各式中、、、、、，二次根式的个数是（).

A。4B。3C。2D.1

知识点二二次根式有意义的条件

二次根式有意义的条件:被开方数必须是非负数即有意义〈=〉

例题1．①(2010年无锡)使有意义的的取值范围是＿＿＿＿

②(2010，安徽芜湖)要使式子有意义,a的取值范围是＿＿＿＿

③(2010·绵阳)要使有意义，则x应满足＿＿＿＿

知识点三:三个具有非负性的知识点

例题:若，试求的值。

若y=++2009，则x+y=

知识点四：最简二次根式

例题1：下列根式中，不是最简二次根式的是(）

A、B、C、D、

例题:在根式①；②；③；④中,最简二次根式有。

知识点五:同类二次根式

例题1：在下列各组根式中，是同类二次根式的是（)

A、与B、与C、与D、与

例题2：若最简二次根式与是同类项二次根式,则，。

（1）（2）（3）

被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的

因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．

化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．

知识点六：二次根式的性质

例题1:，求的值。

例题2：若两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简=(）

A、B、C、D、

知识点七;分母有理化及有理化因式

例题:在化简时，甲、乙两人的解法如下:

甲：

乙：

对于甲、乙两人的解法,正确的判断是（）

A、甲、乙两人的解法都正确B、甲正确,乙不正确

C、甲、乙两人都不正确D、甲不正确、乙正确

变式题：小明与小红在化简时,两人解法如下:

小明:

小红:

对于甲、乙两人的解法，正确的判断是（)

A、小明、小红两人的解法都正确B、小明正确，小红不正确

C、小明、小红两人都不正确D、小明不正确、小红正确

知识点八：根号的外移与内移

例题1:将根号外的移到根号内，得到的值是。

例题2:把根号内的因式移到外面,得到的值是.

知识点九:二次根式的运算

例题1:已知，，则的值等于。

例题2：计算（1）(2）

例题3：在实数范围内分解因式：（1）；（2）

例题4：比较大小:（1）(2）

例题5：的整数部分是,小数部分是。

（1）（2）

（3）

（1）分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.

（2）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为

有理化因式.

因式外移与内移：

（1）被开方数中有的因式能够开得尽，那么就可以用它的算求平方根代替而移到根号外面.

（2）被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面

(1)二次根式的加减：先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．

(2)二次根式的乘法：二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，

即：①②

(3)二次根式的除法：通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分

母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，并将结果写成最简二次根式.

即：，

三、针对性训练:·

21。1二次根式：

1。使式子有意义的条件是。

2.当时，有意义。

3。若有意义,则的取值范围是。

4。当时,是二次根式。

5。在实数范围内分解因式:.

6.若，则的取值范围是。

7。已知,则的取值范围是。

8。化简：的结果是.

9。当时，。

10。把的根号外的因式移到根号内等于.

11。使等式成立的条件是.

12。若与互为相反数,则。

13。在式子中,二次根式有（）

A.2个B.3个C。4个D。5个

14.下列各式一定是二次根式的是（）

A。B.C。D。

15。若，则等于(）

A。B。C。D。

16.若，则()

A.B.C。D.

17。若,则化简后为（）

A.B。

C。D.

18.能使等式成立的的取值范围是()

A。B。C.D。

19。计算:的值是(）

A.0B.C.D。或

20.下面的推导中开始出错的步骤是（）

A。B。C.D。

21。若,求的值。

22.当取什么值时,代数式取值最小，并求出这个最小值。

23。去掉下列各根式内的分母:

24.已知,求的值.

25.已知为实数,且,求的值。

21.2二次根式的乘除

1.当，时，.

2。若和都是最简二次根式，则。

3.计算：.

4。计算：.

5.长方形的宽为,面积为，则长方形的长约为(精确到0。01).

6。下列各式不是最简二次根式的是()

A。B.C。D。

7.已知，化简二次根式的正确结果为（)

A。B.C。D。

8。对于所有实数，下列等式总能成立的是（)

A.B。

C.D。

9。和的大小关系是()

A。B。C。D。不能确定

10。对于二次根式，以下说法中不正确的是(）

A.它是一个非负数B.它是一个无理数

C。它是最简二次根式D.它的最小值为3

11。计算：

12.化简:

13。把根号外的因式移到根号内：

21。3二次根式的加减

1。下列根式中，与是同类二次根式的是（）

A.B。C.D.

2.下面说法正确的是()

A.被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式

B.与是同类二次根式

C.与不是同类二次根式

D。同类二次根式是根指数为2的根式

3。与不是同类二次根式的是()

A。B。C.D。

4。下列根式中,是最简二次根式的是(）

A。B。C。D。

5.若，则化简的结果是（）

A。B。C.3D。—3

6。若，则的值等于（)

A。4B。C。2D.

7。若的整数部分为,小数部分为，则的值是(）

A。B.C。1D。3

8.下列式子中正确的是（）

A.B.

C.D.

9.在中，与是同类二次根式的是。

10。若最简二次根式与是同类二次根式，则。

11.一个三角形的三边长分别为，则它的周长是cm。

12。若最简二次根式与是同类二次根式,则。

13。已知，则。

14。已知,则.

15。。

16.计算:

⑴.⑵。

⑶。⑷.

17.计算及化简：

⑴。⑵。

(3)

⑷.

18。已知：,求的值。

19。已知：,求的值。

20。已知：为实数,且，化简：.

21。已知的值.

四、巩固练习

A组

一、选择题

1.（2009年湖北武汉)函数中自变量的取值范围是（)

A．B．C．D．

2.（2009年湖北荆门）若，则x－y的值为（)

A．－1B．1C．2D．3

3.（2009年湖北黄石）下列根式中,不是

．．

最简二次根式的是（)

A．B．C．D．

4.(2009年四川眉山）估算的值(）

A．在1到2之间B．在2到3之间C．在3到4之间D．在4到5之

间

5.（2009年湖南益阳）在电路中，已知一个电阻的阻值R和它消耗的电功率P.由电功率计

算公式可得它两端的电压U为(）

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

6.(2009年新疆）若，则的值是(）

A．B．C．D．

二、填空题

1.（2009年河南省）16的平方根是。

2。（2009年山西省)计算：=．

3。（2009年辽宁铁岭)函数自变量的取值范围是．

4。（2009年广西崇左）当时，化简的结果是．

5.(2009年湖北襄樊）计算：．

6．（2009年上海市)分母有理化:．

7．（2009年黑龙江大兴安岭）计算：．

8.（2009年广东佛山）（1）有这样一个问题：与下列哪些数相乘,结果是有理数?

A．B．C．D．E．

问题的答案是(只需填字母）：;

（2）如果一个数与相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是什么（用代数式

9.（2009年福建福州）请写出一个比小的整数.

10。(2009年湖南湘西自治州）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下:a※b=,

如3※2=．那么12※4=

11．(2009年浙江嘉兴）当时,代数式的值是．

三、解答题

1。（2009年广东梅州）计算：．

2。（2009年湖南邵阳）在进行二次根式化简时,我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们

还可以将其进一步化简：

＝；（一）

＝（二）

＝＝（三)

以上这种化简的步骤叫做分母有理化。

还可以用以下方法化简:

＝(四）

（1)请用不同的方法化简。

（2)参照（三）式得＝______________________________________________;

参照（四）式得＝_________________________________________.

(2)化简:。

3。(2009年山东威海）先化简,再求值:，其中．

4.（2009年辽宁朝阳)先化简，再求值：,其中．

5.（2009年湖南怀化）先化简，再求值：其中

6。(2009年山东泰安）先化简、再求值:。

B组

1、求的整数部分

2、设，则与s最接近的数是（）.

A2000B2001C2002D2003

3、比较与的大小.

4、已知，则a,b,c的大小关系如何？

5、化简。

6、已知,且a、b、c互不相等。求的值。

7、已知实数x、y、z，满足x—y=8，xy+=—16,求的值。

8、已知，求的值。

9、已知，求的值.

10、已知，求的值。